155

	10. Найти частные производные дz ,		дz		функции z = z(x; y) :
		дx	дy
	а)	z = x y2 ;			б)	z = arcctg	y	.
							x
	11. а) Найти производную сложной функции					z = f (ϕ(t);ψ (t)) :
		f (x; y) = y tg(2x2 − y) ,		ϕ(t) =1 t , ψ (t) = t .
	б)	Найти частные производные	дz	,	дz	сложной функции
			дu		дv
		z = f [ϕ(u; v);ψ (u; v)]:
		f (x; y) = arctg (xy) , ϕ(u; v) = u2v ,			ψ (u; v) = vev .

12.Дана функция z = x2 + y2 + 2x + y −1 и две точки A( 2; 4) и B(1,98; 3,91) . Требуется:

1)вычислить значение функции в точке B ;

2)вычислить приближенное значение z1′ функции в точке B , исходя из значения z0 функции в точке A и заменив полное приращение функции при переходе от точки A к точке B полным дифференциалом;

3)оценить в процентах относительную погрешность, полученную при

замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности

z = x2 + y2 + 2x + y −1 в точке C(2; 4; z(2; 4)) .

Вариант 7

Контрольная работа № 1

1. Даны вершины A(7; − 4) , B(3; −7) , C(−2; 5) треугольника. Требуется найти:

1)длину стороны BC ;

2)площадь треугольника ABC ;

3)уравнение стороны BC ;

4)уравнение высоты, проведенной из вершины A ;

5)длину высоты, проведенной из вершины A ;

6)угол B в радианах с точностью до 0,01.

Сделать чертеж.

2. Составить уравнения катетов прямоугольного равнобедренного треугольника, зная уравнение гипотенузы 3x − y + 7 = 0 и координаты вершины

C(3; −2) прямого угла.

––––––––––––––––––––––––––––––––––

© Тимофеев В.А., Тимофеев А.А., 2008

156

3. Даны последовательные вершины параллелограмма: A(0; 0) , B(1; 3) C(7; 1) . Найти угол между его диагоналями показать, что этот параллелограмм является прямоугольником.

4.Составить уравнение линии, каждая точка которой отстоит от точки A(0; 2) вдвое ближе, чем от точки B(0; 6) . Сделать чертеж.

5.Составить уравнение эллипса, симметрично расположенного относительно осей координат, если один из его фокусов совпадает с фокусом параболы

x2 = −12 y , а расстояние одной из его точек до его фокусов равно 4 и 6 . Сделать чертеж.

6. Дано уравнение параболы x2 + 6x +5 y −6 = 0 . Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO1Y уравнение параболы приняло вид x2 = ay или y2 = ax . Построить обе системы координат и параболу.

7. Решить систему линейных алгебраических уравнений:

3x − y + 2z −9 = 0,

2x +3y − z = 0,

2x + 4 y +3z −3 = 0,

а) используя правило Крамера; б) используя матричный метод; в) используя метод Гаусса.

8.	Даны векторы ar ={1; −2; 3}, b ={4; 7; 2} , c ={6; 4; 2} , dr ={14; 18; 6} в не-
котором базисе. Показать, что векторы a ,			b , c образуют базис,	и найти ко-
ординаты вектора dr		в этом базисе.
9.	Даны вершины	A1 (5;5; 4) , A2 (3;8; 4) ,	A3 (3;5;10) , A4 (5;8; 2)	пирамиды.

Требуется найти средствами векторной алгебры:

1)длину ребра A1 A2 ;

2)угол между ребрами A1 A2 и A1 A4 ;

3)площадь грани A1 A2 A3 ;

4)объем пирамиды;

5)уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1 A2 A3 .

157

Контрольная работа № 2

1. Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя):

а)

в)

д)

lim		x3	+5			;
			10x +	5
x→∞ 7x3 +
lim		x2 +1 −1			;
x→0 x2 +			2 − 2

lim [3x(ln(x + 4) −ln x)].

x→∞

2x2 −72 б) lim x2 −7x + 6 ;

x→6

г) lim cos 2x −1 ; x→0 3x sin x

2. Функция y = f (x) задана различными аналитическими выражениями для

различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график функции.

	4 − x	2 , x < 0;
		0 ≤ x ≤ π 4;
y = cos 2x,
− x, x > π 4.

3.

Найти производные

dy

:

2x −1

dx

а)

y =

;

б)

y = e2 x (3sin 2x −cos 2x) ;

x +1

в)

y = (1 + ln sin 2x)2 ;

г)

y = (9x2 +1) arctg 3x ;

д)

e2 y −e−3x +

y

=1.

x

4.

Найти

dy

и

d

2 y

для функции, заданной параметрически:

dx

dx2

x = 3t −t3

,

y = 3t 2 .

5. Продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования:

а) y = (x3 + 4)tg x ;	б) y =		5 (x3 −10)		3	.
		(x2	− 4) 3 (x5
				−7)2

							158
6.	Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя:
	а)	lim e3x −3x −1		;	б)	lim ((1 − cos x)ctg x).
		x→0	sin 2 5x			x→∞
7.	На линии		y = 2x3 −3x2 − x + 2		найти точку, в которой касательная к этой
линии параллельна прямой 4x + 4 y − 7 = 0 .
8.	Исследовать методами дифференциального исчисления и построить гра-
фики функций:							1
	а)	y = x2 + 1 x3 −		1 x4 ;	б) y = ln x −			x2 .
							2
			3	4
9.	Вычислить приближенно с помощью дифференциала:
	а)	y =1	2x +1 ,	x =1,58 ;	б)	y = x10 ,	x =1,099 .

10. Найти частные производные

	а)	z =	x + y		;
			x2 + y	2

ддxz , ддyz функции z = z(x; y) :

б) z = arcsin(xy) .

11. а) Найти производную сложной функции							z = f (ϕ(t);ψ (t)) :
f (x; y) = x arcsin	x	,		ϕ(t) = t ,			ψ (t) = t 2 +1 .
	y
б) Найти частные производные				дz	,	дz	сложной функции
						дv
z = f [ϕ(u; v);ψ (u; v)]:				дu
f (x; y) = yex , ϕ(u; v) = u	,		ψ (u; v) = u + v .
v

12.Дана функция z = 3x2 + 2 y2 − xy и две точки A( −1; 3) и B( − 0,98; 2,97) . Требуется:

1)вычислить значение функции в точке B ;

2)вычислить приближенное значение z1′ функции в точке B , исходя из значения z0 функции в точке A и заменив полное приращение функции при переходе от точки A к точке B полным дифференциалом;

3)оценить в процентах относительную погрешность, полученную при

замене приращения функции ее дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности

z = 3x2 + 2 y2 − xy в точке C(−1; 3; z(−1; 3)) .