81
Определение 2. Число b2 называется	пределом функции	f (x) при
x x0 справа, если для любого сколь угодно	малого числа 0	существует

такое	0 , что	для	всех x ,	удовлетворяющих соотношению
x0 x x0	, выполняется неравенство				f (x) b2		.
Обозначение:		lim	f (x) b2 .
		x x0 0

Замечание. Если функция f (x) имеет в точке x0 оба односторонних предела, которые равны между собой и равны числу b , то функция f (x) имеет в точке x0 предел равный b .

§ 9. Свойства функций, имеющих предел

Определение.

Функция f (x) называется ограниченной на некотором

множестве M , если для любого x M выполняется неравенство

f (x)

C ,

где C – некоторая положительная константа.

Теорема 1.

Пусть функция

f (x)

имеет предел в точке x0 , тогда суще-

ствует проколотая окрестность O(x ) , в которой функция

f (x)

ограничена.

0

Доказательство.

Пусть

lim f (x) b . Это значит, что для любого 0

и

x

x0

для 1 существует 0

такое, что для любого x O

(x ) выполняется не-

0

равенство

f (x) b

1, т.е. b 1 f (x) b 1.

Пусть

C max

b 1

;

b 1

. Тогда для любого

x O

(x )

выполня-

0

ется неравенство

f (x)

C , что и требовалось доказать.

Теорема 2.

Если функция

f (x)

имеет предел при x x0 , то этот пре-

дел единственный.

Доказательство.

Предположим,

что функция

f (x) при

x x0

имеет два

различных предела, т.е.

lim f (x) a

и

lim

f (x) b .

x x0

x x0

lim

f (x) a , следовательно:

x x0

0

1

0

x :

для

любого

существует

такое,

что

для

любого

0

x x0

1

f (x) a

.

(1)

lim

f (x) b , следовательно:

x x0

0

2

0

x :

для

любого

существует

такое,

что

для

любого

0

x x0

2

f (x) b

.

(2)

Пусть

min 1; 2 . Тогда для любого x : 0

x x0

будут од-

новременно выполняться и неравенство (1), и неравенство (2).

82

Для этих значений x имеем:

b a

b f (x) f (x) a

(b f (x)) ( f (x) a)

.

По свойству модулей имеем:

(b f (x)) ( f (x) a)

b f (x)

f (x) a

2 .

Следовательно,

b a

2

b a

0 , т.е.

b a . Следовательно, если

предел у функции существует, то он единственный.

Теорема 3 (теорема о двух милиционерах).

Пусть даны три функ-

ции f (x) , (x) ,

g(x) , которые определены в некоторой окрестности O(x ) и

0

удовлетворяют условию (x)

f (x) g(x)

в этой окрестности. Тогда, если

lim (x) lim

g(x) b , то lim

f (x) b .

x x0

x x0

x x0

Доказательство. Пусть

f (x)

удовлетворяет условию (x) f (x) g(x) . (*)

Пусть lim (x) b , следовательно:

x x0

0

0

x :

для

любого

существует

1

такое,

что

для

любого

0

x x0

1

(x) b

.

(3)

Пусть lim g(x) b , следовательно:

x x0

0

0

x :

для

любого

существует

2

такое,

что

для

любого

0

x x0

2

g(x) b

.

(4)

Пусть

min 1; 2 . Тогда для любого x , удовлетворяющего соот-

ношению 0

x x0

, будут одновременно выполняться и неравенство (3)

и неравенство (4).

b (x) b .

Неравенство (3) можно представить в виде:

Неравенство (4) можно представить в виде:

b g(x) b .

Они выполняются одновременно, причем по условию выполняется не-

равенство (*). Тогда для любого x O

(x ) получаем:

0

b (x) f (x) g(x) b .

(3)

(*)

(*)

(4)

Таким образом, имеем:

для любого

x :

0

x x0

выполняется

b f (x) b

f (x) b

lim

f (x) b .

x x0

§ 10. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение 1. Функция

f (x)

называется б/м функцией при x x0 ,

если lim

f (x) 0 .

x x0

Пример.

