Sam

Общее решение уравнения (??) имеет вид
F µy2	¡ 2 ; u ¡ ln jyj¶= 0
2	x2
или		µy2	¡ 2 ¶;
u = ln jyj + f
		2		x2

где f произвольная функция.

Чтобы найти поверхность, проходящую через линию x = 0, u = y2, запишем эту линию в параметрическом виде, например, взяв y в качестве параметра:

x = 0; y = y; u = y2:

Подставив эти выражения в (16), получим

y22 = C1; y2 ¡ ln jyj = C2:

Отсюда

p

2C1 ¡ ln 2C1 = C2:

Подставив вместо C1 и C2 левые части первых интегралов (??), найдем искомую поверхность

p

y2 ¡ x2 ¡ ln y2 ¡ x2 = u ¡ ln jyj:

Пример 3. Найти решение равнения

x@u@x ¡ y @u@y = 0;

удовлетворяющее условию

u(x; 1) = 2x:

Запишем уравнения характеристик :

dxx = ¡dyy = dz0 :

Отсюда находим два независимых первых интеграла: xy = C1; u = C2:

Из равенств

u = 2x; при y = 1; xy = C1; u = C2

51

исключаем переменные x и u. Имеем

C2 = 2C1:

Подставляя в последнее равенство u вместо C2 и xy вместо C1, получаем искомое решение:

u = 2xy:

Задачи

Решить уравнения.

@u

@u

@u

@u

1. y

+ x

= x2 + y2.

2. xy

¡ y2

= x2.

@x

@y

@x

@y

3.

@u

+ 2

@u

+

@u

= xyz.

4.

1

@u

+

1

@u

=

u

.

@x

@y

@z

x @x

y @y

y2

5. xy

@u

+ (x ¡ 2u)

@u

= yu.

6. sin2 x

@u

@u

= cos2 u.

+ tg u

@x

@y

@x

@y

7. ex

@u

+ y2

@u

= yex.

8. 2x

@u

+ (y ¡ x)

@u

= x2.

@x

@y

@x

@y

Найти решения уравнений, удовлетворяющие указанным условиям.

9.(x ¡ 2ey)@u@x ¡ @u@y = 0, u(x; 0) = x.

10.@u@x + @u@y + 2@u@z = 0, u(x; 1; z) = xz.

11.xy @u@x + x2 @u@y = y, u(x; 0) = x2.

12.x@u@x ¡ y @u@y = x ¡ y, u(1; y) = y + ey.

Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через

данную линию.

13.x@u@x + y @u@y = u ¡ xy; x = 2, u = y2 + 1.

14.tg x@u@x + y @u@y = u; y = x, u = x3.

15.yu@u@x + xu@u@y = xy; x = a, y2 + u2 = a2.

16.y2 @u@x + yu@u@y = ¡u2; x ¡ y = 0, x ¡ yu = 1.

Ответы

52

1. u = xy + f(x2 ¡ y2). 2. u =

x2

1

f(xy). 3. u =

x4

x3

x2yz

+

¡

(2z + y) +

+ f(y ¡

3y

xy

6

6

2

2x; z ¡ x). 4. u = yf(x2 ¡ y2).

5. u = xf(2x ¡ y2 ¡ 4u). 6. F (tg u + ctg x; 2y ¡ tg2 u) = 0:

7. F µe¡x ¡ y¡1; u +

x

y

¶= 0. 8. F (x2 ¡ 4u; (x + y)2=x) = 0. 9. u = xey ¡ e2y + 1.

¡

ln j j

e¡x

y¡1

¡

10. u = (1 + x ¡ y)(2 ¡ 2y + z). 11. u = x2 ¡ y2 ¡ ln r1 ¡

y2

. 12. u = x + y ¡ 1 + exy.

x2

13. (x + 2y)2 = 2x(u + xy).

14.

p

sin x = sin p

.

15. 2x2 ¡ y2 ¡ u2 = a2.

u=y3

u=y

16. (1 + yu)3 = 3yu(1 + yu ¡ x) + y3.

Решить уравнения.

1.uy @u@x + 2xu@u@y = x; x = 1, uy = 1.

2.(1 + x2)@u@x + xy @u@y = y; x = 0, u = y2.

