осн. киб лекц

С Инверсную частотную характеристику нелинейного элемента.

15 РЕШЕНИЕ ТРЕНИРОВОЧНЫХ ЗАДАНИЙ

Раздел1

1 А Совокупность технических средств, выполняющих некоторый процесс, называется объектом управления. Примером объекта управления, например, является процесс ректификации, центрифуга идр.

В Входные переменные являются управляющими, если они служат для поддержания управляемой переменной в соответствии с некоторым законом управления.

С Переменная, которую необходимо поддерживать в соответствии с некоторым законом управления, называется управляемой.

2 А В АСР, изображенной на рис. 1.2, реализованы принципы регулирования по отклонению и по возмущению.

В Если регулятор изменяет регулирующее воздействие при отклонении регулируемой переменной от заданного значения (∆y(t) = = y(t) – yзад), то такой принцип регулирования называется регулированием по отклонению, ∆y(t) называется отклонением или ошибкой управления.

С Наиболее эффективной является комбинированная система регулирования.

3 А Линейная система относится к классу систем по основным видам уравнений динамики процессов управления.

В Класс "характер функционирования" делится на: а) системы стабилизации; б) системы программного регулирования; в) следящие системы;

г) системы оптимального управления; д) адаптивные системы.

С Класс "характер подачи сигналов" подразделяется на:

а) непрерывные системы; б) дискретные системы, в которых выделяют импульсные,

релейные, цифровые.

Раздел2

1 А Сигнал называется регулярным, если его математическим представлением является заранее заданная функция времени.

В Существуют временное и частотное представления сигналов.

С К основным типам регулярных сигналов относятся: периодический, почти периодический и непериодический.

2 А Преобразованием Фурье называется оператор

∞

F(iω)= ∫ f (t)e−iωt dt .

−∞

В Характерными свойствами спектра периодического сигнала являются:

а) спектры всегда дискретны, частоты основных гармоник кратны основной частоте;

б) чем больше период сигнала T, тем "гуще" спектр; при T → ∞ получают непериодическую функцию;

в) с уменьшением длительности импульсов при постоянном периоде амплитуды гармоник уменьшаются, а спектр становится "гуще";

г) если с уменьшением длительности прямоугольных импульсов увеличивать амплитуды по закону A0 = 1/τ, то их последовательность стремится к последовательности дельта-функций, а амплитудный спектр – к постоянному для всех частот значению Аn = 1/Т.

С Спектральной характеристикой непериодической функции называется величина

F(iω)= π ddAω ,

где А – бесконечно малые амплитуды периодической функции.

3 А Дельта-функцией называется функция, удовлетворяющая условиям:

0 при t ≠ 0;

δ(t) = ∞ при t = 0;

∞

∫δ(t)dt =1.

−∞

В Сигнал в виде единичного скачка на исследуемом объекте подают путем резкого открытия вентиля, чтобы расход подаваемого вещества изменялся скачком на единицу.

С Гармонический сигнал характеризуется амплитудой, периодом и фазой.

Раздел3

1 А Уравнениями статики называются уравнения, описывающие поведение системы регулирования в установившемся режиме при постоянных воздействиях.

Статической характеристикой объекта (системы) называется зависимость выходной величины от входной встатическом режиме.

В Уравнениями динамики называются уравнения, описывающие поведение системы регулирования при неустановившемся режиме и произвольных входных воздействиях.

С Гидравлический резервуар, электрическая емкость, непрерывный химический реактор полного перемешивания описываются обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами первого порядка.

2А Для доказательства линейности системы проводят эксперимент, состоящий из трех опытов:

1опыт: на вход системы подается входной сигнал x1(t) и определяется выходная координата y1(t) в установившемся режиме;

2опыт: на вход системы подается другой сигнал x2(t) и определяется координата y2(t);

3опыт: на вход системы подается сигнал, равный сумме входных сигналов x3(t) = x1(t) + x2(t), и определяется выходная координата y3(t). Далее проверяется выполнение соответствия y3(t) = y1(t) + y2(t) для любого момента времени. Если оно выполняется, то выполняется принцип суперпозиции, и система, следовательно, является линейной.

В Основными динамическими характеристиками, используемыми в теории автоматического управления, являются: передаточная функция, дифференциальное уравнение, переходная функция, весовая функция, частотными характеристикими: амплитудно-фазовая, амплитудно-частотная, фазочастотная, вещественно-частотная.

