ЗАДАЧИ ТОЭ

Решение

I&C

Электрическая схема подклю-

I&Д

чения емкости к обмотке двигателя

I&

Rд

для улучшения cosj изображена на

U

XC

рис.5.7.

Xд

Рассчитаем

комплексное

со-

противление обмотки двигателя

Z

Д

= R + jX

Д

= 30+ j40 = 50j53o8′

Ом,

Д

Рис. 5.7

Ток в двигателе и в проводах, пи-

тающих этот двигатель при отсутствии

компенсации

°

&

220e

j0

°

I&Д =

U

= 4,4e− j53,8

Z =

,

А .

50e j53,8°

Угол

сдвига

фаз

при

этом

φД=ψu-ψi=0-(-53,8°)=53,8°,

а

cosφ=cos53,8°=0,59.

Проводимость обмотки двигателя

Y

Д

=

1

=

1

= 0,02 e − j53 °8′ = 0,012 − j0,016 См.

Z Д

50 e j 53 °8′

Рассчитаем активную и реактивную составляющие тока двига-

теля:

IR = U·Gд = 220·0,012 = 2,64 А.

IL= U·Bд = 220·0,016 = 3,52 А.

Для достижения cosj=0,9, параллельно обмотке двигателя нуж- но подключить емкость С, проводимость которой может быть опре-

делена из формулы

j = arctg	BL − BC				или B			= B	L	- G × tgj См,
		G				C
Определим угол j:		j=arccos 0,9 = 25˚50’,
Вычисляем BC:		Bc = 0,016- 0,012·tg 25˚50’ = 0,0102 См.
Емкостная составляющая тока:
Ic = U·BС = 220·0,0102 = 2,244 А.
Емкостное сопротивление:
XC =		1	=		1		= 98,15 Ом.
					0,0102
		BC

Емкость конденсатора

C =	1	=	1	=	1		» 32×10−6 Ф = 32 мкФ.
	wXC		2pfXC		2p50×98,15
По расчетным значениям токов строим векторную диаграмму
(рис. 5.8.):
			+j		I&		&
					R		U
		0			25°50'
				53°8'
						I&
				I&д			I&С
						I&L
						Рис. 5.8
Здесь I&Д – ток двигателя до подключения емкости, а ток I								– ре-
зультирующий ток после подключения емкости.
Результирующий ток I после компенсации составит

I = IR2 + (IL - IC )2 = 2,642 + (3,52 - 2,24)2 = 2,93 A .

В результате компенсации ток в проводах, питающих двигатель (I), уменьшился по сравнению со случаем без компенсации (IД) в 1,5 раза, т.е уменьшились и потери на нагрев в этих проводах

Задача 5.5. К однофазному асинхронному двигателю, полезная мощность которого Р = 3,7 кВт, а КПД h = 83,5 %, по проводам со- противлением Rпр = 2 Ом подается напряжение U = 380 В. Двигатель работает с cos j = 0,707.

Какую емкость нужно включить параллельно двигателю, чтобы повысить cos j2 до 0,9? Как изменяются при этом потери мощности и напряжения в линии? При решении задачи использовать данные табл.5.5.

Решение

Определим величину тока в обмотке двигателя

I =	P	=	3,7 ×103	=16,493 Вт.
	U cosjη		380×0,707×0,835

Модуль комплексного сопротивления обмотки

Z = U

=

380

= 23,039 Ом.

16,493

I

Активное сопротивление обмотки

R =

P

=

3,7 ×103

=16,289 Ом.

I

2

η

2

16,493

×0,835

Индуктивное сопротивление обмоток

X =

Z 2 - R2

=

23,0392 -16,2892

=16,289 Ом.

Комплексное сопротивление обмотки

Z = R + jX =16,289 + j16,289 = 23,039e j45° Ом.

