04 Обратная матрица

О б р а т н а я м а т р и ц а

Квадратная матрица A 1 называется обратной квадратной матрице A , если выполняется условие A 1 A AA 1 E , где E единичная матрица.

Квадратная матрица называется невырожденной или неособенной, если её определитель отличен от нуля. Если определитель равен нулю, она называется вырожденной или особенной.

			a11	a12	...	a1n
	Всякая невырожденная матрица	A	a21	a22	...	a2n	имеет обратную матрицу
			...	...	...	...
				an 2	...
			an1			ann

A11

A12

...

A1n

A 1

1

A21

A22

...

A2n , где A

алгебраическое дополнение элемента a

i j

det A .

.

.

.

i j

An2

An1

...

Ann

i

, j

матрицы A .

1, m

1, n

А л г о р и т м н а х о ж д е н и я о б р а т н о й м а т р и ц ы

1.Вычисляется определитель матрицы A .

2.Находится матрица AT .

3.Строится матрица A* , элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов AT .

4.A 1 1 A* .

С в о й с т в а о б р а т н ы х м а т р и ц

1. A 1 1 A.

2. AB 1 B 1 A 1 .

3. AT 1 A 1 T .

П р и м е р н а х о ж д е н и я о б р а т н о й м а т р и ц ы .

				3	1	2
Найти обратную матрицу A	1	к матрице		2	4
			A			1 .
				4	5
						1

Ре ш е н и е .

1)Найдем определитель матрицы A :

		1		2
	3
det A	2	4		1	12 4 20				32 2 15 11 0 .
	4	5	1
						3	2	4
T			T			1	4	5
2) Найдем матрицу A :			A						.
						2	1
								1

3) Построим матрицу A* , элементы которой являются алгебраическими дополне-

ниями элементов AT .

				5					1	5				1	4
			4
			1	1				2		1				2	1
																			1	11	9
			2 4						3 4					3 2
*
A			1 1						2 1			2							2	11	7	.
															1				6	11	10
			2	4				3		4		3			2
			4	5					1	5		1			4

											1	11
		1		1	*			1
4)	A				A						2	11
							11
											6	11

	3	1
П р о в е р к а : A A 1	2	4
	4	5

					1
9					11
7						2
					11
10
					6
					11

					1
	2				11
					2
	1
					11
	1				6
					11

1		9
		11
				7
1							.
		11
		10
1
			11

1		9
		11
				7
1
		11
		10
1
		11

						1						2						6			3 1 1 1 2 1		9						7						10
		3							1							2						3					1					2
																		11					11
					11					11																	11								11
						1						2						6			2 1 4 1 1 1		9						7						10
		2							4								1					2					4						1
																		11					11						11
					11							11																							11
						1						2																							10
																		6			4 1 5 1 1 1		9						7
		4							5								1					4					5						1
																		11					11						11
					11							11																							11

	1
	0
	0

		1		1		9
		11				11
		2				7
О т в е т : A 1				1						.
		11				11
			6			10
				1
		11				11

0	0
1	0		E .
0	1