§ 2. Достаточные условия монотонности и экстремума функции на промежутке

Теорема1 (Достаточное и необходимое условие монотонности). Для того, чтобы дифференцируемая на интервалефункцияне убывала (не возрастала) на нем, необходимо и достаточно, чтобы

Доказательство. 1) Пусть, например,Возьмем произвольные точкиК отрезкуприменим теорему Лагранжа::. Так как, то, что и означает не убывание функциина интервале.

Случай рассматривается аналогично.

2. Пусть теперь функция дифференцируема и не убывает на интервале. Предположим, что:. Так как, то по, или , в частности. Отсюда приполучим, а приполучим. Таким образом, функцияубывает в, что противоречит условию. Следовательно,

Так же, как в случае 1), доказывается

Теорема 2 (Достаточное условие строгой монотонности). Если, то функциявозрастает (убывает) на интервале

Вставка 1.

Теорема3 (1-е достаточное условие локального экстремума). Пусть- критическая точка непрерывной ви дифференцируемой вфункции. Тогда, если функцияменяет знак при переходе через точку,то- точка локального экстремума функции, а именно: еслименяет знак с"–"на"+", то- точка локального минимума; еслименяет знак с"+"на"–", то- точка локального максимума.

Доказательство.Пусть, например,меняет знак с"–"на"+", тогда по предыдущей теореме функцияубывает слева от точкии возрастает справа от нее. А это и означает, чтоявляется точкой локального минимума.

Вставка 2.

Теорема4 (2-е достаточное условие локального экстремума). Пусть функциядифференцируема в интервале,,и. Тогда:

а) если , то- точка локального минимума функции;

б) если , то- точка локального максимума функции.

Доказательство. Пусть, т.е.. Тогдатакая, что.

Если теперь , тои потому; если же, то. А так как, то при переходе через точкупроизводная функции меняет знак с"–"на"+", т.е.- точка локального минимума функции.

Аналогично рассматривается случай .

Вставка 3.

Рассмотрим вопрос о нахождении наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции.

По теореме Вейерштрасса такие значения существуют и достигаются на нем. Если, например, наибольшее значение реализуется во внутренней точке отрезка, то это необходимо есть точка локального экстремума (максимума). Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезкефункции находят ее критические точки на данном отрезке, вычисляют в них значения функции (не обязательно выясняя наличие экстремума) , добавляют к ним значения функции в концах отрезка и выбирают из них наибольшее и наименьшее.

Вставка 4.

Вопросы и упражнения

1. Доказать теорему 2.

2. Пусть - критическая точка функцииисохраняет знак в некоторой окрестности точки. Показать, что в точкеэкстремума функциинет.

3. Возможно ли, чтобы некоторый локальный минимум функции был больше ее некоторого локального максимума?

4. Пусть Будет литочкой локального экстремума функции?

5. Доказать неравенство при

6. Доказать неравенство при

7. Определить наибольший член последовательности .

8. Показать: f(x)constв (a;b)(x)0 в (a;b).

9. Найти связь между функциями и.

10. Доказать: Пусть функциянепрерывна и дифференцируема в интервале (a;b),и. Тогда(т.е. производнаянепрерывна в точке.