18
или, короче
A X = B .	(3)

Равенство (3) называется матричным уравнением.

Если система (2) записана в форме матричного уравнения (3) и матрица A системы невырожденная, то это уравнение решается следующим образом:

A−1 (A X )= A−1 B .

Используя сочетательный закон умножения матриц, можно написать

(A−1 A) X = A−1 B .

Но т.к. (A−1 A)= E и E X = X , то получим решение матричного уравнения

(3) в виде

X = A−1 B .

(4)

Пример 1. Решить систему уравнений

	x	+ 2x		=10,
	1		2	= 23,
	3x1 + 2x2 + x3
		x2 + 2x3		=13.

Решение. Запишем данную систему уравнений в матричном виде:

	1	2	0		x			10
	3	2	1		1
					x2		=	23 .
	0	1	2					13
					x3

Обратную матрицу к матрице системы мы нашли в примере 1 § 3. Тогда

	−1 3		4 9 − 2 9				10		4
X = A−1		2 3 − 2 9 1 9							3
	B =						23	=		.
		−1 3	1 9	4 9					5
Ответ: {4; 3; 5 }.							13

4.2 Метод Крамера

Рассмотрим систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3a21 x1 + a22 x2 + a23 x3a31 x1 + a32 x2 + a33 x3

= b1,

= b2 , (5)

= b3.

Введем обозначения:

19

	a11	a12	a13			b1	a12	a13
=	a21	a22	a23	,	x1 =	b2	a22	a23	,
	a31	a32	a33			b3	a32	a33

	a11	b1	a13		a11	a12	b1
x2 =	a21	b2	a23	x3 =	a21	a22	b2	.
	a31	b3	a33		a31	a32	b3

Теорема. 1. Если матрица системы линейных алгебраических уравнений (5) невырожденная, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

x =

x1

, x

2

=

x2

,

x

3

=

x3

.

1

2.

Если

= 0 , а

x1 ≠ 0 , или

x2 ≠ 0 , или x3 ≠ 0 , то сис-

тема (5) не имеет решений.

3.

Если

= x1 =

x2

= x3 = 0 , то система (5) может иметь

бесконечное множество решений или не иметь их вовсе.

Доказательство. Умножим почленно первое уравнение системы (5) на A11 , второе – на A21 и третье – на A31 . Получим равносильную систему:

	A	a		x	+ A	a		x	2		+ A	a		x		3		= A	b		,
	11	11		1	11	12					11	13						11		1
	A21 a21 x1 + A21 a22 x2 + A21 a23 x3 = A21 b2 ,
	A	a	31	x	+ A	a	32	x		2	+ A	a	33		x		3	= A		b .
	31			1	31						31							31			3

Сложим все эти три уравнения:

(A11 a11 + A21 a21 + A31 a31 ) x1 + (A11 a12 + A21 a22 + A31 a32 ) x2 + (A11 a13 + A21 a23 + A31 a33 ) x3 = A11 b1 + A21 b2 + A31 b3 .

После упрощения имеем

x1 =

x1 .

Аналогично выводятся равенства

x2 = x2

и

x3 = x3 .

Отсюда, если ≠ 0 , имеем единственное решение системы (5)

x

=

x1

,

x

2

=

x2

,

x

3

=

x3

.

1

Если, например,

= 0 , а

x2 ≠ 0 , то второе уравнение примет вид

0 =

x2

≠ 0 ,

следовательно, в этом случае система решений не имеет.

20

Если = x1 = x2 = x3 = 0 , то система может иметь бесконечное множество решений или не иметь их вовсе (это примем без доказательства).

Пример 2.									Решить систему уравнений методом Крамера
																					x + 2 y − z			= 2,
																				2x − 3y + 2z				= 2,
																				3x + y + z				= 8.
Решение.
		1							2		−1
=		2							− 3		2						= −3 +12 − 2 − 9 − 2 − 4 = −8 ,
		3							1		1
x =						2			2		−1
						2			− 3						2				= −6 + 32 − 2 − 24 − 4 − 4 = −8 ,
						8			1		1
y =								1	2		− 2
								2 2			2				= 2 +12 −16 + 6 −16 − 4 = −16 ,
								3	8		1
z =					1				2		2
					2 − 3 2								= −24 +12 + 4 +18 − 2 − 32 = −24 .
					3				1		8
Тогда
x = x =										−8	=1, y =										y =	−16	= 2 , z = z =		− 24	= 3.
										−8															−8
																						−8

Ответ: {1; 2; 3 }.

4.3 Метод Гаусса

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений

a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1,
a	21	x	+ a	22		x		2	+... + a		2n		x		n	= b		,
		1															2		(6)
																		,
..........		..........				..........				..........		..........					.....
a	m1	x	+ a		m	2	x		2	+... + a		mn		x		n	= b .
		1																m

21

Допустим, что в системе (6) коэффициент a11 ≠ 0 . Тогда поделим обе части первого уравнения системы на a11 . Получим систему, равносильную данной:

x

+ a12 x

...+ +

a1n

x

=

b1

,

2

n

1

a11

a11

a11

x1 + a22 x2 +

+ a2n xn = b2 ,

(7)

a21

..........

....................

..........

..........

.....,

x1 + am2 x2 + + amn xn = bm .

am1

Исключим теперь с помощью элементарных преобразований неизвестную x1 из всех уравнений системы (7), кроме первого. Получим

x

+

a12

x

2

+... +

a1n

x

n

=

b1

,

1

a11

a11

a11

′

′

xn

′

(8)

a22

x2 +... + a2n

= b2 ,

..................................................,

′

x2 +

′

′

am2

... + amn xn

= bm .

