ЗАДАЧИ ТОЭ

+

10

− 50

Uab =

1 +

R

R

= −10 =10, B.

1 + 1 +

1

R

R

R

R

Решить задачу 2.4 самостоятельно, в соответствии с данными

табл. 2.4. Номер варианта выдается преподавателем.

Задача 2.5.

Для электрической цепи определить ток в ветви с

резистором R4 методом активного двухполюсника (рис. 2.8).

E1=8 В

E3=4 В

Решение

Согласно методу ак-

R5=4 Oм

тивного

двухполюсника

E2=10 В

(или эквивалентного ге-

R1=3 Oм

R3=4 Oм

нератора)

воздействие

R2=6 Oм

всех источников питания

R4=2 Oм

на ветвь

с

неизвестным

а

током заменяется воздей-

b

I4

ствием одного,

так назы-

ваемого

«эквивалентно-

Рис. 2.8

го», генератора, который

на эквивалентной схеме

замещения (рис.2.9) соединяется последовательно с исследуемой вет-

вью:

EЭ

а

I4 = −

,

RЭ + R4

+

ЕЭ

ЕЭ = UаbXX , RЭ = RаbXX ,

–

R4

где UаbXX – напряжение между зажи-

Uab

RЭ

мами эквивалентного генератора а и

I4

b в режиме холостого хода;

b

RаbXX

– сопротивление между зажи-

мами а и b пассивного двухполюсни-

Рис. 2.9

ка, полученного из схемы, соответст-

вующей

холостому

ходу

эквива-

лентного генератора.

E1

E3

В

c

рассматриваемом

I1

I3

ХХ

случае

схема,

ХХ

соответствующая

E2

R5

R3

холостому

ходу

R1

эквивалентного

R2

UabХХ

генератора,

выглядит

так (рис.2.10.)

b

а

Пассивный

двухполюсник

(рис.

Рис. 2.10

2.11)

образуется

при

исключении

питания,

по

сохранения

их внутренних

сопротивленийисочников (впитаданномия,

c

случае нулевых).

1.

Определение

R5

ЭДС

эквивалентного

R1

R2

R3

генератора (рис. 2.10).

В

двухконтурной

схеме

определяются

токи в ветвях и далее

b

а

на

основе

второго

Рис. 2.11

закона

Кирхгофа

в

контуре

aсb

− E1 − E2 =

− 6 −10

расcчитывается UаbXX :

I1хх =

= −2, A,

R1 + R2

3 + 6

I3xx

=

− E3

=

− 4

= −0,5, A,

R3 + R5

4 + 4

− E2 = R5I3XX

+ R2I1XX

– UаbXX

или UаbXX

= E2 + R5I3XX

+ R2I1XX

= 10 + 4(-0,5) + 6(-2) = – 4, В.

Таким образом, UаbXX = – 4 В.

2. Определение внутреннего сопротивления эквивалентного

генератора (рис. 2.11). Как видно, R1 и R2 соединены параллельно

друг другу, R5 и R3 – аналогично,

между

собой

они

соединены

последовательно, поэтому:

R

abXX

=

R1R2

+

R3R5

=

3 × 6

+

4 × 4

= 4 Ом,

R1 + R2 R3

+ R5 3 + 6 4 + 4

или RЭ = R

аbXX

= 4 Ом.

3. Определение тока в исследуемой ветви (рис. 2.9)

I4 =

− EЭ

= − (− 4) = 0,67, A.

RЭ + R4

4 + 2

Решить задачу 2.5 самостоятельно, исходя из данных табл. 2.5. Номер варианта выдается преподавателем.

Задача 2.6. В электрической цепи (рис.2.12) определить ток в ветви с линейным элементом R5. Вольтамперная характеристика (ВАХ) нелинейного элемента (НЭ) приведена на рис. 2.13.

		U	В
R1=20 Ом	а	30,0
Е=120 В R2=30 Ом		20,0
		R5
R4=40 Ом		10,0
	b					I,
R3=10 Ом			0,5	1,0 1,5	2,0	A
Рис. 2.12				Рис. 2.13

Решение

1. Определение параметров эквивалентного генератора.