ССхема расчета динамики с помощью временных характеристик состоит из следующих этапов:

1)выбирается стандартный сигнал на входе

ν(t) = (ν(t), …, νn(t));

2) входной сигнал произвольной формы представляется как суперпозиция стандартных сигналов x(t) = α1ν(t) + α2ν2(t) + αnνn(t);

3)определяется реакция системы на стандартные сигналы

νi (t), i =1,n ;

4) выходной сигнал y(t) определяется как суперпозиция выходных сигналов yi(t): y(t) = α1y1(t) + α2 y2 (t) +K+ αn yn (t) .

3 А Преобразованием Лапласа называется преобразование функции x(t) переменной t в функцию x(s)

∞

другой переменной s при помощи оператора L[x(t)] = x(s) = ∫x(t)e−st dt . Основными свойствами преобразо-

0

вания Лапласа являются следующие:
а)	теорема линейности A x1(t)+ B x2 (t) = A x1(s)+ B x2 (s);
	теорема подобия x(λt) =	1			s
б)					x		;
			λ
					λ
в)	теорема затухания eλt x(t) = x(s − λ) ;
г)	теорема запаздывания x(t − τ) = e−s τ x(s) и др.
В (4s3 + 2s2 + s + 2)y(s) − 4s − 2 =					1			.
					s2 +		1

С Передаточной функцией объекта называется отношение преобразованного по Лапласу выходного сигнала y(s) к преобразованному по Лапласу входному сигналу x(s) при нулевых начальных условиях.

Раздел4

1 А Основными свойствами конформного отображения являются:

а) линия одной комплексной плоскости отображается в линию другой комплексной плоскости;

б) бесконечно малый угол отображается в такой же бесконечно малый угол, углы сохраняются; в) треугольник одной комплексной плоскости отображается в такой же или подобный треугольник

другой комплексной плоскости, направление обхода сохраняется; г) внутренняя область одного треугольника преобразуется во внутреннюю область другого тре-

угольника.

В Re(ω) = M(ω) cos ϕ(ω); Im(ω) = M(ω) sin ϕ(ω).

С M (ω) = Re2 (ω) + Im2 (ω) ; ϕ(ω) = arctg	Im(ϕ) .
	Re(ϕ)

2 А Экспериментально получают АЧХ и ФЧХ. АЧХ представляет собой отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала. ФЧХ – разность фаз выходного и входного сигнала.

	В W (iω) =	3	e−i arctg		ω		12		3ω
					4 ;	W (iω) =		−i		.
							ω2 +16
		ω2 +16							ω2 +16
	С W (iω) =	3	e−2arctg	ω
				2 .
		ω2 + 4

∞

3 А Весовая функция представляет собой обратное преобразование Фурье от АФХ w(t) = ∫W (iω) eiωt dω.

0

В Если h(t) – переходная функция, то W(iω) = (iω) h(iω).

С W (iω) =	1	=	1		e−i arctg ω .
	iω+1		ω	2	+1

Раздел5

1 А Обыкновенными дифференциальными уравнениями описываются апериодическое звено первого порядка, апериодическое звено второго порядка, колебательное звено.

ВУ реальных звеньев АЧХ M(ω) → 0 при ω → ∞. У идеально-дифференцирующего звена M(ω) →

∞при ω → ∞, его неосуществимость также видна из временных характеристик, так как h(t) = δ(t), а w(t) = δ′ (t).

С Типовые звенья подразделяются на:

а) статические, у которых статическая характеристика отлична

	от нуля;
б)	дифференцирующие,		у	которых	статическая	характеристика
	равна нулю;
в)	астатические,	у	которых	статическая	характеристика	не	су-
	ществует.

2 А Для одноконтурной системы автоматического регулирования можно записать передаточные функции по каналу регулирования, по каналу возмущения, по каналу ошибки.

В При последовательном соединении:

W (i ω) =W1(i ω) W2(i ω) ;

M (ω) = M1(ω) M 2 (ω) = Tkω ;

ϕ(ω) = ϕ1(ω) + ϕ2 (ω) = − π2 .

При параллельном соединении:

W (i ω) =W1(i ω) +W2 (i ω) ;

Re(ω) = Re1(ω)+ Re2 (ω) = k ;

Im(ω) = Im1(ω) + Im2 (ω) = − T1ω .

С Без дополнительных преобразований производится перенос узла через узел и перенос сумматора через сумматор.

3 А Физически не реализуем Д-закон регулирования.

В Введение в закон регулирования дифференциальной составляющей увеличивает быстродействие регулятора.

С Знак "–" у передаточных функций регулятора учитывает тот факт, что регулятор включается в систему по принципу отрицательной обратной связи.

Раздел6

1 А Система, которая после снятия возмущения принимает новое состояние равновесия, отличное от первоначального, называется нейтральной.

