1. Порядок обработки результатов измерений

При статической обработки группы результатов группы наблюдений необходимо выполнить следующие операции (ГОСТ 8.207-76):

• исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений;

• вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения;

• вычислить оценку среднего квадратического отклонения результатов наблюдений и измерения;

• проверить гипотенузу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению;

• вычислить доверительные границы случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения;

• вычислить границы, неисключенной систематической погрешности (неисключительных остатков систематической погрешности) результата измерения;

• вычислить доверительные границы погрешности результата измерения.

Информацию о случайной погрешности получают, повторяя наблюдения; информацию о систематической погрешности из самих измерений получить нельзя. Для ее оценки необходимо знать свойство используемых средств измерений, метод и условия измерений.

Если систематическая погрешность результата каждого наблюдения известна, то, введя поправки, можно получить исправленный результат измерения (без грубых погрешностей).

Рассмотрим некоторые операции обработки результатов.

2. Исключение грубых погрешностей из

РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИЙ

Обработка результатов наблюдений случайной величины, заведомо подчиняющейся нормальному закону распределения, производится по следующим критериям оценки анормальности одного или нескольких результатов.

Критерии оценки анормальности результатов наблюдений при неизвестном генеральном среднем-квадратическом отклонений σ (согласно ГОСТ 11.002-73) «Прикладная статистика. Правила оценки анормальных результатов наблюдений» заключается в том, что для упорядоченной выборки результатов наблюдений случайной величины (вариационного ряда значений) х₁ ≤ х₂ ≤ … х_n подсчитывают выборочное среднее

где n – число измерений (объем выборки); и среднее квадратическое отклонение

Определяют отношение

или (3)

для сомнительного (максимального или минимального) результата измерения и сравнивают отношение (3) с величиной β, найденной по табл. 1 для данного объема выборки n и принятого уровня значимости а. Уровень значимости задается из ряда 0,025; 0,505; 0,075; 0,100.

Если = β или ≥ β, результат наблюдения или , соответственно, анормален и должен быть исключен из выборки. В противном случае результат считают нормальным и его не исключают. Аналогично проводят, вычисляют для оставшихся результатов (после исключения анормального).

Таблица 1

Предельные значения β

для случая неизвестного генерального среднего

квадратического отклонения σ

Объем выборки n	Предельные значения β при уровне значимости 					Объем выборки n		Предельные значения β при уровне значимости 
	0,100	0,075	0,050	0,025			0,100		0,075	0,050	0,025
3 4 5 6 7 8 9 10 11	1,15 1,42 1,60 1,73 1,83 1,91 1,98 2,03 2,09	1,15 1,44 1,64 1,77 1,88 1,96 2,04 2,10 2,14	1,15 1,46 1,67 1,82 1,94 2,03 2,11 2,18 2,23	1,15 1,48 1,72 1,89 2,02 2,13 2,21 2,29 2,36	12 13 14 15 16 17 18 19 20		2,13 2,17 2,21 2,25 2,28 2,31 2,34 2,36 2,38		2,20 2,24 2,28 2,32 2,35 2,38 2,41 2,44 2,46	2,29 2,33 2,37 2,41 2,44 2,48 2,50 2,53 2,56	2,41 2,47 2,50 2,55 2,58 2,62 2,66 2,68 2,71

Пример. При определении погрешности для партии деталей (12 шт.) получены следующие значения эмпирических характеристик: = -0,010 мм, S = 0,012 мм. Проверить, является ли грубой погрешностью результат =+0,017мм.

Решение. Учитывая отношение (3), находим :

Это значение сравниваем с β, взятым из табл.1 при n = 12 и уровне значимости  = 0,075, β = 2,20. Расчетный критерий

Следовательно, результат = + 0,017 мм оказывается грубой погрешностью при  = 0,075. При  = 0,050 не является грубой погрешностью и может быть оставлен в ряду полученных результатов. Окончательное решение принимают исходя из требуемого значения уровня значимости.

Если в результате статистической проверки, резко выделяющиеся результаты измерений обнаружены, их исключают из совокупности результатов измерений, а для оставшихся значений вновь определяют и S.

Критерий оценки анормальности результатов наблюдений при известном генеральном среднем квадратическом отклонении σ и не известном генеральном среднем а заключается в том, что для упорядоченной выборки результатов наблюдений х₁ ≤ х₂ ≤ … х_n подсчитывают выборочное среднее

и определяют отношение

, (5)

которое сравнивают с величиной β, взятой из табл.2 для данного объема выборки n и принятого уровня значимости a. Если ≥ β, результат наблюдений анормален и может быть исключен из выборки, в противном случае его считают нормальным и не исключают. Аналогично проводят вычисления для результата выборки х₁

Таблица 2

Предельные значения β для случая известного

Генерального среднего квадратического отклонения σ и неизвестного среднего а.

