ЗАДАЧИ ТОЭ

Zce = j (XL2 - XC1) = -j4=4e -j90° Ом.

И, наконец, можем определить в соответствии с (4.3) напряже-

ния на всех участках

&

I .

Однако очевидно, что при последо-

Uij = Zij

вательном соединении элементов по всем элементам протекает один

и тот же ток, и, следовательно, максимальное напряжение будет соот-

ветствовать участку цепи с максимальным по модулю сопротивлени-

ем, то есть это участок между точками а и n

-j10,26°

&

-j30,26°

j20°

×1e =27,78e

В.

Ua n = Zan I =27,78e

Таким образом, максимальное напряжение U an составляет

27,78В.

Проведем расчет другим способом.

Построим векторную диаграмму цепи (рис.4.7), для которой, в

соответствии со вторым законом Кирхгофа, справедливо:

&

&

&

&

&

&

&

&

Umn =U L1

+U R1

+U R2

+ UС1 +U L2

+U R3

+UС2

+j

&

с

&

mu = 2 B/см

U R2

mI = 0,1 A/см

&

b

e

U R3

U R1

a

&

&

&

U

C1

&

U L2

UC 2

&

Uan

d

n

I

ϕ

U L1

&

ψI =20°

Umn

m

+1

Рис. 4.7

Из векторной диаграммы, в результате простых и очевидных

геометрических соображений, приходим к выводу, что вектор между

точками а и n имеет наибольшую длину, то есть наибольший модуль

напряжения Uan.

Рассчитать его можно следующим образом:

Uan= (U R1 +U R2 +U R3 )2 + (U L2 -UC1 -UC2 )2 = = (9 + 7 + 8)2 + (6 -10 -10)2 =27,78 В.

Таким образом, получаем тот же результат, что и в предыдущем случае, однако при большей наглядности и меньших затратах време- ни на вычислительные операции.

Задача 4.4. В неразветвленной электрической цепи, содержащей R=40 Ом, ХL=7 Ом и XC=10 Ом, приложенное напряжение U=220 В при частоте f=50 Гц.

Определить частоту fо, при которой возникает резонанс напряжений, ток Io , а также полную мощность So цепи при резонансе, исходя из данных табл. 4.4.

Решение

В цепи (рис. 4.8) с последовательно

I&

R

соединенными R, L, C – элементами воз-

можен режим, когда реактивное сопро-

тивление X=0 и ϕ = 0, что имеет место

&

&

U R

L

при равенстве абсолютных значений и

&

U

&

UL

индуктивного и емкостного сопротивле-

UC

ний, т. е.

при

X L

=

XC

. При этом вы-

полняется

условие

UL

=

UC

и ϕ =0,

C

причем действующие значения этих на-

Рис. 4.8

пряжений могут превышать напряжение

U на зажимах цепи.

Режим работы электрической цепи при последовательном со- единении активного, индуктивного и емкостного элементов, когда угол сдвига фаз между напряжением и током цепи равен нулю, назы- вается резонансом напряжений.

Следовательно, при резонансе напряжений X = XL - XC =0, или

XL =XC .

Из равенства реактивных сопротивлений ωL=1/ωC следует, что

режим резонанса напряжений в электрической цепи возникает при частоте

fo = 2π 1LC ,

называемой резонансной, которая определяет частоту незатухающих колебаний данной цепи и характеризует установление в ней наи- большего тока Imах , так как при этом Z® min.

Определим индуктивность L и емкость C рассматриваемой цепи по величинам заданных реактивных сопротивлений:

L = XL /w = XL /(2pf)= 7 / (2p×50) =22,28 × 10–3 Гн =22,28 мГн ,

C =1 /(w XC) =1 /(2pf XC ) =1/(2p ×50×10)= 3,183× 10–4 Ф =318,3 мкФ.

Подставим полученные значения L и C в (4.5) определим резо-

нансную частоту		1
fo =					= 59,765	» 60 Гц.
	2π	22,28×10−3	×3,183×10−4

Определим ток Io, а также полную мощность So цепи при резо- нансе.

