12

Раздел 1.Введение в математичекий анализ.

1. Понятие функции одной переменной

Переменной называется величинаx, которая в течение данного процесса принимает различные значения.

Постоянную величину можно рассматривать как частный случай переменной, принимающей одно и то же значение.

Совокупность (множество) всех значений, которые принимает переменная величина , называетсяобластью изменения переменной и обозначают .

Переменная величина считается заданной, если известно множество значений, которое она принимает.

Определение. Переменная величина называетсяфункцией от переменной если каждому значению переменной из области ее изменения , то есть,, поставлено в соответствие по некоторому правилу или закону одно определенное значение из области изменения, то есть, (однозначная функция).

Тот факт, что переменная есть функция от записывается следующим образом:.

Переменная называетсянезависимой переменной или аргументом, – зависимая переменная.

Буквамиобозначают правило или закон, по которому аргументу ставится в соответствие зависимая переменная .

Область изменения аргумента называетсяобластью определения или существования функции,а множество –областью изменения функции.

Геометрически значение переменной изображается точкой на числовой оси - бесконечной прямой, на которой выбрана произвольная точка отсчета0, положительное направление (указывается стрелкой) и масштаб длины.

Область существования функции может состоять как из отдельных точек (значений), так и из совокупности точек.

Если переменная находится в пределах:

1. - то область называется отрезокили замкнутый промежуток.

2. , то область называется интервал, открытый промежуток (a,b).

3.или, то область называется полуинтервал (a,b], [a,b)

Наряду с этими рассматриваются бесконечные и полубесконечные интервалы и полуинтервалы: ,,,,.

Отрезок, интервал, полуинтервал объединяют общим термином – промежуток.

Если - некоторое значение независимой переменной из области определения функции, то есть, то ему будет соответствовать некоторое значениеиз области изменения функции. Это значениеназываютзначением функции в точке.

Например, если , то.

Способы задания функций.

Существует несколько основных способов задания функций.

1. Табличный способ:

х
у

2. Графический – изображение графика функции .

3. Аналитический – когда функция задана одной или несколькими формулами:

2. Предел функции.

2.1. Предел функции в точке на языке (по Коши).

Пусть функциязадана в некоторой окрестности точкиза исключением, быть может, самой точки. Рассмотрим поведение функции при.

Определение. Число А называется пределом функции при стремящемся к( или в точке ), и пишут , если для любого сколь угодно малого положительного числанайдется положительное число , зависящего от, то есть, такое, что для всехи удовлетворяющих условию

(1)

выполняется неравенство

. (2)

Геометрический смысл предела функции в точке.

Неравенства (1) и (2) эквивалентны двойным неравенствам:

,

.

Интервал (называется -окрестностью точки , а интервал() - -окрестностью точки А.

Тот факт, что число А является пределом функциипригеометрически означает: каков бы ни был наперед заданный интервал , лежащий на оси, найдется -окрестность точки (такое значение числа ),лежащая на оси, такая, что для всех значений аргумента функциихиз этой окрестности, исключая, быть может, саму точку () ,соответствующие значения функции будут находиться в -окрестности точкиА. При этом график функциибудет лежать внутри прямоугольника, ограниченного прямыми(рис.1).

A

О

Рис.1. Геометрический смысл предела функции в точке

Замечание. Определение предела не требует, чтобы функция существовала в самой точке , а только в ее окрестности. То есть, поведение функции, и предел функции рассматриваются в окрестности точки и не связаны со значением функции или отсутствием значения функции в самой точке.

Пример. Покажем, что, хотя функцияв точке не определена.

Пусть задано произвольное число .По определению, необходимо найти такое, чтобы для всех значений аргументов функции из-окрестности точки= 3, то есть,, выполнялось неравенство:

.

Разложив в числителе разность квадратов, получим следующие эквивалентные неравенства:

.

В самой точке знаменатель обращается в ноль, однако, в окрестности точки признаменательи дробь можно сократить на число, отличное от нуля.

.

Если взять , то для всех , изокрестности точкибудет выполняться неравенство. Значит, предел в точке= 3 равен 6.