IND_ZAD_1DID
.docИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
для студентов 1 курса специальности «Документоведение и информационная деятельность»
дневной формы обучения
-
В задачах 1-10 даны координаты вершин пирамиды . Средствами векторной алгебры найти:
-
угол между ребрами и ;
-
площадь грани ;
-
проекцию вектора на вектор ;
-
объем пирамиды.
-
1. .
2.
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
-
В задачах 11-20 даны координаты точек . Найти:
-
уравнение прямой, проходящей через точки и ,
-
угол между прямыми и ,
-
расстояние от точки до прямой ,
-
уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой ,
-
уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .
-
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
-
В задачах 21-30 найти все точки пересечения трех следующих плоскостей:
-
плоскости , заданной общим уравнением ;
-
плоскости , проходящей через точки ,
-
плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .
-
№ |
А |
B |
C |
D |
|||||
21. |
2 |
-3 |
1 |
2 |
(-5;0;0) |
(0;-1;0) |
(6;1;1) |
(0;-4;0) |
|
22. |
2 |
-4 |
3 |
1 |
(-1;0;1) |
(3;0;0) |
(0;-1;1) |
(0;-2;0) |
|
23. |
3 |
2 |
-1 |
0 |
(0;0;0) |
(-1;1;1) |
(-3;0;2) |
(1;1;2) |
|
24. |
2 |
-1 |
1 |
2 |
(0;0;-1) |
(0;-1;0) |
(2;-2;2) |
(0;0;1) |
|
25. |
1 |
2 |
3 |
5 |
(1;1;0) |
(1;0;1) |
(0;-2;1) |
(6;0;0) |
|
26. |
1 |
1 |
1 |
1 |
(0;3;0) |
(-1;1;2) |
(5;1;-4) |
(1;-1;0) |
|
27. |
1 |
1 |
-2 |
2 |
(0;1;1) |
(1;1;0) |
(-3;0;0) |
(0;0;2) |
|
28. |
3 |
-1 |
2 |
9 |
(0;0;0) |
(1;1;1) |
(3;-2;0) |
(1;1;-2) |
|
29. |
1 |
1 |
-1 |
7 |
(-10;0;0) |
(-1;3;0) |
(-2;0;-4) |
(-1;0;-2) |
|
30. |
2 |
-1 |
3 |
9 |
(-2;0;-1) |
(0;1;1) |
(2;2;0) |
(1;0;1) |
-
В задачах 31-40 дана точка , плоскость и прямая. Найти:
-
точку , симметричную точке относительно данной плоскости,
-
точку , симметричную точке относительно данной прямой,
-
угол между данными прямой и плоскостью,
-
точки пересечения прямой, параллельной заданной и проходящей через точку , с координатными плоскостями.
-
31. .
32. .
33. .
34. .
35. .
36. .
37. .
38. .
39. .
40. .
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИ. ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ.
Задача 1. Пусть пирамида задана вершинами. Средствами векторной алгебры найти:
-
угол между ребрами и ;
-
площадь грани ;
-
проекцию вектора на вектор ;
-
объем пирамиды.
Решение.
-
Угол между ребрами и равен углу между векторами и .
Так как , то
Поэтому:
, так что .
-
Грань есть треугольник, площадь которого равна половине площади параллелограмм, построенного на векторах . Найдем сначала векторное произведение
.
Тогда .
3). Проекция вектора на вектор находится по формуле . В нашем случае
.
Поэтому .
4). Пирамида построена на векторах . В п.2 найдено векторное произведение . Тогда . Так как объем пирамиды есть часть объема параллелепипеда, построенного на векторах то
Задача 2. На плоскости заданы точки . Найти:
-
уравнение прямой, проходящей через точки и ,
-
угол между прямыми и ,
-
расстояние от точки до прямой ,
-
уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой ,
-
уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .
Решение.
-
Уравнение прямой, проходящей через точки , имеет вид
. В нашем случае :, т.е.
Это и есть уравнение прямой, проходящей через точки и .
-
Угол между прямыми и равен углу между векторами , который может быть найден из формулы .
Так как , то
.
Поэтому .
-
Расстояние от точки до прямой находится по формуле:
. В нашем случае нужно найти расстояние от точки до прямой , имеющей уравнение Имеем:
.
-
Запишем сначала уравнение прямой в виде , из которого находим ее угловой коэффициент . Так как прямая должна проходить через точку параллельно прямой , то ее уравнение должно иметь вид:
, т.е. или - уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой .
-
Угловой коэффициент прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой , связан с угловым коэффициентом последней соотношением . Отсюда . Поэтому .
- это уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .
Задача 3. Найти все точки пересечения трех следующих плоскостей:
-
плоскости , заданной уравнением ;
-
плоскости , проходящей через точки ;
-
плоскости , проходящей через точку перпендикулярно вектору , если известно, что
.
Решение.
Плоскость определяется уравнением . Для нахождения уравнения плоскости воспользуемся тем фактом, что уравнение плоскости, проходящей через точки , имеет вид
.
В нашем случае, т.е. .
Раскрыв этот определитель, получим:
или .
Уравнение плоскости, прохоедящей через точку перпендикулярно вектору
имеет вид: . Значит, уравнение плоскости есть: т.е. .
Из уравнений плоскостей , , составим систему:
которую и нужно решить. Для решения воспользуемся правилом Крамера. Для этой цели вычислим определители:
, , , .
Значит, . Следовательно, плоскости , , пересекаются в единственной точке .
Задача 4. Дана точка , плоскость и прямая . Найти:
-
точку , симметричную точке относительно данной плоскости,
-
точку , симметричную точке относительно данной прямой,
3) угол между данными прямой и плоскостью,
4)точки пересечения прямой, параллельной заданной и проходящей через точку , с координатными плоскостями.
Решение.
1).Запишем уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной данной плоскости. Так как в качестве направляющего вектора такой прямой можно взять нормальный вектор плоскости , то уравнение прямой запишется в виде:
. Найдем точку пересечения этой прямой и данной плоскости, которая будет проекцией точки на данную плоскость. Для этого надо решить совместно систему уравнений:
, .
Перепишем каноническое уравнение прямой в параметрической форме, вводя параметр : , т.е.. Подставляя эти выражения для в уравнение плоскості, получим , откуда - координаты точки .
Так как точка является серединой отрезка , то координаты симметричной точки найдутся из формул , откуда
. Следовательно, .
3).Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной данной прямой. Так как в качестве нормального вектора такой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой, то уравнение плоскости запишется в виде: или.
Найдем точку пересечения этой плоскости и заданной прямой, которая будет проекцией точки на данную прямую. Для этого надо решить систему уравнений:
, . Как и в п.1 записываем уравнение прямой в параметрическом виде:и подставляем в уравнение плоскости или . Отсюда и .
Координаты симметричной точки находим, используя формулы для координат середины отрезка, т.е.
, откуда . Следовательно, .
3).Угол между плоскостью и прямой вычисляется по формуле , откуда .
4). Уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно прямой записывается в виде . Чтобы найти точку пересечения этой прямой с плоскостью , надо в уравнениях прямой положить : , откуда . Следовательно, .