Модуль комплексного сопротивления цепи (полное сопротивле-

ние)

Z= R2 + X 2 = R2 + (X L - XC )2 ,

итак как при резонансе напряжений X = XL - XC =0, то при этом

Z® min Z=R, а угол сдвига фаз

j = arctgX = arctgXL − XC = arctg0 = 0.

R R R

Следовательно, модуль комплексного тока цепи (равный дейст- вующему значению тока цепи) при резонансе

Io= U / R = 220 / 40 = 5,5 A.

Полная мощность цепи при резонансе:

S = U Io = 220× 5,5 = 1210 BA.

Варианты заданий к самостоятельной работе

Таблица 4.1

Параметры				Вариант
	1	2	3	4	5	6	7	8
Um, В	141	14,1	282	28,2	42,3	56,4	84,6	98,7
ψu, рад	-π /4	π /6	π /2	π /3	-π /3	-π /6	π /4	-π /2
XC ,Ом	60	12	60	4	12	24	24	12
XL ,Ом	30	6	120	12	4	8	12	24
RK ,Ом	40	8	80	6	6	12	16	16
							Таблица 4.2
Параметры				Вариант
	1	2	3	4	5	6	7	8
UВХ, В	60	100	80	40	120	200	220	380
XC ,Ом	60	120	60	4	120	240	240	120
XL ,Ом	30	60	120	12	40	80	120	240
R1 ,Ом	30	40	30	2	30	20	60	100
R2 ,Ом	10	40	50	4	30	100	100	60
							Таблица 4.3
Параметры				Вариант
	1	2	3	4	5	6	7	8
Im, А	5,64	0,846	42,3	1,41	0,564	0,987	5,64	4,23
ψ, рад	π /8	-π /4	π /8	-π /8	-π /5	π /7	-π /6	π /10
XC1 ,Ом	6	120	0,6	4	12	60	24	12
XC2 ,Ом	8	60	1	8	18	30	12	18
XL1 ,Ом	2	60	1,2	12	4	40	16	24
XL2 ,Ом	10	80	2	2	24	80	10	4
R1 ,Ом	3	20	0,3	2	3	20	6	10
R2 ,Ом	1	40	0,5	4	12	100	10	6
R3 ,Ом	2	60	2	12	8	60	160	20

Таблица 4.4

Параметры				Вариант
	1	2	3	4	5	6	7	8
U, В	60	100	80	40	120	200	220	380
f, Гц	100	50	200	400	50	100	200	400
XC, Ом	60	12	60	4	12	24	24	12
XL, Ом	30	6	120	12	4	8	12	24
R, Ом	40	8	80	6	6	12	16	16

ЛАБОРАТОРНО-ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5 ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Типовые задачи

Задача 5.1. Определить полную

проводимость

цепи,

используя

R1=6

данные

табл.

5.1.

Параметры

XC=5

R2=10

XL=8

элементов

указаны на

схеме в

Ом

(рис. Решение5.1).

Цепь

содержит

три

Рис. 5.1

параллельные

ветви

и,

следовательно,

ее

полная

равна сумме комплексных проводимостейкоплекснаяотдельныхпроводимостьветвей:

Y равна

Y = Y1 + Y2 + Y3 = 1/Z1 + 1/Z2 + 1/Z3 =

= 1/(R1+jXL) + 1/(-jXC) + 1/R = G1 – jBL

+ jBC + G3 =Y e jϕ,

(5.1)

R1

R1

где

XL

XL

G =

=

; G =

l

; B =

=

; B =

l

,

R2

+Х 2

Z2

R2 +Х 2

1

3

R2

L

Z2

C

XC

1

L

1

1

L

1

Y =

(G1 + G3 )2 + (− BL + BC )2

,

ϕ = arctg − BL + BC .