Функции

y sin x и

y x

являются

б/м при

x 0 ,

т.к.

lim sin x 0 и

lim x 0 .

x 0

x 0

83

Теорема 1.

Пусть f (x) , (x) – б/м функции при x x0 . Тогда:

F(x) f (x) (x) – б/м функция при x x0 .

Доказательство.

Рассмотрим произвольное число . Тогда:

x :

для

2 0

существует

1

0

такое,

что

для

любого

0

x x0

1

f (x)

2 ;

x :

для

2 0

существует

2

0

такое,

что

для

любого

0

x x0

2

(x)

2 .

Пусть

min

;

2

. Тогда для любого x O

(x ) имеем:

1

0

F(x)

f (x) (x)

f (x)

(x)

2 2 .

Т.е. для любого 0 нашли min

;

2

такое,

что для всех x O(x )

1

0

выполняется неравенство

F(x)

. Следовательно,

lim

F(x) 0 , т.е. F(x)

x x0

– б/м функция при x x0 .

Теорема 2. Пусть f (x) – б/м функция при x x0 и функция (x) – ограничена в O (x0 ) , тогда F(x) f (x) (x) – б/м функция при x x0 . Доказательство. Пусть f (x) – б/м функция при x x0 , следовательно,

lim f (x) 0 .

x x0

(x) – ограниченная в O (x0 ) функция, следовательно, существует C :

для любого x O

(x )

(x)

C .

0

C 0 . По определению предела для

Для любого 0 рассмотрим

него существует

0

такое, что для любого x O

(x )

f (x)

C .

1

1

0

Пусть

* min ;

1

,

тогда для любого x :

0

x x

0

*

F(x)

f (x) (x)

f (x)

(x)

C .

C

существует *

Таким образом, для любого 0

такое, что для любого

x : 0

x x

0

*

F(x)

. Следовательно,

lim F(x) 0 , т.е. F(x) –

x x0

б/м функция при x x0 .

Теорема 3.

Пусть f (x)

– б/м функция при x x0 , функция g(x) име-

ет предел lim g(x) b 0 . Тогда:

x x0

f (x)

F(x)

– б/м функция при x x .

g(x)

0

Доказательство.

По условию: F (x)

f (x)

f (x)

1

.

g(x)

g(x)

84

Согласно теореме 2, если умножить б/м функцию на ограниченную, то получится б/м функция. Докажем, что 1g(x) – ограниченная в O (x0 ) функция.

lim g(x) b , следовательно, для любого 0

существует 0

такое,

x x0

что для любого x : 0

x x0

g(x) b

.

Отсюда получаем:

b g(x)

b

g(x)

, тогда

b

g(x)

g(x)

b

.

Пусть

b

, тогда:

1

1

g(x)

b

0 ,

C .

g(x)

b

1

Таким образом,

функция

– ограничена в

O

(x ) , следовательно, по

g(x)

0

теореме 2, F(x)

– б/м функция при x x0 .

Определение 2.

Функция

g(x)

называется б/б функцией при x x0 ,

если для любого сколь угодно большого наперед заданного числа E 0 су-

ществует 0

такое, что для любого x :

0

x x0

g(x)

E .

Обозначение:

lim g(x) .

x x0

1

Теорема 4.

Пусть g(x)

– б/б функция при

x x0 .

Тогда функция

является б/м функцией при x x .

g(x)

0

Доказательство. Пусть g(x)

– б/б функция при

x x0 ,

т.е. для любого

E 0 , а значит и для

1 E

существует 0

такое,

что для любого x :

0

x x

g(x)

E

1

1

1

,

следовательно,

0

g(x)

g(x)

E

1

является б/м функцией при x x .

g(x)

0

1

Теорема 5.

Пусть f (x)

– б/м функция при

x x0 . Тогда функция

является б/б функцией при x x .

f (x)

0

Доказательство. Для любого E 0 ( E – произвольное, сколь угодно большое число) существует 1E 0 . По определению б/м функции имеем: для

любого 0 существует 0 такое, что для любого x :