Объем выборки n	Предельные значения β при уровне значимости 					Объем выборки n		Предельные значения β при уровне значимости 
	0,100	0,075	0,050	0,025			0,100		0,075	0,050	0,025
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13	1,497 1,696 1,835 1,939 2,022 2,091 2,150 2,200 2,245 2,284 2,230	1,738 1,941 2,080 2,184 2,267 2,334 2,392 2,441 2,484 2,523 2,557	2,215 2,431 2,574 2,679 2,761 2,828 2,884 2,931 2,973 3,010 3,043	2,396 2,618 2,764 2,870 2,952 3,019 3,074 3,122 3,163 3,199 3,232	14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24		2,352 2,382 2,409 2,434 2,458 2,480 2,500 2,519 2,538 2,555 2,571		2,589 2,617 2,644 2,668 2,691 2,712 2,732 2,750 2,768 2,784 2,800	3,072 3,099 3,124 3,147 3,168 3,188 3,207 3,224 3,240 3,255 3,269	3,261 3,287 3,312 3,334 3,355 3,375 3,393 3.409 3,425 3,439 3,453

Пример. В результате взвешивания массы продукции получены результаты, кг: 65000, 66100, 65700, 65800, 66500, 67000, 64700, 65000, 64000, 60200. Генеральное среднее квадратическое отклонение σ = 970кг. Оценить результат 60200 кг при заданном уровне значимости  = 0,025.

Решение. Подсчитываем выборочное среднее по формуле (4):

= 65000 кг

и, учитывая отношение (5), находим :

По табл.2 для n = 10 и  = 0,025 находим β = 3,122. Так как │ │> β, то для исходных данных результат = 60200 кг считаем анормальным и его исключаем.

Критерий оценки анормальности результатов наблюдений при известном генеральном среднем квадратическом отклонении σ и известном генеральном среднем, а заключается в том, что для упорядоченной выборки результатов наблюдений случайной величины

х₁ ≤ х₂ ≤ … х_n подсчитывают отношения

, (6)

которое сравнивают с величиной β, взято из табл.3 для данного объема выборки n и принятого уровня значимости .

Если , результат наблюдения анормален и может быть исключен из выборки, в противном случае его считают нормальным и не исключают. Аналогично проводят вычисления и для результата наблюдения х_1.

В некоторых случая при выборке результатов наблюдений применяют критерий оценки анормальности результатов наблюдений по модулю их отклонений от среднего a (ГОСТ11.002-73).

Таблица 3

Предельные значения для случая известного генерального среднего квадратического отклонения σ известного генерального среднего а

Объем выборки n	Предельные значения β при уровне значимости 						Объем выборки n		Предельные значения β при уровне значимости 
	0,100	0,050	0,010	0,005	0,001	0,001			0,050	0,010	0,005	0,001
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1,282 1,632 1,818 1,943 2,036 2,111 2,172 2,224 2,269 2,309	1,645 1,955 2,121 2,234 2,319 2,386 2,442 2,490 2,531 2,568	2,326 2,575 2,712 2,806 2,877 2,934 2,981 3,022 3,057 3,089	2,576 2,807 2,935 3,023 3,090 3,143 3,188 3,227 3,260 3,290	3,090 3,290 3,403 3,481 3,540 3,583 3,628 3,662 3,692 3,719	15 20 25 30 40 50 100 250 500		2,475 2,559 2,635 2,696 2,792 2,860 2,076 3,339 3,528		2,705 2,799 2,870 2,928 3,015 3,082 3,285 3,534 3,703	3,207 3,289 3,351 3,402 3,480 3,541 3,723 3,946 4,108	3,402 3,480 3,539 3,587 3,662 3,716 3,892 4,108 4,263	3,820 3,890 3,944 3,988 4,054 4,108 4,263 4,465 4,607

Пример. Для проверки стабильности технологической операции обточки вала в течение заданного времени была извлечена выборки в количестве 12 валов диаметром, мм: 40,00; 40,02; 39,99; 39,98; 40,00; 40,03; 39,99; 39,98; 40,01; 40,08; 40,04; 39,97. Генеральное среднее квадратическое отклонение σ = 0,024, генеральное среднее (математическое ожидание) a = 40,00. Необходимо оценить результат 40,08мм. Уровень значимости a = 0,005.

Решение. Учитывая отношение (б), вычисляют :

В табл.3 для =0.005 и n=12 путем линейного интерполирования исходим = 3,346 (среднее значение для n = 10 и n = 15). Из сравнения расчетного критерия с табличным ( 3,33 < = 3,346) следует, что результат 40,08мм принадлежит данной нормальной совокупности.