§ 3. Свойства пределов функции.

Лемма(о сохранении знака функции, имеющей предел). Если, то> 0:sgnf(x) =sgna.

Доказательство.Пусть, для определенности,а > 0. Возьмем = а. По определению предела (по Коши)=() > 0:|f(x) –a| <a и, следовательно, верно неравенствоf(x) –a> -a, откудаf(x)> 0.

В случае а< 0 следует взять = - а.

Теорема1 (арифметические свойства пределов). Пусть функцииfиgопределены на множествеDих₀– точка сгущенияD. Если,, то :

1) ;

2) ;

3) (приb0).

Доказательство.Воспользуемся определением предела по Гейне и соответствующими теоремами о пределах последовательностей.

Пусть {x_n}D\{x₀} – произвольная последовательность. Тогда по условию теоремы. Поэтому

1 - 2) .

Аналогично, .

В виду произвола последовательности {x_n} получим 1) и 2).

3) Для доказательства предела частного воспользуемся леммой. Так как b0, то функцияg отлична от нуля в некоторой окрестностиО(х₀). Поэтому, требуя дополнительно, чтобы {x_n}О(х₀), получим

.

А т.к. последовательности {x_n} – произвольная, то верно 3).

Следствие.Пусть,СRиr Q. Тогда:

1) ;

2) ;

3) .

Вставка 1.

Теорема 2. Пустьf(x)0 (f(x)0) для всеххиз некоторой проколотой окрестности точких₀, причем. Тогдаа0 (а0).

Доказательство. Предположим, чтоа< 0. Тогда по лемме в некоторой проколотой окрестности точких₀имеет место неравенствоf(x) < 0, что противоречит условию теоремы.

Следствие.Пустьf(x)g(x) для всехх из некоторой проколотой окрестности точких₀(), причеми. Тогдааb.

Доказательство.Положим(х) =f(x) -g(x). Тогда(х)0х. По теореме 1. Тогда по теореме 2a –b0, т.е.а b.

Определение 1. Функцияfназывается ограниченной сверху (ограниченной снизу, ограниченной) на множествеED_f, если множествоf(E) ограничено сверху (ограничено снизу, ограничено).

Теорема 3(о локальной ограниченности функции, имеющей предел). Если, то функцияfограничена в некоторой окрестности точких₀.

Доказательство. Пусть. Тогда по определению предела функции в точке (по Коши), например, для= 1> 0:, откуда |f(x)| < |a| + 1, что и означает ограниченность функцииfв.

Определение2. Функцияназываетсябесконечно малой (б/м) прихх₀, если.

Определение3. ФункцияFназываетсябесконечно большой (б/б) прихх₀, если, т.е. (по Гейне){x_n}D_F\{x₀},,последовательность {F(x_n)} -б/б ().

Теорема 4. 1) Если-б/м функция прих х₀, причем(х)0, то-б/б функция прихх₀.

2) Если F-б/б функция прих х₀, то-б/м функция прихх₀.

Доказательствонепосредственно следует из определения предела функции в точке по Гейне и соответствующей теоремы дляб/м иб/б последовательностей.

Аналогично получим

Теорема 5. 1) Сумма конечного числаб/м прих х₀функций есть функцияб/м прихх₀;

2) Произведение б/м прихх₀функции и ограниченной вфункции есть

функция б/м прих х₀;

3) Произведение любого числа б/м прих х₀функций есть функцияб/м прих х₀;

4) Частное от деления ограниченной в функции иб/б прихх₀функции есть функцияб/м прих х₀.

Вставка 2.

Вопросы и упражнения.

1. Показать, что все свойства пределов остаются верными и для односторонних пределов.

2. Показать, что если f(x)>g(x)xи, тоab.

3. Пусть . Доказать, чтоО(х₀):xf(x) >g(x).

4. Дать определение ограниченной снизу (ограниченной сверху, ограниченной) функции на множестве Е D_fчерез неравенства.

5. Сформулировать определение неограниченной снизу (неограниченной сверху, неограниченной) функции на множестве.

6. Доказать, что если функция F-б/бприхх₀, аgограничена в, то функцияF  g-б/бприхх₀.

7. Доказать ограниченность функции на всей числовой оси.

8. Дать определение по Коши б/бфункции прихх₀.

9. Доказать, что сумма б/бфункций прихх₀одного знака естьб/бфункция прихх₀ того же знака.

10. Установить связь между неограниченной и б/бфункциями. Рассмотреть функциювО(0).

11. Доказать, что: а) ;

б)