В Система автоматического управления не устойчива, так как один из корней S4 положительный.

С Система автоматического регулирования, у которой корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси, устойчива.

2 А Необходимое условие устойчивости является и достаточным для систем, описывающихся обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка.

В В соответствии с критерием Гурвица система устойчива: ∆1 = 4 > 0; ∆2 = 5 > 0; ∆3 = 5 > 0.

С Для исследования устойчивости с помощью критерия Рауса необходимо располагать уравнением, которое описывает систему автоматического управления.

3 А Если разомкнутая система не устойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы охватывало точку (–1, i0) m / 2 раз, где m – число правых корней харак-

теристического	уравнения	разомкнутой
системы.

В В соответствии с критерием Михайлова система автоматического управления не устойчива, так как корни не являются действительными чередующимися между собой.

С В соответствии с критерием Найквиста система устойчива, так как АФХ разомкнутой системы не охватывает точку (–1, i0).

Раздел7

1А Синтез устойчивых систем базируется на критерии устойчивости Найквиста.

ВГраница устойчивости для систем автоматического регулирования, с регуляторами, имеющими два настроечных параметра, строится в плоскости параметров настройки s1 – s0 (ПИ-регулятор) или

s2 – s1 (ПД-регулятор) по уравнению Wоб(iωp )Wp (iωp , s0 , s1) = −1 или Wоб(iωp )Wp (iωp , s1, s2 ) = −1 соответственно.

С Задача синтеза систем регулирования с П- или И-регулятором решается однозначно, так как имеются два уравнения и два неизвеcтных ωp и s1 (или s0).

2	А К корневым показателям оценки запаса устойчивости относятся степень устойчивости и степень
колебательности.
	В Показатель колебательности – это максимум АЧХ замкнутой системы.
	С Корневые оценки запаса устойчивости вводятся в рассмотрение через расширенные амплитудно-
фазовые характеристики.
3	А Если запас устойчивости оценивается показателем колебательности М, то замкнутая система об-

ладает заданным запасом устойчивости, если АФХ разомкнутой системы касается окружности радиуса r = M / (M 2 – 1) с центром в точке l = M 2/ (M 2 – 1).

В Задача определения настроек регуляторов ПИ и ПД на заданный запас устойчивости решается неоднозначно. Задача имеет бесконечное множество решений.

С Структурно-неустойчивыми называются системы, которые не могут стать устойчивыми ни при каких комбинациях значений их параметров.

Раздел8

1 А Прямыми показателями качества являются показатели, которые позволяют непосредственно по кривой переходного процесса оценивать качество регулирования. К ним относятся статическая ошибка регулирования, динамическая ошибка регулирования, время регулирования, перерегулирование, степень затухания.

В Для оценки качества регулирования колебательных переходных процессов используется степень колебательности.

С Положительным фактором использования интегральных критериев качества является получение общей оценки быстродействия и отклонения регулируемой величины от установившегося значения.

2 А Если ВЧХ представима суммой и каждой составляющей соответствует переходный процесс, то и переходный процесс представляется суммой составляющих.

В Если ВЧХ на оси ординат увеличивается в α раз, то и переходный процесс увеличивается в α раз.

С Конечное значение переходного процесса равно начальному значению ВЧХ; начальное значение переходного процесса равно конечному значению ВЧХ.

Раздел9

1 А Синтез функциональной структуры заключается в выборе конкретных элементов и согласовании их характеристик.

В К точным методам расчета параметров настроек регуляторов относятся метод РАФХ и графоаналитический метод.

С Расчет параметров настроек регуляторов называется параметрическим синтезом.

2 А Оптимальными параметрами настроек регуляторов согласно методу РАФХ являются настройки, обеспечивающие заданную степень колебательности и минимум квадратичного интегрального критерия.

В Качество регулирования в методе РАФХ оценивается квадратичным интегральным критерием.

С Для регуляторов с двумя настроечными параметрами оптимальным настройкам соответствует точка, лежащая на кривой заданной степени колебательности в плоскости настроечных параметров, в которой квадратичный интегральный критерий минимален.

3А В графоаналитическом методе запас устойчивости оценивается показателем колебательности.

ВКачество регулирования в графоаналитическом методе оценивается с помощью критерия оптимальной фильтрации, заключающегося в наилучшем приближении АЧХ реальной системы к АЧХ иде-

альной системы на низких частотах и, в частности, при ω = 0. Условия оптимальности записываются в виде:

– относительно возмущающего воздействия

M в(0) = 0 ; d Mв(0)dω = 0 ;

– относительно управляющего воздействия

M у(0) =1 ; d M у (0)dω = 0 .

