Sam

	8 dt		= 4x + y + te2t + e3t;
	>	dx
17.	>	dy
	>
	:
	<		=	¡	2x + y:
	> dt
	8	dx
			= 2x + y + tet;
19.		dt
	>dy
	>
	<		= x + 2y + 2:
	> dt
	>
	:

	8 dt		= 3x + 2y + (t + 1)e4t + et;
	>	dx
					t
18.	>dy
	> dt
	>
	:
	<		= x + 2y + 2e :
		dx
	8		= x ¡ y + t sin t + t;
		dt
20.	>dy				2
	>
	<		= 2x	¡	y + t :
	> dt
	>
	:

	8 dt		= x + 2y + (t + 2)e2t + 3 sin t;			8 dt		= 2x + y + et;
	>	dx				>	dx
21.	>	dy			22.	>	dy
	>					>
	:					:
	<		= 2x	¡	2y + cos t:	<		= 2x + sin t:
	> dt					> dt		¡

8 >dx

> 2

23. < dt = ¡t x;

>>dy

: dt = y + t+2t x:

8 >dx

> t

25. < dt = ¡x + 2y + 2e + sin t;

>>dy

: dt = ¡2x + 3y + 3 cos t:

8 >dx

>

24. < dt = x + 2y + (3 + t) sin t;

>>dy

: dt = 2x ¡ 2y + sin t:

8 >dx

> t

26. < dt = x ¡ y + te ;

>>dy

: dt = 5x ¡ y + 2:

	>	dx			>	dx
				t				2
	8 dt		= 2x ¡ 3y + (1 + t)et + sin t;		8 dt		= x ¡ y + t sin t + t;
27.	<		= x 2y + 2e :		<		= 2x y + t :
	>dy			28.	>dy
	>				>
	:				:
	>	dt	¡		>	dt	¡

8 >dx

>

29. < dt = y;

>>dy

: dt = x + (t ¡ 1)et:

8 >dx

> t

30. < dt = y + te ;

>>dy

: dt = xt2:

Для данных систем найти все положения равновесия и исследовать их на устой-

чивость.

8

>x = ex¡y ¡ 1;

<

1.> p

:y = 3x + y2 ¡ 2:

>					p
	2		+ 2x
<y =		y			2 2:
2. 8x = (x ¡ y)2;				¡
>	p
:

31

8x = 3p9 + 12x ¡ 9ey2			;
>
<

3.>

:y = 3yex:

8

>

<x = y ¡ 1 ¡ x2 ¡ x;

5. >y = 3x ¡ x2 ¡ y + 1:

:

8

> p

<x = 3 ¡ ¡4 + x2 + y;

7.>

:y = ln(x2 ¡ 3):

8

>

<x = y;

9.>

:y = cos(x + y):

8

>x = x(y ¡ 1);

<

11. >

:y = xy + y ¡ 2:

8x = 3 ¡ p1 + x2		+ y;
>
<

13.>

:y = ln(x2 ¡ 3):

8

>

<x = y + 1 ¡ x2 ¡ x;

15.>

:y = 3x ¡ x2 ¡ y ¡ 1:

8

>

<x = 1 ¡ ey

17.> p

:y = 4x2 + 2y ¡ 2:

8

>

<x = ln(5 + y + sin x);

19. >y = 2 + p3	3 sin x ¡ 8:
:

4.	8x = ex ¡ 1;
	>
	>	¡	p
	:		x + y :
	<y = 1 +

8

>x = y(x ¡ 1);

<

6.>

:y = xy + x ¡ 2:

8

>

<x = xy;

8.>

:y = xy + x + y ¡ 1:

8

>x = ln(¡x ¡ 1 + y2);

<

10.>

:y = x ¡ y:

8

>

<x = ln(3 + y + sin x);

12. >y = 2 + p3	3 sin x ¡ 8:
:

8

>x = e¡x ¡ ey;

<

14.> p

:y = ¡3x + y2 ¡ 2:

8

>

<x = ¡ cos y;

16. > p

:y = 2x + 1 ¡ 3x ¡ cos y:

8

>x = x(y ¡ 2);

<

18. >

:y = xy + y + 2:

8x = 3 ¡ px2		+ y;
>
<

20.>

:y = ln(x2 ¡ 3):

32

8

>

<x = ln(¡1 + y + sin x);

21. > p

:y = 2 + 3 3 sin x ¡ 8:

8

>x = xey;

<

23.> p

:y = 4 + 5y4 ¡ 2ex2 :

8

>

<x = ln(2 + y + cos x);

25.	>y = 2 + p3		3 sin x ¡ 8:
	:
27.	8x = ln(4 + y + cos x);
	>	p3
			3 sin x		8:
	<y = 2 +			¡
	>
	:

8

>x = y(x ¡ 2);

<

29.>

:y = xy + x + 2:

8x = 3 ¡ p¡2 + x2		+ y;
>
<

22.>

:y = ln(x2 ¡ 3):

8 p>

<x = 3 ¡ 1 + x2 + y;

24.>

:y = ex2¡4:

8

>

<x = ¡ sin y;

26.

