теоретическая механика / Задание01

B13. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длиной l = 2,4 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикальнопо по оси вращения скамейки. Скамья с человеком вращается с частотой n₁ = 1 с^-1. С какой частотой n₂ будет вращатся скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кгм².

Ответ: n₂ = 12Jn₁/(12J + ml²) = 0,61 с^-1.

B14. Кинетическая энергия Т вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 80 оборотов, остановился. Определить момент М силы торможения.

Ответ: 1,99 Нм.

B15. Сплошной цилиндр массой m = 4 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость v оси цилиндра равна 1 м/с. Определить полную кинетическую энергию Т цилиндра.

Ответ: T = 3mv²/4 = 3 Дж.

B16. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу m = 2 кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью v = 5 м/с. Найти кинетические энергии Т₁ и Т₂ этих тел.

Ответ: T₁ = mv² = 50 Дж; T₂ = 3mv²/4 = 37,5 Дж.

B17. Шар катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Полная кинетическая энергия Т шара равна 14 Дж. Определить кинетическую энергию Т₁ поступательного и Т₂ вращательного движения шара.

Ответ: Т₁ = 10 Дж; Т₂ = 4 Дж.

B18. Определить линейную скорость v центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h = 1 м.

Ответ: 3,74 м/с.

B19. Сколько времени t будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длинной l = 2 м и высотой h = 10 см?

Ответ: 4,04 с.

B20. Карандаш длиной l = 15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую w и линейную v скорости будет иметь в конце падения:

1. середина карандаша?

2. верхний его конец? Считать, что трение настолько велико, что нижний конец карандаша не проскальзывает.

Ответ: 1) 14 рад/с, 1,05 м/с; 2) 14 рад/с, 2,1 м/с.

B21. Ракета пущена с Земли с начальной скоростью v₀ = 15 км/c. К какому пределу будет стремиться скорость ракеты, если расстояние ракеты от Земли бесконечно увеличивается? Сопротивление воздуха и притяжение других небесных тел, кроме Земли, не учитывать.

Ответ: 10 км/с.

В22. Снаряд массой m=10 кг выпущен из зенитного орудия вертикально вверх со скоростью V₀=800 м/с. Считая силу сопротивления воздуха пропорциональной скорости, определить время t подъема снаряда до высшей точки. Коэффициент сопротивления k=0,25 кг/с.

Ответ:

C01. Известна функция v(t) для частицы, движущейся по криволинейной траектории. Написать выражение для радиуса кривизны R траектории в той точке, в которой частица находится в момент t.

Ответ: .

C02. В некоторый момент времени t компоненты скорости  частицы имеют значения (1,00; 2,00; -3,00) (м/с), а компоненты ускорения w - (-3,00; 2,00; 1,00) (м/с²). Найти:

а) значение выражения d/dt в момент t;

б) радиус кривизны R траектории в точке, в которой частица находится в момент t.

Ответ: а) , б) .

C03. Цилиндр катится без скольжения со скоростью v (рис.). Найти скорости точек 1, 2 и 3, выразить их через орты координатных осей (е_х, е_у, е_z).

Ответ: , , .

C04. Два соприкасающихся бруска лежат на горизонтальном столе, по которому они могут скользить без трения (рис.). Масса первого бруска m₁ = 2 кг, масса второго бруска m₂ = 3 кг. Один из брусков толкают с силой F₀ = 10 Н (рис.).

1. Найти силу F, с которой бруски давят друг на друга в случае, если сила F₀ приложена к бруску 1 (а), к бруску 2 (б).

2. Что примечательного в полученных результатах? Объяснить ответ.

Ответ: 1. а) , б) . 2. Сумма результатов в случаях (а) и (б) равна силе F₀.

