Sam

Рис. 5:

Переходим от уравнения к системе

dx

dy

= ¡2x ¡ 5y;

= 2x + 2y:

dt

dt

Находим корни характеристического уравнения

¯

2

2

¸¯

¡

¡

¡

§

¯¡2 ¡ ¸

¡5 ¯

= 0; (

2

¸)(2

¸) + 10 = 0;

¸1;2 =

ip

6

:

¯

¡

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

dx

dy

Особая точка центр. Строим в точке (1; 0) вектор скорости µ

;

¶. Он равен

dt

dt

(¡2x ¡ 5y; 2x + 2y). В точке x = 1, y = 0 получаем вектор скорости с координатами

(¡2; 2). Следовательно, возрастанию t соответствует движение по траектории против часовой стрелки (рис. 6).

41

72mm

Рис. 6:

Для исследования особой точки общей системы (1) или уравнения (2) следует перенсти исследуемую особую точку в начало координат и разложить полученные функции P (x; y), Q(x; y) в окрестности начала координатй точки по формуле Тейлора, ограничиваясь членами первого порядка (линеаризуем систему).Предпологаем, что функции P (x; y), Q(x; y) непрерывно дифференциоуемы в окрестности особой точки.

Система (1) примет вид

	dx	= ax + by + '(x; y);	dy	= cx + dy + Ã(x; y):	(6)
	dt		dt

Рассматриваем линейную систему

	dx	= ax + by;	dy	= cx + dy:	(7)
	dt		dt

Если вещественные части корней характеристического уравнения для системы (7) отличны от нуля, то особая точка x = 0, y = 0 системы (6) имеет тот же тип, что и особая точка системы (7).

В том случае, когда для системы (7) точка x = 0, y = 0 является центром, для системы (1) она может быть фокусом или центром. Для наличия центра достаточно, чтобы фазовые кривые имели ось симметрии, проходящую через исследуемую особую точку. Ось симметрии существует, если уравнение (1) не меняется при замене

42

x на ¡x (или y на ¡y). Для наличия фокуса необходимо и достаточно, чтобы положение равновесия было асимптотически устойчивым при t ! +1 или при t ! ¡1. Исследование устойчивости можно провести с помощью теорем Ляпунова.

Замечание Для построения траекторий уравнения xÄ = f(x; x) на фазовой плоскости надо от этого уравнения перейти к системе x = y, y = f(x; y).

Пример 4. Начертить на фазовой плоскости траектории данной системы и исследовать особые точки.

dx		= 2xy;	dy			= 1 + y ¡ x2 + y2:
	dt			dt
Из системы алгебраических уравнений
		>					2	2
		82xy = 0;
		>	¡
		:			x			+ y = 0
		<1 + y

находим положения равновесия O1(¡1; 0) и O2(1; 0). Поскольку исходная система не изменяется при замене x на ¡x, ее фазовые кривые симметричны относительно оси ординат, следовательно, достаточно исследовать одну из особых точек, например

O2(1; 0). Сделаем замену x1 = x ¡ 1, y1 = y. Тогда точка (1; 0) перейдет в (0; 0), а нелинейная система примет вид

8 >dx

> 1

< dt = 2(x1 + 1)y1;

>>dy

: dt1 = 1 + y1 ¡ (x1 + 1)2 + y22:

Линеаризация этой системы в точке (0,0) имеет вид:

8 >dx

> 1

< dt = 2y1;

>>dy

: dt1 = y1 ¡ 2x1:

Так как матрица этой системы имеет комплексно-сопряженные значения, причем

Re ¸1 = Re ¸2 = 1=2, следовательно, обе особые точки исходной системы неустойчивые фокусы. Отметим, что ось ординат является фазовой кривой и на этой оси система эквивалентна уравнению y = 1 + y + y2. Фазовая точка, в какой бы точке оси ординат ни начинала движение, с течением времени уходит в +1. Фазовые кривые системы изображены на рис. 7.

43

Рис. 7:

Определить тип особых точек. Начертить интегральные кривые (или траектории)

на плоскости (x; y).

1. y0 = 6x + 2y . 2x ¡ 6y

3. y0 = x ¡ 4y .

2y ¡ 3x

5. y0 = y ¡ 2x .

2y ¡ 3x

7. y0 = xy .

9. y0 = xy .

8

>

<x = 4x ¡ 6y;

11.>

:y = 3y ¡ 2x:

8

>

<x = 3x;

13.>

:y = 2x + y:

8

>

<x = x + 3y;

15.>

:y = ¡6x ¡ 5y:

2. y0 = 2x + 2y . y + 2x

4. y0 = x ¡ 2y .

3x ¡ 4y

6.y0 = 4y ¡ 2x. x + y

8.y0 = ¡2x + 3y . x + y

10.y0 = 3xy .

