06 Сист лин алг ур-ний

11

1			x3		4
							3x3 20x3 17x3 ;
2		5x3		3
2				x3		16x3 .
		3
2		1	5x3
Отсюда находим, что x 17x3									,	x	16x3	. Полагая x 13k , где	k –	произволь-
						1		13		2	13	3
ный коэффициент						пропорциональности,					получаем решение исходной			системы:
x1 17k , x2 16k ,					x3 13k .

Всякая однородная система всегда совместна, так как всегда имеет нулевое (триви-

альное) решение x1 x2 ... xn 0. Для существования нетривиального решения необ-

ходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных

( Rg A n ).

Особенностью однородной системы является то, что всякая линейная комбинация ее решений вновь является решением системы. Поэтому для отыскания общего решения системы достаточно найти все ее линейно независимые решения и составить их линейную комбинацию. Совокупность линейно-независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений. Если ранг системы равен r , то всякая фундаментальная система состоит из ( n r ) решений.

П р и м е р 7 . Найти фундаментальную систему решений

									2x1 x2 3x3 4x4 x5 0,
									x1 2x2		3x3 x4 2x5 0,
														.
								5x1 5x2 12x3 11x4 5x5 0,
									x1 3x2 6x3 3x4 3x5 0.
Р е ш е н и е .					Найдем ранг матрицы A :
2		1 3 4			1 I II		1		2 3		1 2 I I
	1	2 3 1			2	II I		2	1 3		4 1 II II I 2
	5	5	12	11	5	III III		5	5	12	11	5	III III I 5
	1	3	6	3	3	IV IV		1	3	6	3	3	IV IV I

1		2	3	1	2		I I
	0	5	9	2	5		II II
	0	15	27	6	15	III III II ( 3)
	0	5	9	2	5	IV IV II

1		2	3	1	2
	0	5	9	2	5
							Rg A 2 n 4 ,	, система
	0	0	0	0	0
	0	0	0	0	0

имеет нетривиальные решения.

Эквивалентная система имеет вид

x 2x 3x x 2x 0,
	1	2	3 4	5
	5x2 9x3 2x4 5x5 0.

12

Пусть

x1 , x2

−

базисные,

x3 ,

x4 ,

x5

− свободные неизвестные. Положим x3 C1 ,

x4 C2 ,

x5 C5 , тогда

x

3

C

9

C ,

x1 2x2

3C1

C2

2C3,

1

5

1

5

2

5x5

9C1

2C2 5C3

,

9

2

x2

C1

C2 C3.

5

5

Фундаментальная система решений будет состоять из n r 5 2 3 линейно-

независимых решений. Придадим свободным неизвестным C1 , C2 , C3 такие значения,

чтобы полученные решения были линейно независимыми. Например,

x1			x2			x3 C1	x4 C2	x5 C5
	3			9		1	0	0
	5		5
	9			2		0	1	0
	5		5
0			−1			0	0	1

Тогда общее решение системы можно представить в виде линейной комбинации найденных фундаментальных решений.

			3		9					9		2			, 0;	1; 0; 0; 1 .
О т в е т .				;		; 1; 0; 0		,			;		; 0; 1; 0
			5		5					5		5