C05. Два соприкасающихся бруска лежат на горизонтальном столе (рис.). Масса первого бруска m₁ = 2 кг, масса второго бруска m₂ = 3 кг. Один из брусков толкают с силой F₀ = 10 Н. Коэффициент трения между бруском и столом равен k₁ = 0,1 для бруска 1 и k₂ = 0,2 для бруска 2.

1. Найти силу F, с которой бруски давят друг на друга в случае, если сила F₀ приложена к бруску 1 (а), к бруску 2 (б).

2. Что примечательного в полученных результатах? Объяснить ответ.

Ответ: а) ,

б) .

C06. Два соприкасающихся бруска скользят по наклонной доске (рис.). Масса первого бруска m₁ = 2 кг, масса второго бруска m₂ = 3 кг. Коэффициент трения между бруском и доской равен k₁ = 0,1 для бруска 1 и k₂ = 0,2 для бруска 2. Угол наклона доски  = 45⁰.

1. Определить: а) ускорение w, с которым движутся бруски, б) силу F, с которой бруски давят друг на друга.

2. Что происходило бы в случае k₁ > k₂? Объяснить ответ.

Ответ: 1. а) ,

б) .

2. Второй брусок скользил бы с большим ускорением, чем первый. В результате зазор между брусками увеличивался бы со временем.

C07. На горизонтальном столе лежат два тела массы М = 1 кг каждое. Тела связаны невесомой нерастяжимой нитью (рис.). Такая же нить связывает тело 2 с грузом массы m = 0,5 кг. Нить может скользить без трения по изогнутому желобу, укрепленному на краю стола. Коэффициент трения первого тела со столом k₁ = 0,1 , второго тела k₂ = 0,15. Найти:

а) ускорение w, с которым движутся тела,

б) натяжение F₁₂ нити, связывающей тела 1 и 2,

в) натяжение F нити, на которой висит груз.

Ответ: а) ,

б) ,

в) .

C08. Шарик массы m = 0,2 кг, привязанный к закрепленной одним концом нити длины l = 3 м, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиуса R = 1 м. Найти:

а) число оборотов n шарика в минуту;

б) натяжение нити F.

Ответ: а) ,

б) .

C09. Горизонтально расположенный диск вращается вокруг проходящей через его центр вертикальной оси с частотой n = 10 об/мин. На каком расстоянии r от центра диска может удержаться лежащее на диске небольшое тело, если коэффициент трения k = 0,2?

Ответ: .

C10. Небольшому телу сообщают начальный импульс, в результате чего оно начинает двигаться поступательно без трения вверх по наклонной плоскости со скоростью ₀ = 3 м/с. Плоскость образует с горизонтом угол  = 20⁰. Определить:

а) на какую высоту h поднимется тело,

б) сколько времени t₁ тело будет двигаться вверх до остановки,

в) сколько времени t₂ тело затратит на скольжение вниз до исходного положения,

г) какую скорость  имеет тело в момент возвращения в исходное положение.

Ответ: а) , б) , в) , г) .

C11. Небольшому телу сообщают начальный импульс, в результате чего оно начинает двигаться поступательно без трения вверх по наклонной плоскости со скоростью ₀ = 3 м/с. Плоскость образует с горизонтом угол  = 20⁰. Коэффициент трения между телом и плоскостью k = 0,1. Масса тела m = 1 кг. Определить:

а) на какую высоту h поднимется тело,

б) сколько времени t₁ тело будет двигаться вверх до остановки,

в) сколько времени t₂ тело затратит на скольжение вниз до исходного положения,

г) какую скорость  имеет тело в момент возвращения в исходное положение,

д) какую работу А совершает сила трения на всем пути снизу вверх и обратно.

Ответ: а) ,

б) ,

в) ,

г) ,

д) .

C12. Шарик массы m помещен в высокий сосуд с некоторой жидкостью и опущен без толчка. Плотность жидкости в  раз меньше плотности шарика. При движении шарика возникает сила сопротивления среды, пропорциональная скорости движения: .

а) Описать качественно характер движения шарика.

