Теория вероятностей Вариант №21

1. N человек случайным образом рассаживаются за круглым столом (N>2). Найти вероятность того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом.

2. Два стрелка, независимо друг от друга, делают по два выстрела, каждый по своей мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна p₁, а для второго – p₂. Найти вероятность того, что выиграет первый стрелок, если выигравшим считается тот стрелок, в мишени которого будет больше пробоин.

3. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможны в любой промежуток времени длительностью 3,5 сек. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше 0,8 сек. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает за данное время, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.

4. В большом универмаге установлен скрытый "электронный глаз" для подсчета числа входящих покупателей. Когда два покупателя входят в магазин вместе и один идет перед другим, то первый из них будет учтен электронным устройством с вероятностью 0,98, второй – с вероятностью 0,94, а оба – с вероятностью 0,93. Чему равна вероятность того, что устройство сканирует по крайне мере одно из двух входящих вместе покупателей.

5. Транснациональная компания обсуждает возможности инвестиций в некоторое государство с неустойчивой политической ситуацией. Менеджеры компании считают, что успех предполагаемых инвестиций зависит, в частности, и от политического климата в стране, в которую предполагается вливание инвестиционных средств. Менеджеры оценивают вероятность успеха (в терминах годового дохода от субсидий в течение первого года работы) равной 0,55, если преобладающая политическая ситуация будет благоприятной; равной 0,30, если политическая ситуация в течение года будет нейтральной; равной 0,10, если политическая ситуация в течение года будет неблагоприятной. Менеджеры компании также полагают, что вероятности благоприятной, нейтральной и неблагоприятной политических ситуаций соответственно равны: 0,6; 0,2 и 0,2. Чему равна вероятность успеха инвестиций?

6. В первой урне содержится 4 фиолетовых и 5 оранжевых шаров, во второй – 7 фиолетовых и 3 оранжевых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 3 шара. После этого из второй урны наугад извлекают 4 шара. Найти вероятность того, что будут извлечены шары одного цвета.

7. В среднем 25% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 11 пакетов в результате торгов по первоначально заявленной цене: а) не будут проданы 5 пакетов; 2) хотя бы два пакета; 3) чему равно ожидаемое число пакетов, которые будут проданы по первоначально заявленной цене? 4) чему равно наивероятнейшее число пакетов, которые будут проданы по первоначально заявленной цене?

8. Было посажено 450 деревьев. Вероятность того, что отдельное дерево приживется равна 0,85. Найти вероятность того, что прижившихся деревьев будет: а) ровно 350; б) больше 310, но меньше 390.

9. В страховой кампании 8 тыс. клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 600 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов можно считать равной 0,006, страховая кампания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 40 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая кампания с надежностью 0,95?

10. Число яхт, сходящих о стапелей маленькой верфи, – случайная величина, заданная следующим рядом распределения:

xi	2	3	4	5	6	7	8
pi	0,15	0,20	0,30	0,15	0,10	0,05	0,05

а) Убедится, что задан ряд распределения. б) Найти функцию распределения. в) Чему равна вероятность того, что число яхт, построенных в следующем месяце, будет находиться между 4 и 7 (включая оба значения)? г) Чему равно ожидаемое число, дисперсия и среднее квадратичное отклонения построенных яхт? д) Чему будет равна ожидаемая сумма заработка конструктора яхт, если предположить, что конструктор зарабатывает в месяц фиксированную сумму, равную 25000 у.е. плюс 5000 у.е. за каждую сошедшую со стапелей яхту?

11. Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x₁ и x₂, причем x₁<x₂. Вероятность того, что X примет значение x₁ равно 0,3. Найти закон распределения X, зная математическое ожидание M[X] = 0,8 и дисперсию D[X] =3,36.

12. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения

Найти: а) параметр k, б) математическое ожидание, в) дисперсию, г) вероятность P(1<X<1,5).

13. Известны математическое ожидание a=4 и среднее квадратичное отклонение =3 нормально распределенной величины X. Найти вероятность: а) попадания этой величины в интервал (3;10), б) отклонения этой величины от математического ожидания не более, чем на =4.

14. Масса бананов, прибиваемых на оптовую базу в ящиках определенного размера, – нормально распределенная случайная величина. Известно, что 75% ящиков имеют чистую массу больше 62 кг и 25% – имеют массу меньше, чем 55 кг. Найдите ожидаемое значение и среднее квадратичное отклонение чистой массы ящиков.

Э, МР, БМ, СМ

Типовой расчет