8

>

<x = x + 2y;

12.>

:y = ¡3x + y:

8

>

<x = 2x ¡ y;

14.>

:y = x:

8

>

<x = x;

16.>

:y = 2x ¡ y:

44

8

>x = ¡2x ¡ 5y;

<

17.>

:y = 2x + 2y:

8

>

<x = 3x ¡ 2y;

19.>

:y = 4y ¡ 6x:

8

>

<x = x + y;

21.>

:y = 3y ¡ 2x:

8

>

<x = 2x + y;

23.>

:y = 4y ¡ x:

8

>

<x = 5x + 3y;

25.>

:y = ¡y ¡ 3x:

8

>

<x = x + 3y;

27.>

:y = ¡y ¡ 3x:

8

>x = 3x + y;

<

18.>

:y = y ¡ x:

8

>

<x = y ¡ 2x;

20.>

:y = 2y ¡ 4x:

8

>

<x = x ¡ 3y;

22.>

:y = 3x + y:

8

>

<x = 3x ¡ y;

24.>

:y = 4x ¡ y:

8

>

<x = y + 2x;

26.>

:y = y + x:

8

>

<x = x;

28.>

:y = 5y + x:

>

>

29.

<y = 4y ¡ 2x:

30.

<y = 2x + 3:

8x = x + y;

8x = 4x + 6y;

:

:

Найти> и исследовать особые точки данных>

уравнений и систем. Если особых точек

несколько, исследовать одну.

1.

8x = y ¡ 1 ¡ x2 ¡ x;

2.

8x = y(x ¡ 1);

>

x

2

y + 1:

>

2:

<y = 3x

¡

¡

<y = xy + x

¡

>

>

:

:

8

>x = y2 ¡ 4x2;

<

3.>

:y = 4y ¡ 8:

8

>x = 4 ¡ 4x ¡ 2y;

<

4.>

:y = xy:

45

8

> p

<x = 3 ¡ ¡4 + x2 + y;

5.>

:y = ln(x2 ¡ 3):

8

>

<x = xy ¡ 4;

7.>

:y = (x ¡ 4)(y ¡ x):

8

>

<x = (2x ¡ y)2 ¡ 9;

9.>

:y = (x ¡ 2y)2 ¡ 9:

8

>x = 1 ¡ ey

<

11.> p

:y = 4x2 + 2y ¡ 2:

8

>

<x = x2 ¡ y;

13.>

:y = (x ¡ y)(x ¡ y + 2):

8

>

<x = x + y + 1;

15. >y = y + p1 + 2x2		:
:

8

>x = y(x ¡ 2);

<

17.>

:y = xy + x + 2:

8

>

<x = ln(2 ¡ y2);

19.>

:y = ex ¡ ey:

8

>

<x = ln(1 ¡ y + y2);

21.	>	y = 3 ¡ px2		+ 8y:
	:

8

>x = xy;

<

6.>

:y = xy + x + y ¡ 1:

8

>

<x = (2x ¡ y)2 ¡ 9;

8.>

:y = 9 ¡ (x ¡ 2y)2:

8

>x = x2 + y2 ¡ 6x ¡ 8y;

<

10.>

:y = x(2y ¡ x + 5):

8

>

<x = x(y ¡ 2);

12.>

:y = xy + y + 2:

8

>

<x = x ¡ y;

14.>

:y = x2 + y2 ¡ 2:

8

>

<x = x2 ¡ y;

16.>

:y = ln(1 ¡ x + x2) ¡ ln 3:

8

>

<x = x ¡ y2 ¡ y;

18.>

:y = ¡y2 + 3y ¡ x:

8

>

<x = (2x ¡ y)(x ¡ 2);

20.>

:y = xy ¡ 2:

8

>

<x = x2 + y2 ¡ 2x;

22.>

:y = 3x2 ¡ x + 3y:

46

8

>x = sin x;

<

23.>

:y = sin y:

8

>

<x = ¡2xy;

25.>

:y = x2 + y2 ¡ 1:

8

>

<x = ¡y;

27.>

:y = x ¡ 3x2:

8

>x = sin y;

<

24.>

:y = ¡ sin x:

8

>

<x = x(x + y ¡ 2);

26.>

:y = y(1 ¡ x):

8

>

<x = 2y;

28.>

:y = 4x ¡ 4x3:

	>			>		2		y 1:
29.	<y = xy + y 2:		30.	<y = 3x x
	8x = x(y ¡ 1);			8x = y + 1 ¡ x2				¡ x;
	>	¡		>	¡		¡	¡
	:			:

Дифференциальные уравнения с частными производными первого по-

рядка

Уравнение

n
Xi	@u
ai(x1; x2; : : : ; xn; u)	@xi	= f(x1; x2; : : : ; xn; u);	(1)
=1

где ai = ai(x1; : : : ; xn; u), f = f(x1; : : : ; xn; u) заданные функции, определенные в некоторой области переменных x1; : : : ; xn, u = u(x1; : : : ; xn) решение, называется

квазилинейным уравненнием с частными производными первого порядка.