б) Найти зависимость скорости шарика  от времени t.

Ответ: б) .

C13. Тонкая стальная цепочка с очень мелкими звеньями, имеющая длину l = 1 м и массу m = 10 г, лежит на горизонтальном столе. Цепочка вытянута в прямую линию, перпендикулярную к краю стола. Конец цепочки свешивается с края стола. Когда длина свешивающейся части составляет  = 0,275 длины l, цепочка начинает соскальзывать со стола вниз. Считая цепочку однородной по длине, найти:

а) коэффициент трения k между цепочкой и столом,

б) работу А сил трения цепочки о стол за время соскальзывания,

в) скорость  цепочки в конце соскальзывания.

Ответ: а) ; б) ; в) .

C14. Тело массы m начинает двигаться под действием силы . Найти мощность P(t), развиваемую силой в момент времени t.

Ответ: .

C15. Первоначально покоившаяся частица, находилась под действием силы (Н), переместилась из точки (2, 4, 6) (м) в точку (3, 6, 9) (м). Найти кинетическую энергию Т частицы в конечной точке.

Ответ: .

C16. Находясь под действием постоянной силы с компонентами (3, 10, 8) (Н), частица переместилась из точки 1 с координатами (1, 2, 3) (м) в точку 2 с координатами (3, 2, 1) (м).

а) Какая при этом совершается работа А?

б) Как изменилась кинетическая энергия частицы?

Ответ: а) , б) кинетическая энергия получает приращение , т. е. уменьшается на .

C17. Потенциальная энергия частицы определяется выражением , где - положительная константа. Частица начинает двигаться из точки с координатами (3, 3, 3) (м). Найти ее кинетическую энергию Т в момент, когда частица находится в точке с координатами (1, 1, 1).

Ответ: .

C18. Тело массы m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью ₀. Спустя время  тело упало на Землю. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:

а) приращение импульса тела p за время полета,

б) среднее значение импульса  p  за время .

Ответ: а) , б) .

C19. Якорь электродвигателя, вращавшийся с частотой n=50 c^-1, после выключения тока двигаясь равнозамедленно, остановился, сделав полное число оборотов N=1680. Найти угловое ускорение  якоря.

Ответ:

D01. Тело массы 2,04 кг совершает колебательное движение по горизонтальной прямой согласно закону м. Найти зависимость силы, действующей на тело, от координаты х, а также наибольшую величину этой силы.

Ответ: Р = - 5,033х Н; Р_max = 50,33 Н.

D02. По прямолинейному железнодорожному пути, с углом наклона  = 10⁰, вагон катится с постоянной скоростью. Считая сопротивление трения пропорциональным нормальному давлению, определить ускорение вагона и его скорость через 20 с после начала движения, если он начал катиться без начальной скорости по пути с углом наклона  = 15⁰. Определить также, какой путь пройдет вагон за это время.

Ответ:м/с²; м/с; м

D03. Найти наибольшую скорость падения шара массы 10 кг с радиусом r = 8 см, принимая, что сопротивление воздуха равно R = k², где  - скорость падения,  - площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную к направлению его движения, и k - численный коэффициент, зависящий от формы тела и имеющий для шара значение 0,24 Н сек²/м⁴.

Ответ:

D04. Два геометрически равных и однородных шара сделаны из различных материалов. Удельные веса материалов равны ₁ и _2. Оба шара падают в воздухе. Считая сопротивление среды пропорциональным квадрату скорости, определить отношение максимальных скоростей шаров.

Ответ:

D05. Материальная точка с массы m совершает прямолинейное движение под действием силы, изменяющейся по закону F = F_0cos t, где F₀ и  - постоянные величины. В начальный момент точка имела скорость = ₀. Найти уравнение движения точки.

Ответ: .

D06. Определить движение тяжелого шарика вдоль воображаемого прямолинейного канала, проходящего через центр Земли, если известно, что сила притяжения внутри земного шара пропорциональна расстоянию движущейся точки от центра Земли и направлена к этому центру; шарик опущен в канал с поверхности Земли без начальной скорости. Указать также скорость шарика при прохождении через центр Земли и время движения до этого центра. Радиус Земли равен R = 63710⁶ см, ускорение силы притяжения на поверхности Земли принять равным g = 980 см/с².

Ответ: Расстояние шарика от центра Земли меняется по закону ;  = 7,9 км/с; T = 21,1 мин.

D07. Тяжелая точка массы m падает из положения, определяемого координатами x₀ = 0, y₀ = h при t = 0, под действием силы тяжести (параллельной оси y) и силы отталкивания от оси y, пропорциональной расстоянию от этой оси (коэффициент пропорциональности с). Проекции начальной скорости точки на оси координат равны _x = ₀, _y = 0. Определить траекторию точки, а также момент времени t₁ пересечения оси x.

Ответ: Траектория где ;

D08. Точка М массы m движется под действием силы тяжести по гладкой внутренней поверхности полого цилиндра радиуса r (рис.). В начальный момент угол ₀ = /2, а скорость точки равнялась нулю. Определить скорость точки М и реакцию поверхности цилиндра при угле  = 30⁰.

Ответ: .

D 09. Гирька М привязана к концу нерастяжимой нити МОА, часть которой ОА пропущена через вертикальную трубку (рис.); гирька движется вокруг оси трубки по окружности радиуса МС = R, делая 120 об/мин. Медленно втягивая нить ОА в трубу, укорачивают наружную часть нити до длины ОМ₁, при которой гирька описывает окружность радиусом . Сколько оборотов в минуту делает гирька по этой окружности?

Ответ: 480 об/мин.

D10. Каков должен быть коэффициент трения f колес заторможенного автомобиля о дорогу, если при скорости езды  = 72 км/ч он останавливается через 6 секунд после начала торможения?

Ответ: f = 0,34.

D11. Пуля массы 20 г вылетает из ствола винтовки со скоростью  = 650 м/сек, пробегая какал ствола за время t = 0,00095 с. Определить среднюю величину давления газов, выбрасывающих пулю, если сечение канала  = 150 мм².

Ответ: Среднее давление 9,1210⁴ Н/мм².

D12. Найти импульс равнодействующей всех сил, действующих на снаряд за время, когда снаряд из начального положения О переходит в наивысшее положение М (рис.).

Дано: ₀ = 500 м/с, ₀ = 60⁰, ₁ = 200 м/с, вес снаряда 100 кГ.

Ответ: Проекции импульса равнодействующей: S_x= -5000 Нс, S_y= - 43300 Нс.

D13. Мальчик массы 40 кг стоит на полозьях спортивных саней, масса которых равна 20 кг, и делает каждую секунду толчок с импульсом 20 Нс. Найти скорость, приобретаемую санями за 15 с, если коэффициент трения .

Ответ: .

D14. Точка совершает равномерное движение по окружности со скоростью  = 20 см/с, делая полный поворот за время  = 4 с. Найти импульс S сил, действующих на точку, за время одного полупериода, если масса точки m = 5 кг. Определить среднее значение силы F.

Ответ: S = 2 Нс, F = 1 Н.

D15. Материальная точка массы 3 кг двигалась по горизонтальной прямой влево со скоростью  = 5 м/с. К точке приложили постоянную силу, направленную вправо. Действие силы прекратилось через 30 с, и тогда скорость точки оказалась равной 55 м/с и направленной вправо. Найти величину этой силы и совершенную ею работу.

Ответ: F = 6 Н, А = 4,5 кДж.

D 16. Пружина имеет в ненапряженном состоянии длину 20 см. Сила, необходимая для изменения ее длины на 1 см, равна 1,96 Н. С какой скоростью  вылетит из трубки шарик массы 30 г, если пружина была сжата до длины 10 см? Трубка расположена горизонтально (рис.).