3.(x + 2y)@u@x ¡ y @u@y = 0.

4.(x ¡ u)@u@x + (y ¡ u)@u@y + 2z @u@z = 0.

5.x@u@x + u@u@y = y; y = 2u, x + 2y = u.

6.y @u@x + x@u@y = x ¡ y.

7.x@u@x ¡ y @u@y = u2(x ¡ 3y); x = 1, yu + 1 = 0.

8.xy @u@x ¡ x2 @u@y = yu.

9.(x2 + y2)@u@x + 2xy @u@y + u2 = 0.

10.x2u@u@x + y2u@u@y = x + y.

11.xu@u@x + x@u@y = y; y = 1, u = x2.

12.yu@u@x ¡ xu@u@y = eu.

13.y @u@x + u@u@y = xy .

14.(y ¡ u)@u@x + (u ¡ x)@u@y = x ¡ y; u = y = ¡x.

15.(x + u)@u@x + (y + u)@u@y = x + y.

16.x@u@x + y @u@y + (u + z)@u@z = xy.

17.y2 @u@x ¡ x2 @u@y = u; x = 0, u = y.

18.(u ¡ x)@u@x + (u ¡ y)@u@y ¡ z @u@z = x + y.

53

19.(x ¡ 2ey)@u@x ¡ @u@y = 0.

20.(y + 2u2)@u@x ¡ 2x2u@u@y = x2; x = u, y = x2.

21.@u@x + @u@y + 2@u@z = 0.

22.xy @u@x + x2 @u@y = y.

23.x@u@x ¡ y @u@y = x ¡ y.

24.x2 @u@x ¡ xy @u@y = x2.

25.y @u@x ¡ x@u@y = y2 ¡ x2.

26.x@u@x + y @u@y = u ¡ xy.

27.x@u@x + 2y @u@y + 3z @u@z = 4u.

28.xy2 @u@x + @u@y = x.

29.u@u@x + (u2 ¡ x2)@u@y = ¡x; y = x2, u = 2x.

30.(x + yu)@u@x + y @u@y = u; x + y = 2u, yu = 1.

Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через

данную линию.

1.¡x2 @u@x + @u@y = ¡y; x = 1, u = y2.

2.¡y2 @u@x + x2 @u@y = u; y = 0, u = x.

3.(y + 2u2)@u@x ¡ 2x2u@u@y = x2; x = u, y = x2.

4.x@u@x + u@u@y = y; y = 2u, x + 2y = u.

5.2uy @u@x + xu@u@y = y; y = 1, ux = 1.

6.x@u@x + (xu + y)@u@y = u; y + x = 2u, xu = 1.

7.xy @u@x + (1 + y2)@u@y = x; y = 0, u = x2.

8.(y ¡ u)@u@x + (u ¡ x)@u@y = x ¡ y; u = y = ¡x.

9.x@u@x + y @u@y = 2u; y = 1, u = x.

10.u@u@x + (u2 ¡ x2)@u@y = ¡x; y = x2, u = 2x.

11.u@u@x ¡ yx@u@y = 2xu; x + y = 2, uy = 1.

54

12.u@u@x + y @u@y = u; y = 1, u = ¡x.

13.x@u@x + y @u@y = u ¡ x2 ¡ y2; y = ¡2, u = x ¡ x2.

14.x@u@x ¡ y @u@y = u2(x ¡ 3y); x = 1, yu + 1 = 0.

15.y @u@x + yu@u@y = y; x = 1, u = y2.

16.y2 @u@x + xy @u@y = x; x = 0, u = y2.

17.@u@x + (2y ¡ u)@u@y = y + 2u; x = 1, u = y.

18.xu@u@x + x@u@y = y; y = 1, u = x2.

19.x@u@x + u@u@y = u; x = 1, u = ¡y.

20.xy @u@x + x2 @u@y = y; y = 0, u = x2.

21.x@u@x + y @u@y = 2u; x = 1, u = y.

22.(1 + x2)@u@x + xy @u@y = y; x = 0, u = y2.

23.y @u@x + u@u@y = 2u; x = 1, u = ¡y1.

24.y @u@x + x@u@y = u; x = 0, u = 2y.