		а							Для определения тока в одной ветви схемы (в
									рассматриваемом случае, в ветви с НЭ) ис-
		ЕЭ.Г.							пользуется метод эквивалентного генератора.
			Uab					R5	Эквивалентная схема замещения исходной
									цепи, а так же схемы эквивалентного генера-
		RЭ.Г.
									тора на холостом ходу и пассивного двухпо-
									люсника приводится на рис. 2.14, 2.15 и 2.16.
		b
		Рис. 2.14

I1

Аналогично решению преды-дущей зада-

R1

чи ЭДС эквивалентного генератора (рис.

XX

2.14)

а

ЕЭ = UаbXX ,

R2

Е

Uаb

причем (рис. 2.15)

I2XX

XX

-UаbXX + R2 I1XX - R4 I2XX = 0,

R4

b

то есть EЭ= UаbXX =+ R2 I1XX - R4 I2XX .

R3

Токи I1XX

и

I2XX определяются

Рис. 2.15

любым известным методом, напри-

мер,

- E

-120

R1

а

I1XX

=

=

= -2,4, A;

R2

R1 + R2

20 + 30

I2XX

=

- E

= -120

= -2,4, A.

R3 + R4

10 + 40

R3

R4

b

Тогда

EЭ = UаbXX =

= 30×(–2.4) – 40× (–2,4) = 24, В,

Рис. 2.16

внутреннее сопротивление

эквива-

лентного генератора (рис. 2.16)

R

= R

abXX

= R1R2

+

R3R4

= 30 × 20 + 10 × 40 = 20, Ом.

Э

R1

+ R2

R3 + R4

20 + 30 10 + 40

Таким образом, внешняя характеристика эквивалентного

генератора

Uab = EЭ-RЭI =24 - 20I

имеет вид (рис. 2.17).

U B

U

В

30,0

25

20,0

20

15

17,5

10

10,0

5

I

I,

0

0,5

1,0

1,5

2,0

A

0,325 0,5

1,0

1,5

2,0

A

Рис. 2.17

Рис.2.18

2. Определение тока в ветви с НЭ.

Поскольку напряжение на зажимах эквивалентного генератора является одновременно и напряжением на зажимах НЭ и по ним протекает один и тот же ток (рис. 2.14), согласно методу пересечения характеристик Uab = 17,5 B , I = 0,325 А (рис. 2.18)

Решить задачу 2.6 самостоятельно, используя данные табл. 2.6. Номер варианта выдается преподавателем.

Варианты заданий к самостоятельной работе

Таблица 2.1

	Параметры				Вариант
		1	2	3	4	5	6	7	8
	E1,B	70	80	90	100	110	120	130	140
	E2, B	20	30	40	50	60	70	80	90
	R1, ОМ	30	40	50	60	70	80	90	100
	R2 , ОМ	20	30	40	50	60	70	80	90

Таблица 2.2

	Параметры				Вариант
		1	2	3	4	5	6	7	8
	E1, В	7	12	17	22	27	32	37	42
	E2, B	3	6	9	12	15	18	21	24
	Е3, В	11	15	19	23	27	31	35	39
	R2, Ом	3	5	7	9	11	13	15	17
	R3, Ом	5	10	15	20	25	30	35	40
	R4, Ом	7	9	11	13	15	17	19	21
	R5, Ом	3	5	7	9	11	13	15	17

Таблица 2.3

	Параметры				Вариант
		1	2	3	4	5	6	7	8
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	E1, В	10	20	40	30	70	50	90	100
	E2, B	180	190	220	120	250	230	360	450
	R1, Ом	70	65	75	80	88	78	94	100

Окончание табл. 2.3

	1		2	3	4	5	6	7	8	9
	R2,	Ом	6	4	3	10	14	12	16	18
	R3,	Ом	69	62	72	78	86	76	90	95
	R4, Ом		35	32	37	40	44	39	47	50
	R5, Ом		32	30	35	38	42	36	44	48
									Таблица 2.4
	Параметры					Вариант
			1	2	3	4	5	6	7	8
	Е1,B		20	-10	40	30	20	-70	60	-50
	Е2,B		-30	10	20	-40	-40	-60	-50	80
									Таблица 2.5
	Параметры					Вариант
			1	2	3	4	5	6	7	8
	E1, B		4	6	5	10	12	8	9	11
	E2, B		9	9	7	15	18	12	13	16
	R1, Ом		4	6	5	7	9	8	10	12
	R2, Ом		8	12	10	14	18	16	20	24
	R3, Ом		5	6	5	7	4	6	8	7
	R4, Ом		2	3	6	7	4	6	7	6
	R5, Ом		5	6	7	8	5	7	7	6
	E3, В		2	3	3	5	6	4	5	6
									Таблица 2.6
	Параметры					Вариант
			1	2	3	4	5	6	7	8
	E1, B		110	108	116	112	118	114	122	124
	R1, Ом		22	24	18	16	14	26	12	10
	R2, Ом		33	36	27	24	21	39	18	15
	R3, Ом		11	12	9	8	7	13	6	5
	R4, Ом		44	48	36	32	28	52	24	20

Лабораторно-практическое занятие № 3 АНАЛИЗ ОДНОФАЗНЫХ НЕРАЗВЕТВЛЕННЫХ ЦЕПЕЙ

ПЕРЕМЕННОГО ТОКА С RL И RC ПРИЕМНИКАМИ

Типовые задачи

Задача 3.1. Заданы графики изменения u(t) и i(t) (с амплиту- дами Um=141 В; Im=2,82 А) для участка электрической цепи. Записать функции в тригонометрической и комплексной формах, если f = 50 Гц. Определить полное сопротивление и угол сдвига фаз, используя данные табл. 3.1. Построить схему замещения цепи.

	i,u
	i(t)	u(t)
π/4	π/6	t(ω t)
		Рис. 3.1

Решение

Напряжение u(t) и ток u(t) изменяются по синусоидально- му закону (см. рис. 3.1) с одной частотой, следовательно, мгно- венные значения тока и напря- жения в цепи записываются:

u = Um sin(wt+yu ),

i = Im sin(wt+yi), (3.1)

где Um – амплитудное значение напряжения; Im – амплитудное значение тока; w = 2pf – угловая час- тота; f = 1/T – частота синусоидальных напряжения и тока; Т – пери- од; yu –- начальная фаза синусоидального напряжения; yi – начальная

фаза синусоидального тока

w = 2pf= 2p×50= 314 рад/с ; yu= –p /6 = –30 °; yi= p /4 = 45 °.

(3.2)

Начальная фаза напряжения yu имеет знак (–), так как синусоида u(t) сдвинута по оси абсцисс вправо от начала координат (величина самой функции при t =0 имеет отрицательное значение). Напомним,

что началом любой синусоиды полагается точка перехода функции из отрицательного значения в положительное значение. Поэтому же на- чальная фаза тока имеет знак (+), так как синусоида i(t) сдвинута по оси абсцисс влево от начала координат. Таким образом, в соответст-

вии с (3.1) и (3.2) имеем:
u = 141×sin (314t – 30 °) В,	i = 2,82×sin (314t + 45 °) А.

Синусоидальные функции времени изображаются также ком- плексными числами, которые, по сути, аналитически описывают вра- щающиеся радиус-векторы на комплексной плоскости, рассматри- ваемые в момент времени t =0.

Комплексные изображения синусоидальных величин чаще всего записываются для действующих значений. Поэтому в первую очередь определим действующие значения тока и напряжения данной цепи:

I =

I

m

=

2,82

= 2 A,

U =

U

m

=

141

=100 B.

2

2

2

2

Представим u(t) и i(t) в комплексной форме (показательная фор-

ма записи комплексных чисел):

&

jψu

=100e

− j30o

B ,

&

jψi

=100e

− j45o

A.

U = Ue

I = Ie

Модуль комплексного напряжения равен действующему значе- нию напряжения U участка цепи, а аргумент – начальной фазе (на- чальная фаза синусоидального напряжения ψu) и, соответственно, модуль комплексного тока равен действующему значению тока I уча- стка цепи, а аргумент – начальной фазе (начальная фаза синусои- дального напряжения ψi). Напомним, что такое представление воз- можно, поскольку ток и напряжения изменяются с одной и той же уг- ловой частотой и, следовательно, изображающие их векторы на ком- плексной плоскости взаимно неподвижны.

Определим полное комплексное сопротивление цепи

j	ϕ		j u		j	ψι		- j30 o	j45 o
		&	ψ	/ Ie			= (100e	) / (2e	) =
Z = Z e = U /I = Ue
		=	(100 /2)e j(-30 o- 45 o) = 50e – j 75 o Ом,

где Z – полное сопротивление цепи, Ом; ϕ – разность фаз между то- ком и напряжением (угол сдвига фаз), ϕ < 0.

В алгебраической форме записи комплексное сопротивление цепи Z имеет вид (переход осуществляется с помощью формулы Эйлера):

Z= Ze jϕ =Zcosϕ +jZsinϕ = R+j X=

=50cos (-75 °) + j50sin (-75°) =12,94 – j48,3 Ом.

Здесь R – действительная часть (активное сопротивление), а Х – мни- мая часть (реактивное сопротивление) комплексного сопротивления цепи Z.

I&

U& R

R

&

U U& C

C

Рис. 3.2

Схема замещения цепи (рис. 3.2) пред- ставляется последовательным соедине- нием резистивного элемента R и емкости С, так как мнимая часть X комплексного сопротивления цепи имеет отрицатель- ный знак. Цепь носит “емкостный” ха- рактер. Об этом также свидетельствует отрицательный знак угла сдвига фаз. Ток опережает напряжение по фазе.

Задача 3.2. Записать в алгебраиче-

ской и показательной формах выражение для полного комплексного сопротивления индуктивной катушки с параметрами RК= 3 Ом; LК= 0,0127 Гн, f = 50 Гц, используя данные табл. 3.2.

Построить на комплексной плоскости треугольник сопротивле- ний.

Решение

Схема замещения реальной индуктивной катушки (рис. 3.3) со- держит соединенные последовательно элементы RК и LК.

		I&				Полное комплексное сопротивление це-
						пи индуктивной катушки в алгебраиче-
					R	ской форме записи
						ZК = RК +j XК = 3+ j4 Ом ,	(3.3)
&						где XК= XL=w L=2p fL – индуктивное
U					L	сопротивление ,Ом;
						XК=w LК = 2p f LК = 2p×50×0,0127 =
						= 3,99 »4 Ом.
		Рис. 3.3				На рис. 3.4 представлен треуголь-
						ник сопротивлений, построенный в соот-

ветствии с формулой (3.3) .

В показательной форме комплексное сопротивление цепи индуктивной катушки запишется ZК= ZК e jϕ Ом.

Из простых геометрических соображений очевидно:

Z

К

= R 2 + X

2 = 32 + 42 = 5Ом;

+j

К

К

ϕ = arctg

XК

= arctg

4

=53,13°≈53°,

ZК

mR= 1 Ом/см

RК

3

где ZК – полное сопротивление цепи;

JXК

ϕ- разность фаз между током и на-

ϕ

пряжением, следовательно ZК = 5ej53°

Ом.

Так как ϕ>0 (+53°),то, как и все

+1

RК

положительные углы, он откладыва-

Рис. 3.4

ется от оси вещественных чисел про-

тив часовой стрелки (рис. 3.4).

Задача 3.3. По показаниям приборов (рис. 3.5) определить пара- метры: R, L, ϕ, Q, S катушки, если I =0,2 A, U= 3 B, P= 0,36 Вт, f = 300 Гц. Построить векторную диаграмму тока и напряжений, исполь- зуя данные табл. 3.3.

pA

* pW

Решение

А

* W

Электроизмерительные прибо-

pV

R

ры показывают действующие значе-

V

ния тока и напряжения, так как в

большинстве случаев в них исполь-

L

зуется принцип электромеханиче-

ских преобразований.

В рассматриваемой цепи имен-

Рис. 3.5

но в резистивном элементе R про-

исходит безвозвратное (активное)

потребление мощности – энергия

выделяется в виде тепла и рассеивается в окружающую среду. Ватт- метр измеряет именно эту мощность, которая пропорциональна квадрату действующего значения тока и величине активного сопро- тивления цепи R

Pw = PR =UR I = RI 2 =UI cosϕ .

Следовательно, R = PR /I2 = 0,36/(0,2)2 = 9 Ом

Полное сопротивление цепи Z можно определить как частное от