Ответ: 8,08 м/с.

D17. Какую вертикальную силу, постоянную по величине и направлению, надо приложить к материальной точке, чтобы при падении точки на Землю с высоты, равной радиусу Земли, эта сила сообщила точке такую же скорость, как сила притяжения к Земле, обратно пропорциональная квадрату расстояния точки до центра Земли?

Ответ: Р/2, где Р- вес точки на поверхности Земли.

D18. Тело брошено с поверхности Земли вверх по вертикальной линии с начальной скоростью ₀. Определить высоту Н поднятия тела, принимая во внимание, что сила тяжести изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли; сопротивлением воздуха пренебрегаем. Радиус Земли R = 6370 км, ₀ = 1 км/с.

Ответ: км.

D19. Определить скорость ₀, которую нужно сообщить по вертикали вверх телу, находящемуся на поверхности Земли, для того, чтобы оно поднялось на высоту, равную земному радиусу; при этом нужно принять во внимание только силу притяжения Земли, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния тела от центра Земли. Радиус Земли равен 63710⁶ см, ускорение силы притяжения на поверхности Земли равно 980 см/с².

Ответ: 7,9 км/с.

D20. Шахтный лифт движется вниз со скоростью ₀ = 12 м/с. Масса клети m = 6 т. Какую силу трения между клетью и стенами шахты должен развить предохранительный парашют, чтобы остановить клеть на протяжении пути s = 10 м, если канат, удерживающий клеть, оборвался? Силу трения считать постоянной.

О твет: кН.

D21. Найти уравнения движения центра масс шарнирного параллелограмма ОАВО₁, а также уравнение траектории его центра масс при вращении кривошипа ОА с постоянной угловой скоростью  (рис.). Звенья параллелограмма - однородные стержни, причем ОА = О₁В = = а.

Ответ:; ; уравнение траектории -- окружность радиуса с центром в точке К с координатами

D22. К ползуну  массы М₁ посредством тонкой невесомой нити прикреплен груз  массы М₂ (рис.). При колебаниях груза по закону ,ползун скользит по неподвижной горизонтальной гладкой поверхности. Найти уравнение движения ползуна считая, что в начальный момент (t = 0) ползун находился в начале отсчета О оси x. Длина нити равна l.

Ответ :

D23. Определить положение центра масс центробежного регулятора, изображенного на чертеже, если масса каждого из шаров А и В равна М₁, масса муфты D равна М₂. Шары А и В считать точечными массами. Массой стержней пренебречь.

Ответ:

D24. К вертикальному валу АВ прикреплены два одинаковых груза E и D с помощью двух перпендикулярных оси АВ и притом взаимно перпендикулярных стержней OE = OD = r (рис.). Массами стержней и вала пренебречь. Грузы считать точечными массами. Найти положение центра масс С системы, а также центробежные моменты инерции J_xz, J_yz, J_xy.

Ответ: Координаты центра масс С (r/2; r/2; 0), J_xz = J_yz = J_xy = 0.

D25. На средней скамейке лодки, находившейся в покое, сидели два человека. Один из них, массы М₁ = 50 кг, переместился вправо на нос лодки. В каком направлении и на какое расстояние должен переместиться второй человек массы М₂ = 70 кг для того, чтобы лодка осталась в покое? Длина лодки 4 м. Сопротивлением воды движению лодки пренебречь.

Ответ: влево на корму лодки на расстояние 1,43 м.

D 26. На однородную призму А, лежащую на горизонтальной плоскости, положена однородная призма В (рис.); поперечные сечения призм - прямоугольные треугольники, вес призмы А втрое больше веса призмы В. Предполагая, что призмы и горизонтальная плоскость идеально гладкие, определить длину l, на которую передвинется призма А, когда призма В, спускаясь по А, дойдет до горизонтальной плоскости.