>y = 2x ¡

2

+ p4

¡

3x ¡ sin y:

:

>

p

28.

8x = ¡ cos y;

:

2

+ 4

3x

cos y:

<y = 2x

¡

¡

¡

>

8

>x = x ¡ y2 ¡ y;

<

30.>

:y = ¡y2 + 3y ¡ x:

Условия отрицательности всех вещественных частей корней многочлена

Рассмотрим уравнение

a0¸n + a1¸n¡1 + : : : + an¡1¸ + an = 0; a0 > 0

с вещественными коэффициентами.

а)Необходимое условие: все ai > 0. В случае n · 2 это условие является и достаточным.

б) Условие Рауса Гурвица: необходимо и достаточно, чтобы были поло-

жительными все главные диагональные миноры матрицы Гурвица

0a1 a0 0 0	0	0	: : : 0	1
Ba3 a2 a1 a0	0	0	: : : 0	C	:
Ba5 a4 a3 a2	a1	a0	: : : 0	C
B				C
B				C
B: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :C
B				C
B				C
B				C
@				A
B 0 0 0 0 0		0	: : : anC

На главной диагонали этой матрицы стоят числа a1, a2, . . . , an. В каждой строке

33

индекс каждого числа на 1 меньше индекса предыдущего числа. Числа ai с индексами i > n или i < 0 заменяются нулями.

Главные диагональные миноры матрицы Гурвица:

¯

a1 a0

¯

¯a1

a0

0

¯

¢1

= a1; ¢2

=

; ¢3

=

¯a3

a2

a1

¯

; : : :

¯a3 a2

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a4

a3

¯

¯

¯

¯a5

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

в) Условия Льенара Шипара. Необходимо¯

и достаточно,¯

чтобы все ai > 0;

чтобы ¢n¡1 > 0, ¢n¡3 > 0, ¢n¡5 > 0; :::

г) Критерий Михайлова. Необходимо и достаточно, чтобы на комплексной плоскости точка f(i!), где f(¸) левая часть (??), при изменении !; от 0 до +1

не проходила через начало координат и сделала поворот вокруг него на угол n¼=2 в

положительном направлении.

Другая (эквивалентная) формулировка критерия Михайлова: Необходимо и достаточно, чтобы anan¡1 > 0 и чтобы корни многочленов

p(») = an ¡ an¡2» + an¡4»2 ¡ : : : ;

q(´) = an¡1 ¡ an¡3´ + an¡5´2 ¡ : : :

были все положительными, различными и чередующимися, начиная с корня »1, т.е.

0 < »1 < ´1 < »2 < ´2 < : : :

Многочленыp и q определяются из соотношения

a0(i!)n + a1(i!)n¡1 + : : : + an¡1(i!) + an = p(!2) + i!q(!2):

Пример 4. При каких b и c корни уравнения ¸4 + 2¸3 + a¸2 + 3¸ + b = 0 имеют отрицательные вещественные части?

Запишем условия Льенара Шипара:

b > 0; c > 0; ¢3		¯2	1	0¯					9 > 0; ¢1 = 2 > 0:
	=	¯3 b 2¯			= 6b	¡	4c	¡
		¯		¯
		¯	c	¯
		¯0		3¯
		¯		¯
		¯		¯
		¯		¯
		¯		¯

Отсюда получаем условия c > 0, 6b > 4c + 9.

34

Пример 5. Проверить, будут ли все корни многочлена f(¸) = ¸5 + 2¸4 + 7¸3 + 8¸2 + 10¸ + 6 иметь отрицательные вещественные части?

Здесь an = 6 > 0, an¡1 = 10 > 0, а многочлены p(») = 6¡8»+2»2, q(´) = 10¡7´+´2

имеют корни »1 = 1, »2 = 3, ´1 = 2, ´2 = 5. Значит, 0 < »1 < ´1 < »2 < ´2. По критерию Михайлова все корни многочлена f(¸) имеют отрицательные вещественные части.