Общее решение уравнения (1) записывается в виде
F ('1; : : : ; 'n) = 0;	(2)

где F произвольная дифференцируемая функция, 'i((x1; x2; : : : ; xn; u) n независимых первых интегралов системы

dx1	= ¢ ¢ ¢ =	dxn		=	du		:	(3)
a1			an			f

Функция 'i(x1; x2; : : : ; xn; u) является первым интегралом системы (3) если на ее

решении она обращается в константу.
'i(x1; x2; : : : ; xn; u) = ci:	(4)

47

Система (3) называется системой уравнений характеристик для уравнения с частными производными (1).

В случае, когда u входит только в один из первых интегралов (4), например в последний, то общее решение можно записать в виде

'n(x1; : : : ; xn; u) = f('1; : : : ; 'n¡1);

где f произвольная дифференцируемая функция. Разрешив последнее равенство

относительно u, получим общее решение уравнения (1) в явном виде.

Пример 1. Найти общее решение уравнения

@u

@u

2x

+ (y ¡ x)

= x2:

(5)

@x

@y

Составим систему уравнений характеристик

dx

=

dy

=

du

:

(6)

2x

y ¡ x

x2

Наодим ее два первые интегралы. Приравниваем первую и третью дроби

dx

du

=

:

2x

x2

Отсюда

x2 dx = du

и

x2

4 ¡ u = c1

первый интеграл.

Для нахождения второй интегрируемой комбинации, воспользуемся свойством; если

a1	=	a2	= ¢ ¢ ¢ =	an	= t;
b1		b2		bn

то при любых k1, k2,. . . , kn имеем

k1a1 + k2a2 + : : : + knan = t: k1b1 + k2b2 + : : : + knbn

Приравнивая первые две дроби в (6) и пользуясь выше указанным свойством, получим

	d(x + y)		=	dx	;
	x + y			2x

48

2 ln jx + yj = ln jxj + ln jc2j:

Отсюда

	(x + y)2	= c2
	x

другой первый интеграл. Полученные первые интегралы независимы. Запишем об-

щее решение	µ 4		¡ u; (		x	¶ = 0;
F
		x2			x + y)2

где F произвольная функция. Так как u входит только в один из первых интегра-

лов, то общее решение можно написать и в виде

u = x2 + f µ(x + y)2 ¶;

4 x

где f произвольная функция.

Пример 2. Найти общее решение уравнения

y	@u	+ u	@u	=	y	:	(7)
	@x		@y		x

Запишем систему уравнений характеристик

	dx	=	dy	=	xdu	:	(8)
	y		u		y

Находим ее первые интегралы. Первая и третья дроби уравнения (8) дают первый

интеграл

u ¡ ln jxj = C1:

(9)

Зная первый интеграл (9), исключим u из первых двух дробей системы (8)

dx		dy	; (ln jxj + C1)dx = ydy;	x ln jxj ¡ x + C1x =	y2
	=					+ C2:
y		ln jxj + C1			2

Подставив в последнее уравнение выражение для C1 из формулы (9), найдем

y2

¡x + xu ¡ 2 = C2:

Таким образом, получили два независимых первых интеграла.

Ответ: Общее решение

F (u ¡ ln jxj; ¡x + xu ¡ y2 ) = 0:

2

49

Задача Коши. Требуется найти поверхность u = u(x; y), удовлетворяющую дифференциальному уравнению

a1(x; y; u)	@u	+ a2(x; y; u)	@u	= b(x; y; u);	(10)
	@x		@y

проходящую через данную линию

x = x(t); y = y(t); u = u(t);

(11)

Для решения задачи Коши находим два независимых первых интеграла системы

	dx	=	dy	=	du	:	(12)
	a1		a2		b

В найденные первые интегралы

'1(x; y; u) = C1; '2(x; y; u) = C2

(13)

подставляем вместо x, y, u их выражения (11) через параметр t. Получатся два уравнения вида

©1(t) = C1; ©2(t) = C2:

(14)

Исключив из них t, получим соотношение F (C1; C2) = 0: Подставив сюда вместо C1,

C2 левые части первых интегралов (??), получим искомое решение.

Если в оба уравнения (14) не входит t, тогда линия (11) является интегральной кривой системы (12), т. е. характеристикой уравнения (14), и задача Коши имеет бесконечное число решений.

Пример 2. Найти поверхность u = u(x; y), удовлетворяющую уравнению

	y2	@u	+ xy	@u	= x	(15)
		@x		@y

и проходящую через линию x = 0, u = y2. Составляем уравнения характеристик

dxy2 = xydy = dux

и находим их первые интегралы

y2		x2
	¡		= C1; u ¡ ln jyj = C2:	(16)
2		2

50