25.x@u@x + y @u@y = ¡xy; x = 1, u = y2 + 1.

26.uy @u@x + 2xu@u@y = x; x = 1, uy = 1.

27.y2 @u@x ¡ x2 @u@y = u; x = 0, u = y.

28.@u@x ¡ y2 @u@y = ¡x; y = 1, u = x2.

29.¡xy @u@x + u@u@y = 2yu; x + y = 2, ux = 1.

30.u@u@x + y @u@y = x; x = 2u, y + 2x = u.

Найти решение краевых задач.

1. y00 + y0 = 2,		y0(0) = 0,	y(1) = 1.
2. y00 ¡ y = 3x,		y(0) = 0,	y(1) = 1.
3. y00	¡ y0 = 0,	y(0) = ¡1, y0(1) ¡ y(1) = 2.
4. y00	+ y = 3,	y(0) = 0,	y(¼ ) = 0.
			2
5. y00	+ y = ¼,	y(0) = 0,	y(¼) = 0.
6. y00	¡ y0 = x,	y(0) = 0,	y(1) = 2.

55

7. y00 ¡ y0 ¡ 2y = 0,				y0(0) = 2,			y(+1) = 0.
8. x2y00 ¡ 6y = 0,			y(0) ¡ ограничена, y(1) = 2.
9. y00 + 3y0 ¡ 4y = 1,				y(0) = 0,			y0(1) = 1.
10. y00	+	4y = 2,	y(0) = 0,			y(	¼ ) = 1.
							4
11. y00	+ y0 = 5x,		y0(0) = 0,			y(1) = 1.
12. y00	+ y0 = ¡x,		y(0) = 0,			y0(1) = 1.
13. y00 +		2y0 + y = e¡x,			y(0) = 0,			y(1) = 0.
14. 2y00 + 2y0 = x,			y0(0) = 0,				y(1) = 1.
15. y00	¡	2y = 2,	y(0) = 0,			y(x) ¡ ограничена при x ! +1.
16. y00	+	3y0 ¡ 10y = 0,			y(0) = 1,			y(1) ¡ ограничена.
17. y00	+	6y0 ¡ 16y = 1,			y(0) = 2,			y(x) ¡ ограничена при x ! +1.
18. y00	¡	6y0 + 8y = 8,			y(0) = 1,			y(x) ¡ ограничена при x ! +1.
19. y00	+ y = 0, y(0) = y(¼) = 0.
20. y00	+	100y = 0, y(0) = y(¼) = 0.
21. y00	+	4y = 0, y(0) = y(¼) = 0.
22. y00	¡ y0 + 2y = 2,				y(0) = ¡1,			y(+1) = 1.
23. y00	+	4y = sin x,		y(0) = y(¼) = 0.
24. y00	+ y = cos x,			y0(0) = y0(¼) = 0.
25. y00	+	9y = sin 2x,		y(0) = y(¼) = 0.
26. y00	+	16y = cos 2x,			y0(0) = y0(¼) = 0.

27.y00 + 4y = 0, y(0) = y(2¼) = 0.

28.y00 + y = 0, y0(0) = y0(¼) = 0.

29.y00 + y = 3, y(0) = y(¼) = 3.

30. y00 + y = 1, y0(0) = 1, y0(¼) = 1.

Построить последовательные приближения y0; y1; y2 к решению задачи Коши

y(0) = 0

и оценить погрешность на отрезке [¡1; 1]

1. y0	= x2 + y.	2.y0 = x2 + y2.
3. y0	= xy2 + 1.	4. y0 = yx2 + 1.

56

5. y0	= x + y + 1.		6. y0 = y2 + 2x.
7. y0	= ¡x2 + y2.		8. y0 = x2y2 + 2x.
9. y0	= xy2 + 3.		10. y0 = y2 + 2x.
11. y0 = 2y2 + x.			12. y0 = x4 + 5y2.
13. y0 = x2y2 + 2.			14. y0 = x2y + 2y2.
15. y0 = xy3 + y2.			16. y0 = 2y2		¡ x2.
17. y0 = 3x2 + y2 + 1.			18. y0 = x2 + 2y3.
19. y0 = 1 ¡ x2 + y2.			20. y0 = 2y2		+ x.
21. y0 = x2 + 3y2 + 1.			22. y0 = 2y2		+ x.
23. y0		= y2 + 3x ¡ 1.	24. y0	= x ¡ 2y2.
25. y0		= 2x + 3y2 + 2.	26. y0	= x3 + y2.
27. y0		= x + 2y2 ¡ y.	28. y0	= 3y2	+ x + 1.
29. y0		= ¡y2 + 2x2.	30. y0	= x ¡ 3y2.