.

Исследовать устойчивость нулевого решения, пользуясь условиями отрицательности вещественных частей всех корней многочлена, например, условиями Рауса Гурвица или критерием Михайлова.

1.y000 + y00 + 3y0 + 2y = 0.

2.y000 + 2y00 + 2y0 + 4y = 0.

3.yIV + 2y000 + 2y00 + 3y0 + 2y = 0.

4.y000 + 3y00 + y0 + y = 0.

5.yIV + 2y000 + 3y00 + 8y0 + 3y = 0.

6.yIV + 2y000 + 3y00 + 2y0 + 1; 5y = 0.

7.yIV + 2y000 + 4y00 + 6y0 + 7y = 0.

8.yIV + 8y000 + 14y00 + 32y0 + 40y = 0.

9.yIV + 10y000 + y00 + 2y0 + y = 0.

10.yIV + 12y000 + 16y00 + 50y0 + 70y = 0.

11.yIV + 3y000 + 26y00 + 68y0 + 76y = 0.

12.5yIV + y000 + y00 + y0 + y = 0.

13.y000 + 4y00 + 5y0 + 8y = 0.

14.yV + 2yIV + 4y000 + 6y00 + 4y0 + 5y = 0.

15.yIV + y000 + 3y00 + y0 + y = 0.

16.yV + 2yIV + 5y000 + 6y00 + 5y0 + 3y = 0.

17.yV + 3yIV + 6y000 + 7y00 + 5y0 + 5y = 0.

18.yIV + y000 + 4y00 + 2y0 + y = 0.

19.yV + 4yIV + 9y000 + 16y00 + 17y0 + 11y = 0.

20.yV + 4yIV + 16y000 + 21y00 + 13y0 + 11y = 0.

21.yIV + 2y000 + 5y00 + y0 + y = 0.

22.yV + 3yIV + 10y000 + 25y00 + 20y0 + 15y = 0.

35

23.yV + 5yIV + 15y000 + 48y00 + 42y0 + 64y = 0.

24.yV + 2yIV + 14y000 + 37y00 + 23y0 + 69y = 0.

25.yIV + 4y000 + 23y00 + 67y0 + 76y = 0.

26.y000 + 6y00 + 7y0 + 10y = 0.

27.yV + 3yIV + 7y000 + 15y00 + 8y0 + 7y = 0.

28.yV + 3yIV + 9y000 + 5y00 + 75y0 + 11y = 0.

29.yIV + y000 + 4y00 + 3y0 + y = 0.

30.yIV + 2y000 + 4y00 + y0 + 2y = 0.

Особые точки
Особой точкой системы
	dx	= P (x; y);
	dt
	dy	= Q(x; y);			(1)
	dt
а также уравнения
	dy	=	Q(x; y)		(2)
	dx		P (x; y)

называется точка, в которой P (x; y) = 0 и Q(x; y) = 0. Предпологается, что функции

P (x; y); Q(x; y) непрерывно дифференцируемы в окрестности особой точки.

Особая точка является положением равновесия системы (1) Наряду с вопросом устойчивости положения равновесия, другим важным вопросом является исследова-

ние поведения интегральных кривых в окрестости особой точки.
Для линейной системы
	dx	= ax + by;				dy	= cx + dy		(3)
	dt
						dt
и однородного уравнения
			dy	=	cx + dy				(4)
					ax + by
			dx

имеется полная классификация поведения интегральных кривых в окрестности особой точки.

Если ad ¡ cb =6 0, то система (3) имеет единственное положение равновесия: x = y = 0.

36

Для исследования особой точки системы (1) надо найти корни характеристиче-

ского уравнения	¯a ¡ ¸				¯
			d	b		= 0:	(5)
	¯	c		¡	¸¯
	¯				¯
	¯				¯
	¯				¯
	¯				¯

Рис. 1:

Рис. 2:

Класификация и поведение интегральных кривых в окрестности особых точек определяется структурой корней характеристического уравнения (5).

1.Корни ¸1 и ¸2 характеристического уравнения вещественные и различные: а) ¸1 < 0, ¸2 < 0. Особая точка устойчивый узел (рис. 1, а).

б) ¸1 > 0, ¸2 > 0. Особая точка неустойчивый узел (рис. 1, б). в) ¸1 > 0, ¸2 < 0. Особая точка седло (рис. 1, в).

