1.3.4.7.2 Примеры пересечения поверхностей

Пример 1. Построить линию пересечения кругового конуса со сферой (рисунок 1.3.53).

Рисунок 1.3.53 – Пересечение конической и сферической поверхностей

Задача решается способом секущих плоскостей-посредников. Следует отметить, что у обеих поверхностей имеется общая плоскость симметрии, которая проходит через ось симметрии конуса и центр симметрии сферы. Эта плоскость обозначенаФ(Ф₁). Она определяет опорные точки 1(1₂) – высшую и2(2₂) – низшую. Горизонтальные проекции этих точек1₁и2₁расположены соответственно на линииФ₁. К опорным следует отнести и точкиА,В, определяющие видимость линии пересечения данных поверхностей на горизонтальной плоскости проекцийП₁. Эти точки находятся в плоскости экватораΓ(Γ₂) сферической поверхности, которая пересекает конус по окружности радиуса R, а сферу по экватору. В пересечении горизонтальных проекций этих линий получаем точкиА₁иВ₁. Фронтальные проекцииА₂иВ₂точек видимостиАиВопределяются соответственно на линииΓ₂.

Далее определяем нужное количество промежуточных (произвольных, случайных) точек, используя для этого вспомогательные горизонтальные плоскости-посредники, одна из которых Γ(Γ₂) показана на чертеже. С её помощью построены точки3и4. ПлоскостьΓ(Γ₂) пересекает конус и сферу по соответствующим окружностям, которые проецируются в натуральную величину на плоскостьП₁. Их пересечение позволяет определить первоначально горизонтальные проекции3₁,4₁точек3и4, а затем по линии связи фронтальные проекции этих точек соответственно на линииΓ₂.

Построенные точки соединяют на обеих проекциях с учётом видимости плавной кривой с помощью лекала.

На фронтальной проекции половина кривой находится на задней стороне данных поверхностей. Но невидимая её часть закрывается видимой. На горизонтальной проекции видна часть кривой, на которой находятся точки 1,А,В, расположенные выше экватора сферы. Очерковая образующая фронтальной проекции конуса между точками1и2находится внутри сферы и изображена поэтому сплошной тонкой линией. Точно так же изображена часть линии очерка сферы, находящаяся внутри конуса. На горизонтальной проекции тонкой линией показана часть окружности экватора, находящаяся внутри конуса.

Пример 2. Построить линию пересечения двух конических поверхностей вращения (рисунок 1.3.56).

В данном случае в качестве вспомогательных поверхностей используются концентрические сферы. Но прежде чем рассмотреть решение этой задачи, остановимся на одном частном случае пересечения поверхностей вращения.

Пусть две такие поверхности имеют общую ось, т.е. являются соосными. В этом случае они будут пересекаться по окружностям, число которых равно числу точек пересечения меридианов поверхностей.

Пусть одна поверхность образуется вращением меридиана m(m₂), а другая – вращением меридианаn(n₂) около общей осиi(i₂) (рисунок 1.3.54). При этом общие точкиА(А₂),В(В₂),С(С₂) меридианов образуют окружности, общие для данных поверхностей, и число таких окружностей равно числу точек пересечения меридианов.

Рисунок 1.3.54 – Образование соосных поверхностей вращения

Рисунок 1.3.55 – Пересечение соосных поверхностей вращения

Предположим, что некоторая поверхность вращения пересекается со сферой, причём центр сферы находится на оси этой поверхности. При таком условии сфера будет соосной с поверхностью, и в пересечении получается окружность (рисунок 1.3.55).

Свойство сферы, имеющей центр на оси поверхности вращения, пересекать поверхность по окружностям является основой способа концентрических сфер.

Способ концентрических сфер применяется при следующих условиях:

1) пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения;

2) оси поверхностей пересекаются;

3) пересекающиеся оси образуют общую плоскость симметрии, параллельную плоскости проекций.

В рассматриваемом примере (рисунок 1.3.56) оси вращения данных конусов i,lпересекаются в точкеО(О₁, О₂) и образуют общую плоскость симметрии Ф(Ф₁), параллельную фронтальной плоскости проекцийП₂.

Вначале определяем опорные точки. Это наивысшая точка 1и наинизшая точка2, которые расположены в общей плоскости симметрииФ(Ф₁) и получаются в пересечении главных меридианов данных конусов. Исходя из этого отмечаем фронтальные проекции1₂и2₂точек1и2. Горизонтальные проекции1₁и2₁этих точек отмечаем на линииl₁ ≡ Ф₁. К опорным отнесём и точки, полученные при помощи вспомогательной секущей сферы наименьшего радиуса, проведённой из точкиО₂. Для определения этого радиуса нужно из точкиО₂провести две нормали к очерковым линиям поверхностей и выбрать большую из них. Если в качестве радиуса вспомогательной сферы взять меньшую нормаль, то одна из данных поверхностей с такой сферой не пересечётся. В данном примере с помощью сферы наименьшего радиуса построены точкиАиА^. Эта сфера (на чертеже она изображается окружностью) касается конуса с осью вращенияi, а конус с осью вращенияlпересекает. И касание, и пересечение осуществляются по окружностям, которые на фронтальной проекции изображаются отрезками. В их пересечении получаются точкиА₂ ≡ А^₂.

Рисунок 1.3.56 – Способ концентрических сфер

Горизонтальные проекции А₁,А^'₁точекАиА^'построены при помощи окружности-параллели конуса с осьюi, по которой вспомогательная сфера наименьшего радиуса касается этого конуса. Точки3и4видимости линии пересечения данных поверхностей на плоскостиП₁также относятся к опорным точкам. Они определяются при помощи плоскостиΓ(Γ₂), проведённой через ось вращенияlвторого конуса. Эта плоскость пересекает конус с осьюiпо окружностиm(m₂, m₁), а второй конус – по образующимqиq₁, которые совпадают с его осью. Горизонтальные проекции3₁,4₁точек видимости3и 4получаются в пересечении окружностиm₁с линиямиq₁иq^'₁.

Фронтальные проекции 3₂ ≡ 4₂этих точек определяются на линииl₂ ≡ Γ₂. На плоскостиП₁видимыми являются точки, расположенные на линии пересечения выше плоскостиΓ(Γ₂). Это точки1, А, А^', 3и4. Промежуточные точки линии пересечения определены с помощью сфер, проведённых из центраО₂, радиусы которых больше радиусаR_min– радиуса наименьшей сферы, но меньше радиуса наибольшей сферы, которая может быть проведена через наиболее удалённую точку2₂линии пересечения.

Ввиду того, что точка 2определяется с помощью общей плоскости симметрииФ(Ф₁), нет необходимости использовать сферу наибольшего радиуса. Определение промежуточных точек линии пересечения можно видеть на примере построения точек5и6. Фронтальные проекции5₂,6₂этих точек получены в пересечении линийa₂иb₂, которыми изображаются фронтальные проекции соответствующих окружностейaи b как принадлежащих одной и той же вспомогательной сфере-посреднику, соосной с данными поверхностями. Горизонтальные проекции5₁,6₁точек5и6построены при помощи окружности-параллелиаконуса с осью i.

Вспомогательные сферы-посредники могут быть и эксцентрическими, т.е. имеющими различные центры. Они применяются при следующих условиях:

1) из двух пересекающихся поверхностей одна является поверхностью вращения, а другая имеет семейство круговых сечений;

2) оси поверхностей в общем случае не пересекаются;

3) поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную плоскости проекций.