5.Кривые второго порядка

Уравнение второго порядка – это уравнение вида

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0.

Такое уравнение преобразованиями координат приводится к одному из следующих видов:

Уравнение	Фигура
	Эллипс
	Точка
	Пустое множество (мнимый эллипс)
	Гипербола
	Пара пересекающихся прямых
y^2 = 2px, p>0	Парабола
y^2 =а^2,а 0	Пара параллельных прямых
y^2 =–а^2,а 0	Пустое множество (пара мнимых параллельных прямых)
y^2 =0	Прямая (пара совпавших прямых)

Эллипс

Эллипсомназывается множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемыхфокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Выведем уравнение эллипса. Для этого расположим координатные оси так, чтобы фокусыF₁ иF₂располагались на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. Пусть расстояние между ними равно 2с, значит, они имеют координатыF₁(–с, 0) иF₂(с, 0). ПустьM(x, y) – произвольная точка эллипса. Тогда из определения эллипса получаем уравнение

MF₁ +MF₂= 2a.

Подставляем MF₁ =,MF₂ =, получаем

+= 2а.

Это уравнение приводится к виду

(a² – c²)x²+ a²y²=a²(a² – c²).

При этом a >c, поэтомуa² – c² > 0, и можно ввести обозначениеa² – c² =b². Уравнение тогда приводится к видуb²x²+ a²y²=a²b². Разделив его наa²b², получим каноническое уравнение эллипса

.

Эллипс симметричен относительно координатных осей и пересекает ось абсцисс в точках А₁(–с, 0) иА(с, 0), ось ординат в точкахB₁(–b, 0) иB(b, 0). Эти четыре точки называютсявершинамиэллипса. ОтрезокА₁Аназывается большой осьюэллипса, отрезокВ₁В– малой осью. Таким образом,аиb– это длины большой и малой полуосей.

Эксцентриситетомэллипса называется число. Для любого эллипса. Эксцентриситет характеризует степень сжатия эллипса: чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее сжат эллипс. При= 0 эллипс является окружностью. При этом фокусы эллипса сливаются в одну точку, совпадающую с центром эллипса.

Гипербола

Гиперболойназывается множество точек плоскости, для каждой из которых разность расстояний до двух данных точек, называемыхфокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Уравнение гиперболы выводится аналогично уравнению эллипса из равенства

MF₁ –MF₂= 2a.

Здесь фокусы имеют координаты F₁(–с, 0) иF₂(с, 0),c > bиc² – a² =b². После преобразований получаем уравнение

.

Гипербола симметрична относительно обеих координатных осей. Она состоит из двух ветвей. Гипербола пересекает ось абсцисс в двух точках А₁(–а, 0) иА(а, 0), которые называютсявершинамигиперболы.

Прямые называютсяасимптотамигиперболы. Они могут строиться с помощью четырех прямых, параллельных осям:х=а, у =b. В пересечении этих прямых образуется прямоугольник, который называетсяосновным прямоугольником гиперболы.

Эксцентриситетомгиперболы называется число. Для любой гиперболы> 1. Эксцентриситет характеризует степень сжатия гиперболы: чем ближе эксцентриситет к 1, тем сильнее вытянут основной прямоугольник гиперболы.