37

Рис. 3:

2.Корни ¸1 и ¸2 комплексно-сопряженные, т.е. ¸1;2 = ® § i¯:

а) ® < 0, ¯ 6= 0. Особая точка устойчивый фокус (рис. 2, а, б). б) ® > 0, ¯ 6= 0. Особая точка неустойчивый фокус (рис. 2, в, г). б) ® = 0, ¯ 6= 0. Особая точка центр (рис. 2, д, е).

3.корни кратные, т.е. ¸1 = ¸2:

а) ¸1;2 < 0. Особая точка устойчивый вырожденный узел

(рис. 3, а) или устойчивый дикритический узел (рис. 3, б) в случае, когда система (??) имеет вид dxdt = ax, dydt = ay.

б) ¸1;2 > 0. Особая точка неустойчивый вырожденный узел (рис. 4, в) или неустойчивый дикритический узел. (рис. 3, г).

38

¯c	Если же один или оба корня характеристического уравнения (5) равны нулю, то
	d¯
¯	¯	= 0; и решения системы (6) на плоскости xOy изображаются параллельными
¯a b¯
¯	¯
¯	¯
¯прямыми.¯			Все точки линии ax + by = 0 особые, причем при ¸1 > 0, ¸2 = 0

неустойчивые, а при ¸1 < 0, ¸2 = 0 устойчивые.

Чтобы построить фазовые кривые (траектории) системы (3) на плоскости xOy в

случае узла, седла и вырожденного узла необходимо сначала найти те фазовые кри-

вые, которые лежат на прямых, проходящих через начало координат. Эти прямые
направлены вдоль собственных векторов матрицы		0a	b1 = 0: В случае узла фазо-
		c	d
вые кривые касаются той прямой, которая	направлена вдоль собственного вектора,
		@	A

соответствующего меньшему по абсолютной величине значению ¸.

Вслучае особых точек типа фокус, центр и вырожденный узел надо определить,

вкаком направлении вокруг особой точки происходит движение по траекториям. Для этого достаточно построить в какой-нибудь точке (x; y) вектор скорости (x; y), определяемый по формулам (3).

Пример 1. Найти и исследовать особые точки системы

x = 2y ¡ 3x; y = x ¡ 4y:

Система имеет единственную особую точку x = y = 0.

Исследуем особую точку x = 0, y = 0. Составляем и решаем характеристическое уравнение

¯

¡ ¡

¯

¯

2

¯

= 0;

(3 + ¸)(4 + ¸)

2 = 0; ¸1

=

2; ¸2 =

5:

¯¡3 ¡ ¸

¯

¡

¡

¡

¯

1

4

¸¯

¯

¯

¯

¯

Корни ¸1 и ¸2 вещественные, различные и одного знака. Следовательно, особая точка устойчивый узел. Для ¸1 = ¡2 находим собственный вектор (2; 1), а для

¸2 = ¡5 вектор (¡1; 1). На плоскости xOy строим прямые x + y = 0 и 2y ¡ x = 0, направленные вдоль указанных векторов, а затем кривые, касающиеся в начале координат первой из этих прямых, так как j¸1j < j¸2j, (рис. 4).

Пример 2. Найти и исследовать особые точки системы

x = 3x ¡ 2y; y = 4y ¡ 6x:

39

Рис. 4:

Правые части каждого из уравнений системы обращаются в нуль в точках прямой

3x ¡ 2y = 0, следовательно, точки этой прямой являются особыми точками. Составляем и решаем характеристическое уравнение

¯	6	4	¡	¸¯			¡	¡	¡
¯	¡				¯
¯			¡2		¯	= 0;	(3 ¸)(4	¸)	12 = 0; ¸1 = 7; ¸2 = 0:
¯3 ¡ ¸					¯
¯					¯
¯					¯

Один из корней характеристического уравнения равен нулю, а второй больше нуля, следовательно особые точки, расположенные на прямой 3x ¡ 2y = 0 являются неустойчивыми. Для ¸1 = 0 находим собственный вектор (2; 3), а для ¸2 = 7

вектор (1; ¡2). На плоскости xOy строим прямые 3x¡2y = 0 и y +2x = 0, направленные вдоль указанных векторов, а затем прямые, параллельные прямой y + 2x = 0. Движение по фазовым кривым происходит от положений равновесия (рис. 5).

Пример 3. Определить характер особой точки (0,0) уравнения

dy = 2x + 2y : dx ¡2x ¡ 5y

40