Здесь введены обозначения:

′

a12

′

a13

′

a1n

a22

= a22 − a21 a

,

a23

= a23 − a21

, …, a2n = a2n

− a21

,

a

a

11

11

11

′

a12

′

a13

′

a1n

am2

= am2 − am1 a

, am3 = am3 − am1

…, amn = amn

− am1

,

a

a

11

11

11

′

b1

′

b1

′

= bm − am1

b1

,

, …,

a

.

b2 = b2 − a21 a

b3 = b3 − a31 a

bm

11

11

11

Разделим теперь второе уравнение системы (8) на коэффициент a22′ , предполагая, что a22′ ≠ 0 . Затем исключим неизвестную x2 из всех уравнений полученной системы, кроме первого и второго, и т.д.

Если, продолжая этот процесс, мы придем к системе, содержащей уравнение, в котором все коэффициенты левой части равны нулю, а свободный член отличен от нуля, то эта система несовместна. В том случае, когда система совместна, придем либо к системе

~	~	~	~
x1 + a12	x2 + a13	x3 +... + a1n xn = b1,
	~	~	~
	x2 + a23	x3 +... + a2n xn = b2 ,		(9)
			,
....................	..........	....................~
			~
		xp +... + apn xn = bp .

причем p < n , либо к системе
~	~	x3	~	~
x1 + a12	x2 + a13		+... + a1n xn = b1,
	~	x3	~	~	,
	x2 + a23		+... + a2n xn = b2
					,
....................	..........	..........	..........	..........~.
				xn = bn .

22

(10)

Система вида (9) называется ступенчатой, а вида (10) – треугольной. Приведение матрицы к ступенчатому или треугольному виду называется прямым ходом метода Гаусса.

~В	случае	треугольной системы	из последнего уравнения находим
xn = bn ,	затем,	подставляя значение xn	в предыдущее уравнение, находим

xn −1 и т.д.

Таким образом, если данная система уравнений (6) после выполнения ряда элементарных преобразований приводится к треугольной системе (10), то это означает, что система (6) является совместной и определенной.

Если же данная система (6) после элементарных преобразований приводится к ступенчатой системе (9), то система (6) совместна и неопределенна.

В самом деле, перенося в каждом из уравнений системы (9) члены с неизвестными xp +1 , …, xn в правую часть, получим систему

~	~	~	~	xp +1	~
x1 + a12	x2 +... + a1 p xp = b1		− a1 p +1		−... − a1n xn ,
	~	~	~	xp +1	~	,
	x2 +... + a2 p xp = b2		− a2 p +1		−... − a2n xn		(11)
					,
....................	....................	..........~	..........~ ..........
				xp +1	~
		xp = bp	− ap p +1		−... − apn xn .

Придавая неизвестным xp +1 , …, xn , которые называются свободными, произвольные значения αp +1 , …, αn , получим треугольную систему, из которой последовательно найдем все остальные неизвестные xp , xp −1 , …, x1 . Т.к. числа αp +1 , …, αn могут иметь различные значения, то исходная система (6) имеет в этом случае бесконечное множество решений.

Пример 3. Решить систему уравнений

x		+ x	2	+ x	3	+ x	4	=1,
	1
x1 + x2 − x3								= 2,
		x2 + x3						= 0.

Решение. Вычитая из второго уравнения системы первое, получаем

− 2x3 − x4 =1, или x3 + 0,5x4 = −0,5.

23

В результате этих преобразований получим систему

x		+ x	2	+ x	3	+ x	4	=1,
	1
		x2 + x3						= 0,
				x3		+ 0,5x4		= −0,5.

Эта система ступенчатого вида равносильна данной. Считая x4 произвольным, последовательно находим

x3 = −0,5 − 0,5x4 , x2 = −x3 = 0,5 + 0,5x4 , x1 =1 − x4 .

Следовательно, любой упорядоченный набор из четырех чисел вида (1 − t ; 0,5 + 0,5t ; − 0,5 − 0,5t ; t ) , где t R , является решением данной системы

уравнений, и других решений система не имеет.

Ответ: {(1 − t ; 0,5 + 0,5t ; − 0,5 − 0,5t ; t ),								где	t R }.
Пример 4. Решить систему уравнений
	x	+ x	2		− x	3		− x	4	=1,
	1
	x1 + 2x2 + 3x3 − x4									= 2,
	3x	+ 5x		2	+ 5x		3	− 3x	4	= 6.
	1

Решение. Вычитая из второго уравнения системы первое, получаем уравнение x2 + 4x3 =1. Далее, вычитая из третьего уравнения системы первое, ум-

ноженное на 3, получаем

2x2 +8x3 = 3 , или x2 + 4x3 =1,5.

В результате этих преобразований получаем систему

x		+ x		−
	1		2	+
		x2
		x2		+

x3 − x4	=1,
4x3	=1,
4x3	=1,5,

которая равносильна данной.

Далее, вычитая из последнего уравнения полученной системы второе уравнение, получаем уравнение

0 = 0,5 ,

которое, очевидно, не имеет решений.

Следовательно, данная система уравнений не имеет решений. Ответ: система решений не имеет.

Пример 5. Решить систему уравнений

	2x	+		x	2		− x	3	=1,
	1
	3x1 + 2x2 − 2x3 =1,
	x		− x			2	+ 2x	3	= 5.
	1