Найти общее решение разностных уравнений.

1.yn+2 + 3yn+1 ¡ 4yn = n + 4n.

2.2yn+2 + 3yn+1 ¡ 14yn = n + 3 ¢ 2n.

3.5yn+2 ¡ 8yn+1 ¡ 4yn = 1 + n ¢ 2n.

4.2yn+2 + 4yn+1 ¡ 30yn = n + 2 ¢ 3n.

5.3yn+2 + 4yn+1 ¡ 7yn = 2n + 3n.

6.5yn+2 ¡ 4yn+1 ¡ 105yn = 1 + n ¢ 5n.

7.¡yn+2 + 4yn+1 ¡ 3yn = ¡n + 2n2.

8.yn+2 + 4yn+1 ¡ 4yn = n + 3n.

9.3yn+2 ¡ 4yn+1 ¡ 8yn = n2n.

10.yn+2 + 5yn+1 ¡ 24yn = (n + 1)3n.

11.4yn+2 ¡ 4yn+1 + yn = 5 + (n + 1)5n.

12.2yn+2 + 3yn+1 ¡ 11yn = n25n.

13.yn+2 + yn = 2n ¡ 1 + 2n.

14.yn+2 + 4yn = n + n2n.

15.yn+2 + 16yn = ¡n + 1.

16.2yn+2 ¡ 8yn = 3n2n.

17.¡3yn+2 ¡ 27yn = 1 + n + 2n.

57

18.2yn+2 + 6yn+1 ¡ 4yn = 3 + 2n.

19.yn+2 + 2yn+1 ¡ 15yn = 2 + 3n.

20.2yn+2 + 8yn+1 + 8yn = n + 2n.

21.2yn+2 + 2yn = n + 3n.

22.yn+2 + 5yn+1 ¡ 6yn = 2n + 2n.

23.yn+2 ¡ 8yn+1 + 16yn = 1 + 22n.

24.yn+2 ¡ 3yn+1 + 2yn = 2 + 22n.

25.yn+2 + 8yn+1 ¡ 11yn = ¡1 ¡ n + 3n.

26.yn+2 ¡ 7yn+1 + 4yn = 2n + 3n.

27.yn+2 + 7yn+1 ¡ 8yn = n + n2n.

28.yn+2 + 5yn+1 ¡ 8yn = 3n + 2n.

29.2yn+2 + 2yn+1 ¡ 12yn = n + 2n.

30.yn+2 + 12yn+1 ¡ 13yn = 6 + n6n.

Методом прогонки получить решение краевых задач при n = 1; 2; 3:

1.2yn¡1 ¡ (1 ¡ n+2) yn + yn+1 = 1; y0 = 0; y4 = 0:

1.nyn¡1 ¡ yn + 2yn+1 = 2; y0 = 0; y4 = 0:

2.3yn¡1 ¡ 2yn + nyn+1 = 2; y0 = 0; y4 = 0:

3.(n + 2)yn¡1 ¡ 2yn + 2yn+1 = 1; y0 = 0; y4 = 0:

4.2yn¡1 ¡ yn + nyn+1 = 4; y0 = 0; y4 = 0:

5.4yn¡1 ¡ 2yn + (n + 1)yn+1 = 1; y0 = 0; y4 = 0:

6.nyn¡1 ¡ yn + 3yn+1 = 2; y0 = 0; y4 = 0:

7.yn¡1 ¡ yn + 2nyn+1 = 1; y0 = 0; y4 = 0:

8.3nyn¡1 ¡ 2yn + 3yn+1 = 3; y0 = 0; y4 = 0:

9.(2n + 1`)yn¡1 ¡ yn + 2yn+1 = 1; y0 = 0; y4 = 0:

10.yn¡1 ¡ yn + (3 + n)yn+1 = 2; y0 = 0; y4 = 0:

11.2yn¡1 ¡ nyn + 5yn+1 = 4; y0 = 0; y4 = 0:

12.yn¡1 ¡ (n ¡ 1)yn + 5yn+1 = 1; y0 = 0; y4 = 0:

132yn¡1 ¡ 2nyn + 8yn+1 = 2; y0 = 0; y4 = 0:

14.(n + 2)yn¡1 ¡ nyn + yn+1 = 1; y0 = 0; y4 = 0:

15.2yn¡1 ¡ (1 ¡ n+2) yn + yn+1 = 2; y0 = 0; y4 = 0:

16.yn¡1 ¡ nyn + 6n+1 = 5; y0 = 0; y4 = 0:

58

17.4yn¡1 ¡ 2yn + nyn+1 = 1; y0 = 0; y4 = 0:

18.2yn¡1 ¡ (n + 1)yn + 6yn+1 = 2; y0 = 0; y4 = 0:

19.yn¡1 ¡ 3yn + (4 + n)yn+1 = 1; y0 = 0; y4 = 0:

20.4yn¡1 ¡ nyn + 8yn+1 = 3; y0 = 0; y4 = 0:

21.3nyn¡1 ¡ yn + 2yn+1 = 2; y0 = 0; y4 = 0:

22.yn¡1 ¡ nyn + (n + 1)yn+1 = 1; y0 = 0; y4 = 0:

23.4yn¡1 ¡ yn + 2nyn+1 = 6; y0 = 0; y4 = 0:

24nyn¡1 ¡ nyn + yn+1 = 1; y0 = 0; y4 = 0:

255yn¡1 ¡ 2yn + nyn+1 = 3; y0 = 0; y4 = 0:

262nyn¡1 ¡ nyn + 2yn+1 = 2; y0 = 0; y4 = 0:

27yn¡1 ¡ nyn + 2nyn+1 = 1; y0 = 0; y4 = 0:

28nyn¡1 ¡ yn + 4yn+1 = 1; y0 = 0; y4 = 0:

294yn¡1 ¡ nyn + nyn+1 = 5; y0 = 0; y4 = 0:

30nyn¡1 ¡ nyn + 5yn+1 = 2; y0 = 0; y4 = 0:

Список литературы

[1]. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982. - 332с. .

[2]Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970. - 272с.

[3]. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. - 2-е изд., испр. и доп.. - М.: Наука, 1986. - 287 с.

[4]. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения.

-3-е изд. - М.: Наука: Физматлит, 1998. - 231 с.

[5]. Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Лань, 2005. - 288 с.

[6]. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984.

-272с.

59

[7]. Краснов М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: [Учеб. пособие для втузов]/ М. Л. Краснов. - М.: Высшая школа, 1983. - 128 с.

[8]. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: "Интеграл-Пресс", 1998. - 207с.

[9]. Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. М.: Физматлит, 2005. - 384 с.

[10]. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1974.

[11]. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. М.: Высшая школа, 1989.

[12]. Франк А.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Избранные теоремы (учебное пособие). Изд-во КГТУ, 2001.-

[13]. Годунов С.К., Рябенький В.С., Разностные схемы. Введение в теорию. М.: Наука., 1973. - 673с.

[14]. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Высшая школа, 1978. - 287 с.

[15]. Гутер Р. С. Дифференциальные уравнения: [Учеб. пособие для вузов]/ Р. С. Гутер, А. Р. Янпольский. - 2-е изд., перераб. и доп.. - М.: Высшая школа, 1976. - 304 с.

[16]. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям/ Камке Э.. - 5-е изд.,стереотип.. - М.: Наука, 1976. - 576с.

[17]. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. - М.: Высшая школа, 1989. - 382с.

[18]Желдакова Л.В., Ушакова Е.Г. Приложение дифференциального исчисления к некоторым задачам физики и механики. Харьков, 1987. - 218с.

[19]. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: Наука, 2007. - 242с.

[20]. Эльсгольц Л.Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учебник/ Л.Э.Эльсгольц. - СПб.: Лань, 2002. - 220 c.

60