С Точка, соответствующая оптимальным настройкам ПИ-регу-лятора, находится в точке касания касательной, проведенной из начала координат к кривой заданного запаса устойчивости в плоскости параметров настроек Ти – Kп (время изодрома – коэффициент передачи).

Раздел10

1 А Для доказательства нелинейности системы автоматического управления проводят эксперимент, состоящий из трех опытов. В первом опыте на вход нелинейной системы подается входной сигнал x1 и

в установившемся режиме фиксируется сигнал y1 = f (x1) на выходе системы. Во втором опыте подается входной сигнал x2 и фиксируется выходной сигнал y2 = f (x2 ) . В третьем опыте на вход системы подается сигнал x3 , равный сумме первых двух, т.е. x3 = x1 + x2 и аналогичным образом фиксируется сигнал y3 = f (x3) . После завершения эксперимента необходимо проверить выполнение принципа суперпозиции: y3 = y1 + y2 . Для нелинейной системы принцип суперпозиции не имеет места, т.е. в результате сравнения получают неравенство y3 ≠ y1 + y2 , что и подтверждает нелинейность системы.

В Статические нелинейности – это нелинейности статических характеристик. Выходная переменная статических нелинейных звеньев в каждый момент времени зависит только от значения входной переменной в тот же момент времени и не зависит от того, как эта входная переменная изменялась до рассматриваемого момента времени. Вход и выход нелинейного звена связаны между собой нелинейной статической характеристикой.

Динамические характеристики – это нелинейности дифференциальных уравнений, описывающих звено, например,

(y′(t))2 + y(t) = kx(t) .

С Типовыми нелинейными элементами, которые также называются типовыми нелинейными звеньями, являются звено с зоной нечувствительности, усилительное звено с зоной насыщения, двухпозиционное реле и др.

2 А Статические характеристики типовых нелинейных элементов, а также большинства других нелинейных элементов, не относящихся к типовым, представляют собой кусочно-линейные функции. При подаче на вход элементов гармонического сигнала в зависимости от его амплитуды будет работать либо вся статическая характеристика, либо ее часть. Например, при исследовании звена с зоной насыщения – B при малых амплитудах A ≤ B звено будет вести себя как линейное, а при больших амплитудах входного сигнала A > B – как нелинейное. Таким образом, частотные характеристики, называемые для нелинейных элементов эквивалентными, зависят как от частоты, так и амплитуды входного сигнала Wнэ(iω, A) , для нечастотопреобразующих элементов частотные характеристики зависят только от ампли-

туды входного сигнала Wнэ(iω, A) .

В Динамика	нелинейной					системы	описывается	нелинейным
дифференциальным уравнением y		(n)	(t)	= F (y	(n−1)	′
						(t), ..., y (t), y(t)) . Состояния равновесия определяются ре-
шением уравнения	′
	F(0,0, ..., y (t), y(t)) , которое является нелинейным и имеет несколько решений, коли-

чество которых определяется характером нелинейности, следовательно, и состояний равновесия будет несколько.

С В нелинейных системах могут наблюдаться незатухающие колебания, обусловленные внутренними свойствами системы, которые получили название автоколебаний.

3 А Нелинейность называется слабой, если она может быть заменена линейным элементом без изменения принципиальных особенностей системы. Для линеаризации таких нелинейностей применяют разложение статической характеристики yнэ = fнэ(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0 , считая после

этой операции

yнэ ≈ ax + b ,

где a = fнэ′ (x0 ) , b = fнэ(x0 ) − fнэ′ (x0 )x0 ; x0 – любая точка рассматриваемой области.

Процессы в полученной линеаризованной системе не должны качественно отличаться от процессов в реальной системе.

В Гармоническая линеаризация применяется к нелинейным системам, характеризуемым неаналитическими, разрывными и неоднозначными нелинейностями. Кроме того, рассматриваемые нелинейные системы должны быть нечастотопреобразующими, на выходе иметь периодические колебания и для них должна выполняться гипотеза фильтра. При выполнении всех перечисленных условий выходной периодический сигнал можно разложить в ряд Фурье, оставив в результате проведения линеаризации только первые гармоники.

С В результате проведения гармонической линеаризации нелинейной системы в рассмотрение вводятся частотные характеристики, получившие название эквивалентных, так как они получены для линеаризованной системы: эквивалентная амплитудно-частотная характеристика M нэ(A) , эквивалентная

фазочастотная характеристика ϕнэ(A) , эквивалентная амплитудно-фазовая характеристика Wнэ(iA) . В соответствии с определением частотных характеристик

Wнэ(iA) = Mнэ(A)eiϕнэ(A) .