Комплексная проводимость обмотки двигателя

	Y =	1	=	1	= 0,0438e− j45° = 0,0307 - j0,0307 См.
		Z		23,039e j45°

Угол j в исходном состоянии схемы j = arccos 0,9= 25°50’.

Значение емкостной составляющей проводимости ВС, необхо-

димой для обеспечения заданного значения коэффициента мощности 0,9 вычисляем по формуле

j = arctg

BL − BC

или B

= B

L

- G × tgj См,

G

C

вычисляем BC

Bc = 0,0307- 0,0307·tg 25°50’ = 0,0158 См.

Емкостное сопротивление

XC =

1

=

1

= 63,157 Ом.

BC

0,0158

Емкость конденсатора

C =

1

=

1

=

1

» 50×10−6

Ф = 50 мкФ,

2π 50×63,157

ωXC

2πfXC

Значение тока в проводах и обмотке двигателя, после под-

ключения конденсатора

	I2	=		P			=	3,7 ×103	12,965 А.
			U cosj2		× h			380 × 0,9 × 0,835

Потери напряжения в проводах, питающих двигатель, до под-

ключения конденсатора

DU1 = I·Rпр = 16,493·2 » 33 В.

Потери напряжения в проводах после подключения конденсато-

ра

DU2 = I2·Rпр = 12,965·2 » 26 В.

Потери мощности в проводах, питающих двигатель,

до подключения конденсатора

DР1 = I2·Rпр = 16,4932·2 » 544 Вт.

после подключения конденсатора

DР1 = I22 ·Rпр = 12,9652·2 » 335,7 Вт.

Варианты заданий к самостоятельной работе

Таблица 5.1.

	Параметры				Вариант
		1	2	3	4	5	6	7	8
	R1, Ом	40	8	80	16	6	12	16	16
	XC , Ом	60	12	60	4	12	24	24	12
	XL , Ом	30	6	120	12	8	16	12	24
	R2, Ом	10	8	80	6	10	12	20	10
								Таблица 5.2.
	Параметры				Вариант
		1	2	3	4	5	6	7	8
	Uвх, В	60	100	80	40	120	200	220	380
	XC ,Ом	60	120	60	4	120	240	240	120
	XL ,Ом	30	60	120	12	40	80	120	240
	R ,Ом	30	40	30	2	30	20	60	100

Таблица 5.3.

	Параметры				Вариант
		1	2	3	4	5	6	7	8
	Uвх, В	60	100	80	40	120	200	220	380
	XC, Ом	60	120	60	4	120	240	240	120
	XL, Ом	30	60	120	12	40	80	120	240
	R1, Ом	30	40	30	2	30	20	60	100
	R2, Ом	10	40	50	4	30	100	100	60
								Таблица 5.4.
	Параметры				Вариант
		1	2	3	4	5	6	7	8
	Rд, Ом	55	60	100	150	200	220	300	250
	Xд, Ом	70	80	150	250	300	300	400	450
	U, В	36	100	127	220	380	208	380	127
	cosϕ	0,91	0,92	0,93	0,95	0,96	0,95	0,94	0,97
								Таблица 5.5.
	Параметры				Вариант
		1	2	3	4	5	6	7	8
	P, Ом	0,5	1	2,5	1,2	1,5	2	3	3,5
	η	0,75	0,76	0,8	0,78	0,82	0,86	0,88	0,84
	Rпр, Ом	4	2	3	1	1,5	2,5	3,5	1,7
	U, В	36	100	127	220	380	208	380	127
	cos ϕд	0,7	0,72	0,75	0,71	0,73	0,74	0,76	0,77
	cos ϕ2	0,91	0,92	0,93	0,95	0,96	0,95	0,94	0,97

Лабораторно - практическое занятие №6

ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ. СХЕМА СОЕДИНЕНИЯ «ЗВЕЗДА»

Типовые задачи

	Задача 6.1. Трехфазный асинхронный двигатель включен в сеть
	380 В по схеме «звезда». Параметры обмоток следующие: Rф = 2 Ом,
	Хф = 8 Ом.
	Требуется, используя данные табл. 6.1, изобразить схему вклю-
	чения двигателя в сеть, определить фазные и линейные токи,
	определить потребляемую активную мощность, построить век-
	торную диаграмму токов и напряжений, рассмотреть два ава-
	рийных режима – обрыв и короткое замыкание фазы А.
	Решение					Iл
	Трехфазный	асинхронный		дви-		Uсети=Uл
	гатель является	симметричной		ак-		Iф
						а
	тивно-индуктивной нагрузкой, по-
						Хф
	этому включается в сеть		по схеме
	«звезда» без нейтрального		провода.			Uф
						Rф
	Его схема замещения представлена
	на рис. 6.1.					n
	Номинальное напряжение			сети
	является линейным напряжением, то				c	b
	есть Uл = Uсети = 380 В, тогда фазное
						Рис. 6.1
	напряжение

Uф =

U

л

=

380

= 220 В.

3

3

Поскольку нагрузка симметричная, то расчет можно проводить

для одной фазы.

Полное сопротивление фазы

=

= 8,25 Ом.

Z

ф

R2

+ Х 2

=

22 + 82

ф

ф

Фазный ток

Uф

220

Iф =

=

= 26,7 A.

Zф

8,25

Для схемы

«звезда»

линейный

+1

А(а)

ток Iл = Iф = 26,7

А .

Потребляемая

активная

&

мощность:

&

U A

&

U AB

UCA

I&C

P = 3UфIф cos j = 3UлIл cos j =

ϕ

&

+j

=

×380× 26,7 × cos 76 ο= 4270,9 Вт,

ϕ

I A

3

&

&

ϕ

&

UC

U B

где j – фазовый угол,

IB

X

ф

8

&

B(b)

= 76ο.

UBC

j = arctg

= arctg

R

2

ф

Рис. 6.2

Векторная диаграмма токов и напряжений показана на рис. 6.2.

Для построения векторной диаграммы необходимо выбрать масштабы напряжений mU и токов mI .

	Рассмотрим	аварийный режим		работы	– обрыв фазы А
	(рис.6.3).			В этом	случае трехфазная
	А	a	цепь превращается в однофазную
			I A	= 0, причем фазы b и с оказы-

Хф

ваются включенными последова-

тельно

на

линейное напряжение

В

Rф

UBC , т. е. на каждую из этих фаз

&

падает напряжение U ′

= U

л

2.

n′

ф

U BC

&

с

b

С

Ic′

Фазные и линейные токи

Рис. 6.3

¢

¢

Uл

=

380

= 23,03 А.

Iф

= Iл =

2Zф

2

×8,25

Потребляемая мощность

P = 2Uф¢ Iф¢ cos j = 2 ×190× 23,03×cos 76ο = 2117,15 В

Как видно из расчета, потребляемая мощность снизилась почти в два раза.

Если обрыв фазы произошел

А(а)

+1

внутри самого двигателя (обрыв

обмотки), то эта обмотка оказы-

вается

под

повышенным

напря-

&

&

&

U

AB

UCA

жением U′A ,

что видно из вектор-

U ′A

&

n

ной диаграммы (рис. 6.4).

+j

I

′

C

Неповрежденные

обмотки

&

&

ϕ

n′

U ′

находятся

под

пониженным

на-

UC′

B

C(c)

ϕ

пряжением,

что не опасно

для

&

B(b)

U BC

&

них.

I′

B

Рис. 6.4

Рассмотрим аварийный режим работы – короткое замыкание

фазы «а» (рис. 6.5, а, б).

При коротком замыкании фазы нейтральная точка оказывается

связана с питающей точкой А, значит, неповрежденные фазы b и с

окажутся

включенными

на

линейное

напряжение

U ′

= U

AB

, U ′

= U ′ , что видно из векторной диаграммы.

B

C

CA

Токи в неповрежденных фазах

I′

= I

′ = Uф = 380 = 46,1 A .

B

C

Zф

8,25

А

a

&

+1

&

I′

C

А(а) (n′)

I′А

Хф

−

&

I ′А

ϕ

ϕ

Rф

&

В

I

′

&

&

B

U AB

n

UCA

n

&

с

b

I′

&

&

С

U ′

U ′

&

C

B

С

I′

b

C(c)

&

B(b)

а

U BC

б

Рис. 6.5

Ток в фазе а равен геометрической сумме токов I′

и I′

(по век-

торной диаграмме составляет примерно 69 А).

B

C

Задача 6.2. Три однофазных приемника включены в трехфазную сеть с напряжением 380 В по схеме “звезда с нейтральным прово- дом”. Сопротивления приемников:

Z1 = (30 + j40) Ом; Z 2 = (24 + j18) Ом; Z 3 = (80 − j60) Ом.

Требуется изобразить схему включения приемников; определить токи в проводах сети; построить векторную диаграмму токов и напряжений; вычислить активную, реактивную и полную (ка- жущуюся) мощности, исходя из данных табл. 6.2.

Решение

Схема включения приемников принципиальная и расчетная представлены на рис. 6.6, а,б.

A

B

C

N

Ra	Rb	Rc
	Xb	Xc
Xa

а

А	I&A			a
		&
&				Ха
		U	А
UАB
В	I&B			Rа	I&N
		&			&
		UC	n
&					UB
			Rc	Rb
UBC	I&C	с
			Xc	Xb	b
С
N
		б

Рис. 6.6

Наличие нейтрального провода обеспечивает симметричную систему фазных напряжений на приемниках. Напряжение сети –

линейное напряжение

Uф = U3л = 3803 = 220 В.

Система фазных напряжений в комплексной форме

&

&

&

j

0

= 220e

j0

,

B;

Ua = U A = Uфe

&

&

&

− j120

ο

= 220e

− j120

ο

,

B;

Ub = UB

= Uфe

j120ο

ο

&

&

&

= 220e

j120

,

B.

Uc

= UC = Uфe

Сопротивления фаз									= 30 + j40 = 50e j53ο , Ом;
Z		a	= R + jX				a
			a
Z		b	= R + jX			b			= 24 + j18 = 30e j37ο	, Ом;
			b					= 80 − j60 = 100e− j37ο , Ом
Z	c		= R	− jX	c
			c

Для схемы “звезда“ фазные и линейные токи равны между собой

и составляют

&

220e

j0

ο

I&A =

U A

=

=

4,4e− j53

= (2,6 − j3,5), A;

ο

Z A

50e j53

&

220e

− j120ο

I&B

=

UB

=

= 7,3e− j157ο = (− 6,7 − j2,8), A;

Z B

ο

30e j37

&

220e

j120ο

I&

=

UC

=

= 2,2e j157ο = (− 2,0 + j0,8), A.

Z C

C

100e− j37ο

Ток в нейтральном проводе

I&N = I&A + I&B + I&C = 2,6 − j3,5 − 6,7 − j2,8 − 2,0 + j0,8 = = (− 6,1− j5,5)= 8,2e− j138ο , A.

При построении векторных диаграмм фазные и линейные напряжения и токи строятся от-

носительно комплексных осей и откладываются с учетом началь- ных фаз. Ток в нейтральном проводе – это результат геомет-

рического сложения векторов фазных токов, и его расположе- ние и длина должны соответст- вовать расчетному значению I&N

(рис. 6.7).

+1 А(а)

					&
					U AB	I&A
	&			-53	о
	U A
			157о	-157о
+j				-138о		I&B
	&				&
&					UB
	U	C
UCA			I&C
С(с)						В
	&
				I&B		& I&C
	UBC
						IN

Рис. 6.7