G + G

Здесь Y

1

2

–

модуль

комплексной

проводимости

(или

полной

проводимости); ϕ – угол, определяющий сдвиг по фазе напряжения

&	и тока I .
U
	В соответствии с выше записанным выражением проведем расчет
полной проводимости Y и угла ϕ
	G1=6 / (6 2+8 2) =0,06 См;	G3 = 1/ 10 = 0,1 См ;
	BL = 8 / (6 2+8 2) = 0,08 См;	BC =1/5 =0,2 См;

Y = (0,06 + 0,1)2 + (− 0,08 + 0,2)2 = 0,2 См ;

ϕ = arctg − 0,08 + 0,2 = 36,87°С ≈ 37°С. 0,06 + 0,1

Полная комплексная проводимость Y в соответствии с формулой

(5.1):

Y =Ye jϕ = 0,2е j37° См .

Задача 5.2. Определить, исходя из данных табл. 5.2, показания амперметров, если U =220 В. Параметры элементов указаны на схеме в Ом (рис.5.2). Построить векторную диаграмму токов и напряжений.

&

U

I&3 :

A

Решение

Цепь

содержит

три

Xc=40

XL=100

R=50

параллельные

ветви

и,

следовательно, на каждой из них

A

1

A2

A

3

действует одно и тоже напряжение

U.

Представим напряжение в

&

, приняв его

комплексной форме U

Рис. 5.2

начальную фазу ψU равной нулю,

&

=220е

j0

B.

U

Определим по закону Ома комплексные токи в ветвях I&,

I& и

1

2

&

&

/(-jXC) =220 е

j0

I1

=U

/(-j4)=

=220 е j0/(40 е - j90°) =5,5 е j90° A;

- j90°

&

&

j0°

j0°

j90°

/(-jXL)= 220 е

/(j100)=220 е

/(100 е

) =2,2 е

A;

(5.3)

I2

=U

&

&

j0°

j0°

/(R)= 220 е

/(50) =4,4 е

A .

I3 =U

Модули комплексных токов являются действующими значениями токов в ветвях, следовательно, показания амперметров

составят:	РА1 = 5,5 А;	РА2 = 2,2 А; РА3 = 4,4 А.
Построим векторную диаграмму токов и напряжений (рис. 5.3).
	&	располагается вдоль оси вещественных
Вектор напряжения U
чисел (в соответствии с принятым значением начальной фазы ψU).
Вектор тока I&	в первой ветви с емкостным элементом опережает
1

напряжения на 90° и располагается вдоль оси мнимых чисел. Вектор тока I&2 во второй ветви с индуктивным элементом отстает по фазе от напряжения на 90° и располагается вдоль мнимой оси в направлении отрицательных чисел. Вектор тока I&3 третьей ветви с резистивным

сопротивлением совпадает по фазе с напряжением

&

и также как

U

этот вектор располагается вдоль оси вещественных чисел.

+j

В

соответствии

с

первым

законом

Кирхгофа

ток

I

в

mU =33,3 B/см

неразветвленной части цепи:

&

mI = 1,33 А/см

I

&

&

&

.

= I

+ I

+ I

I1

I&

1

2

3

Ток

I

можно

получить

ΨI

сложением

векторов

по

данному

+1

уравнению (см. рис. 5.3, ход

I&3

&

геометрического

сложения

векторов

I&2

U

показан

пунктиром),

а

его модуль

(действующее значение) и аргумент

Рис. 5.3

ψI можно определить геометрически

из векторной диаграммы:

I =

(I

− I

2

)2 + I

2

=

(5,5 − 2,2)2 + 4,42

= 5,5 А,

1

3

ψI = arctg

I1 − I2

= arctg

5,5 − 2,2

= 36,87° ≈ 37°.

4,4

I3

Таким образом,

I&= Ie jΨI

= 5,5e j37o A .

Взаключение отметим, что при определенном навыке

рассчитать токи в ветвях и построить векторную диаграмму можно без выполнения расчетов комплексным методом.

Вэтом случае действующие значения токов I1 , I2 , I3 в ветвях (длины векторов на диаграмме) определяются по закону Ома как частное от деления напряжения U на полные сопротивления ветвей

(ZL, ZC , R).

Векторная диаграмма строится также с учетов фазовых соотношений напряжений и токов для идеальных элементов ветвей, содержащих L, C и R элементы (см. выше описание хода построения векторной диаграммы) относительно базового вектора – вектора напряжения на входе U.

Задача 5.3. Определить потребляемый цепью (рис.5.4) ток I и

&

напряжение Uab , если известны параметры элементов цепи в Ом и

входное напряжение Uвх=12 В.

Построить

векторную

диаграмму

&

I&

XL=10

&

R2=20Ö3

токов и напряжений. Данные для

а

b

решения приведены в табл. 5.3

Uвх

Uаb

Xc=20

R1=10Ö3

Решение

Рис. 5.4

Цепь

содержит

две

I&

c

параллельные ветви, на каждой из

которых действует одно и тоже

I&2

jXL

&

напряжение Uвх.

I1

R2

Представим

в

комплексной

&

Uвх

а

&

b

форме

(рис.

5.5)

сопротивления

элементов

цепи

и

входное

R1

Uаb

– jXc

&

напряжение

Uвх

(приняв

его

d

начальную фазу yU

равной нулю)

Рис. 5.5

и

определим

по

закону

Ома

комплексные токи в ветвях

I& и

&

&

j0°

B;

1

U

вх

=I12: е

2

Z1 = R1+ jXL =10

+ j10 = 20 e j30° Ом;

3

Z2= R2 - jXС =20

- j20 = 40e– j30° Ом;

3

&

&

j 0

j30°

– j30°

/(20e

)=0,6e

A;

I1=Uвх /Z1 =12е

&

&

j0°

– j 30°

j30°

/Z2 =12е

/(40 e

)= 0,3 e

А

I2 =Uвх

или в алгебраической форме записи:

I&1= 0,6cos(-30°) + j0,6 sin(-30°) == 0,52 - j0,3 А, I&2 = 0,3 cos(30°) + j0,3 sin(30°) = 0,26 + j0,15 А.

Ток в неразветвленной части цепи определим в соответст- вии с первым законом Кирхгофа:

I = I&1 + I&2 = 0,52 - j0,3 +0,26 + j0,15 = 0,78 – j 0,15 A

или в показательной форме записи комплекса

			j arctg	0,15
	I = 0,782 + 0,152			0,78 = 0,8 е –j10,89° A.
			× e

Для определения комплексного напряжения U&ab составим урав-

нение по второму закону Кирхгофа в комплексной форме для контура асb (обход контура по часовой стрелке):

R2 I&2 – U&ab – (j XL) I&1 = 0.

&

Откуда

U

аb

&

&

&

+j

mU =1 B /см

Uab = R2

I2

– (j XL)I1

=

&

mI=0,1 A/см

= 20

(0,26 + j0,15) –

&

3

U L

&

– (j10 )(0,52 – j0,3) =

U R2

I&2

U R1

&

= 6+j(0) = 6 e j0° B.

–10,89 °

UC

30 °

Построим векторную диа-

0

&

+1

грамму токов

и напряжений

Uвх

I&

(рис. 5.6). Для

этого

найдем

–30 °

&

напряжения

& &

&

&

I1

UL ,UC ,UR

,U R

1

2

	Рис. 5.6	на соответствующих элементах
		схемы

U&L = (+ j XL) I&1=0,6e -j30° × 10e j90° = 6 e j60° В;

U&R1 = R1 I&1 = 0,6 e -j30°× 103 = 10,38 e -j30°;

U&R2 = R2 I&2 =0,3 e j30°× 203 = 10,38 e j30°;

U&C = (– j XС )I&2 × 0,3 e j30°× 20 e -j90°= 6 e -j60° В.

Построение векторов напряжений на элементах каждой ветви проведено в соответствии с уравнениями, составленными по 2- му закону Кирхгофа:

U&L +U&R1 = U&вх ;

U&R2 +U&C = U&вх .

Задача 5.4. Однофазный асинхронный двигатель с параметрами Rд=30 Ом, Хд=40 Ом включен в сеть переменного тока 220 В.

Определить, используя данные табл. 5.4, какой величины нужно подключить емкость С, чтобы коэффициент мощности цепи стал равен 0,9.