Раздел11

1 А Особая траектория, представляющая собой изолированную замкнутую кривую, называется предельным циклом. Предельный цикл может быть устойчивым, если все фазовые траектории на него "наматываются", и неустойчивым, если фазовые траектории с него "сматываются", уходя в бесконечность.

В Сепаратриса – особая траектория, представляющая собой кривую, разделяющую фазовый портрет на области с различным характером фазовых траекторий.

С Типичный фазовый портрет нелинейной системы состоит из областей с различным характером фазовых траекторий, разделенных между собой сепаратрисами. В каждой области характер фазовой траектории определяется особой точкой.

2 А Изоклиной называется кривая, представляющая геометрическое место точек, в которых касательные ко всем интегральным кривым наклонены под одним и тем же углом к оси абсцисс.

В При построении фазового портрета методом изоклин необходимо знать систему дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему, для которой строится фазовый портрет.

С Метод изоклин имеет невысокую точность и носит качественный характер, так как фазовая траектория определяется по направлению касательных к ней; начальная точка определяется произвольно.

3 А Построение фазового портрета методом припасовывания производится в следующей последовательности:

–выбираются или задаются начальные условия;

–интегрируется система линейных уравнений для того линейного участка, на который попали начальные условия, до момента выхода на границу следующего участка;

–производится припасовывание начальных условий.

В При построении фазовых портретов методом сшивания фазовые траектории линейных участков "сшиваются" желаемым образом, т.е. на границе конечные значения не принимаются за начальные для граничащих участков. Конечные значения предыдущего участка рассчитываются – какие получились, такие получились, а начальные условия для последующего участка задаются желаемым образом.

С Метод "сшивания" используется при построении фазовых портретов систем с переменной структурой. При переходе изображающей точки через границы заранее установленных областей, система изменяет свою структуру.

Раздел12

1 А Движение называется невозмущенным, если оно получено в результате рассмотрения идеализированной системы. Движение с учетом возмущений, возникающих в реальной системе, называется возмущенным.

В Смысл понятия устойчивости движения по Ляпунову состоит в том, что движение устойчиво, если при достаточно малом начальном сдвиге точки M0* от M0 , точка M * в последующем движении дос-

таточно близка к M . Если эти точки будут неограниченно сближаться, то траектория возмущенного движения будет возвращаться на траекторию невозмущенного движения, и тогда такое движение будет называться асимптотически устойчивым.

С Первый метод Ляпунова включает три теоремы:

1Если линейная система первого приближения устойчива, то соответствующее состояние равновесия нелинейной системы устойчиво по Ляпунову.

2Если линейная система первого приближения неустойчива, то соответствующее состояние равновесия нелинейной системы неустойчиво по Ляпунову.

3Если линейная система первого приближения находится на границе устойчивости, то судить об устойчивости исходной нелинейной системы по уравнениям первого приближения нельзя. Необходимо рассматривать исходную нелинейную систему.

2 А В основе второго метода Ляпунова лежит теорема Дирихле, согласно которой равновесие устойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум.

В Для того, чтобы доказать, что нелинейная система устойчива, необходимо построить функцию V (y1, y2 , ..., yn ) , которая должна быть знакоопределенной функцией, а ее производная по времени в силу

дифференциальных уравнений, описывающих нелинейную систему, знакопостоянной функцией противоположного с V знака или тождественно равна нулю.

С Второй метод Ляпунова доказывает устойчивость нелинейной системы в "большом". Для подтверждения этого факта рассматривается геометрическая иллюстрация. Пусть V (y1, y2 , ..., yn ) знакоопре-

деленная положительная функция V > 0 , тогда ей в фазовом пространстве соответствуют эллипсоиды, причем каждый последующий содержит внутри себя целиком предыдущий. Производная по времени от этой функции dV / dt < 0 , что свидетельствует о том, что изображающая точка перемещается по фазовой траектории на внутреннюю поверхность, неограниченно приближаясь к состоянию равновесия, она уже никак не может выйти за пределы тех эллипсоидов, в которые проникла. Как только dV / dt = 0 , то изображающая точка останавливается на соответствующей поверхности, что и доказывает устойчивость в "большом".

3 А Абсолютной устойчивостью равновесия называется устойчивость в целом, имеющая место для всех характеристик Φ(x) , принадлежащих определенному классу.

В Видоизмененная амплитудно-фазовая характеристика W *(iω) линейной части получается из исходной W (iω) по следующим соотношениям: