Індивідуальні завдання_2011

2. Обчислити інтеграл методом інтегрування частинами.

1.а) arctgxdx ;

2.а) xex dx ;

3.а) ln xdx ;

4.а) x arcsin x dx ;

1 x2

5.а) xsincos3 xx dx ;

6.а) x2arctgx dx ;

1 x2

7.а) xtg2 xdx ;

8.а) x2 ln 1 x dx ;

9.а) x cos xdx ;

10.а) arcsin xdx ;

11.а) xarctgxdx ;

12.а) ln x 1 x2 dx ;

13.а) x ln11 xx dx ;

14.а) x ln x 1 x2 dx ; 1 x2

б) x2 cos xdx .

б) x2 sin 2xdx .

б) x3 sin xdx .

б) ex cos3xdx .

б) e x dx .

б) ex sin xdx .

б) cos ln x dx .

xearctgx

б) 1 x2 32 dx .

б) xarctg2 xdx .

б) sin 3 xdx .

б) arctg xdx .

б) sin x ln tgx dx .

б) x2e 2x dx .

б) x3e x2 dx .

15.а) lnsinsin2 xx dx ;

16.а) cosxdx2 x ;

17.а) ln x 1 dx ; x 1

18.а) ln lnx x dx ;

19.а) x 1 x2 arctgxdx ;

20.а) ln x2 4 dx ;

21.а) 4x 7 cos3xdx ;

б)

б)

б)

б)

б)

б)

б)

x5ex3 dx .

arcsin2 xdx .

x2 adx .

earctgx

1 x2 32 dx .

sin ln x dx .

e3 x dx .

xexdx . 1 ex

3. Обчислити інтеграл від раціональної функції.

1.а)

2

dx ;

1 x 1 x

2.а)

2x2 x 3

dx ;

x

3

x

2

2x

3.а)

dx

;

x

2

2 1

x2dx

4.а)

;

2

x2 1

5.а)

2x2 11x 25

dx ;

x

3

7x

6

б)

б)

б)

б)

б)

x4 4x3 2x 1dx .

x2 x 1

3xx4 15 dx .

xx3 31dx .

x2dx	dx .
2 x 1 x3

dx . x 1 2 x2 1

12

6.а)

xdx

;

x 1 2x 1

7.а)

xdx

;

x

4

3x

2

2

8.а)

x3 1

dx ;

x

3

x

2

9.а)

x2 1

dx

;

x

1

2

x 1

10.а)

xdx

;

x 1 x 2 x

3

11.а)

dx

;

x

4

2

x

12.а)

x 2

2 dx

;

x

x 1

13.а)

x2dx

;

2

x

2

x 2

4

14.а)

x

2 2x 3

dx ;

x 1 x3 4x2

3x

15.а)

x3 7x 18

dx

;

x

2

3x

2

16.а)

3x 1

dx ;

x

3

x

2

2x

б) xdx3 1 .

б) xxdx3 1 .

б) 2x2 2 3x 3 dx . x 1 x 2x 5

б) x2dx . 1 x4

б)					x4 1					dx .
		x		3	x	2	x 1
б)					dx			.
			x x2 1

б)				dx				.
	x2 1 x2 x
б)				x4			dx .
		x	4	5x	2	4

б)	dx		.
	x 1 x 1 x x2

б) xdx4 1.

б) x42 5x2 4 dx . x 5x 4

13

17.а)

xdx

;

б)

dx

.

x3 3x 2

x 1 x2 1

18.а)

x

2

dx ;

б)

dx

.

x2 4x 4 x2 4x 5

x2 3x 2

19.а)

x3 1

dx ;

б)

xdx

.

x3

5x2 6x

x 1 2 x2 2x 2

x5 9x3 4

xdx

20.а)

dx ;

б)

.

x2 3x

x2 9 x 1

21.а)

3x3 25

x2dx

dx ;

б)

x2 2x 2 x 1 .

x2

3x 2

4. Обчислити інтеграл від ірраціональної функції.

1)

x

3

x

dx .

7)

dx

.

3

2

4 x5 6 x7

x 1 x

2) x

3

x

2

6

x dx .

8)

dx

.

2

4

x 3 x4

3

x 1 x

1

dx

dx

3)

x

x 5 x2 .

9)

.

4 x 1 3 x 2 5

4)

dx

.

10)

dx

.

1 4

x 3

x

3 2 x 2 x 5

5)

6

x

dx .

11) x3 1 3x2 53 dx .

1 3

x

6)

dx

.

12)

2x 3 12 dx

.

2x 3

1

1

x

3

1

14

13)	x 1 1	dx .
	x 1 1

14)3 xdxx 2 .

15)x2 3 1 xdx .

	16)				dx		.
			1		3	x
	17)				xdx		.
			1
						x

18)x 5 1 xdx .

19)3 xdx .

13 x

1

20)x 2 dx .

13 x

		dx
21)		1 6 x x	.

5. Обчислити інтеграл, що містить квадратний тричлен.

1.а)

2x 3

dx ;

б)

x 1

dx .

x

2

1

x

2 4x 6

4x

2.а)

x 2

dx ;

б)

2 x

dx .

x

2

3

2x x2

x 2

3.а)

2 3x

dx ;

б)

4x 8

dx .

x

2

2x

2

x

2 6x

2

4.а)

1 x

dx ;

б)

1 x

dx .

2

x

2 3x

2

1 x x

5.а)

4 x

dx

;

б)

4x 3

dx .

x

2

6x

10

5

6x x2

6.а)

5 2x

dx ;

б)

x 3 dx

.

x

2

4x

5

3 2x x2

7.а)

2x 1

dx ;

б)

2x 5

dx .

x

2

x 1

9x2 6x 2

15

8.а)

x 7

dx ;

4

x x

2

9.а)

4x 9

dx ;

3

2

2x x

10.а)

x 5

dx

;

x

2

5x

7

11.а)

2 x

dx ;

2

2x x

2

12.а)

x 3

dx

;

x

2

3x

6

13.а)

2x 4

dx ;

x

2

4x

14

14.а)

4x 5

dx ;

x

2

x 1

15.а)

3 x

dx ;

3

6x x

2

16.а)

1 x

dx ;

2

2x x

2

17.а)

x 2

dx ;

2

x x

2

18.а)

3 4x

dx

;

2

3x x

2

19.а)

1 x

dx ;

4

x x

2

20.а)

x 3

dx ;

2

2x x

2

б)

3 2x

dx .

1

2x x2

б)

7 x

dx .

1 x x2

б)

3 x

dx .

2 x x2

б)

1 3x

dx .

x2 x 2

б)

5 x

dx .

x2 x 1

б)

x 6

dx .

x

2 5x

4

б)

x 1

dx .

2

2x x2

б)

x 3

dx .

5

x x2

б)

x 2

dx .

2

x x2

б)

2 x

dx .

5

x x2

б)

x 4

dx .

21 6x x2

б)

3x 8

dx .

2 x x2

б)

1 x

dx .

15 4x x2

16

21.а)		1 2x		dx ;	б)		x 2	dx .
	2	x x	2			2	4x x2

6. Обчислити інтеграл за допомогою підстановки Чебишова.

1)						dx						.
				x 1 3							2
								x
2)						dx					.
				x 3		1 x5
3)						dx					.
				x11		1 x4
4)					xdx				.
				1
					3 x2
5)				x	5dx			.
				1	x2
6)						dx					.
				x3 5 1				1
								x

3

7) x 1 1 x 13 dx .

8) 3 1 4 x dx . x

9)3 1x2x3 dx .

10)x19 1 x10 dx .

	11)			dx					.
			3 1 x3
	12)			dx					.
			4 1 x4
	13)		5	1			x			4					dx .
				x 10 x9
	14)			dx							.
			x	1 x3
	15)	x3 4 1 x2 dx .
	16)			x3dx						.
				1 2x2
	17)	3		x	5x3						x 3dx .
	18)				dx									.
			x	4	2 x2
	19)				dx									.
			x	3	x2					1
	20)			dx								.
							3
			4 x2						2
				1 x			1		3
	21)											dx .
					x

17

7. Обчислити інтеграл від тригонометричної функції.

1.а)

dx

;

5

4sin x 3cos x

2.а)

sin x

dx ;

1

sin x

3.а)

dx

;

sin x 2cos x 1

4.а)

dx

;

2 sin x 3cos x

5.а)

dx

;

2sin x

cos x 1

6.а)

dx

;

3sin x cos x 2

7.а)

dx

;

3cos x 2sin x

1

8.а)

dx

;

4sin x

cos x 5

9.а)

dx

;

sin x 5cos x

10.а)

dx

;

cos x

2sin x

11.а)

dx

;

3sin x 4cos x

2

12.а)

dx

;

2sin x cos x

5

13.а)

dx

;

sin x

2cos x

3

б)

sin x

dx .

sin x 3cos x

б)

dx

.

sin

5

x cos x

б)

dx

.

sin

4

x cos

2

x

б)

cos2 x

dx .

sin

3

x

б)

sin 4 x

dx .

cos

3

x

б)

sin4 x cos5 xdx .

б)

sin3 x

dx .

cos

4

x

б)

dx

.

sin

3

x cos

5

x

б)

sin 2 xdx

.

1 sin

2

x

б) tg5 xdx .

	б) ctg6 xdx .
	б)		sin4	xdx		.
			cos	6	x
	б)				dx		.
			2 cos x sin x

sin 2xdx

	14.а)			dx		;
			cos x sin x 2
	15.а)			dx						;
			3cos x 2sin x					1
	16.а)			dx				;
		3		cos x 2sin x
	17.а)			dx						;
			3sin x 2cos x					1
	18.а)			dx						;
			5cos x 3sin x					2
	19.а)			dx				;
		1		3sin x cos x
	20.а)			dx						;
			2cos x 3sin x					5
	21.а)			dx						;
		3		4cos x 3sin x

б) sin3 xdx .

	б)		cos3		xdx		.
			sin x
	б)		sin2 x			dx .
			cos	6	x

б) sin4 x cos4 x .

б)

dx

.

4sin

2

x

5cos

2

x

б)

dx

.

2

2sin x cos x

б)

dx

.

sin2

2

x 2cos2 x

б)

dx

.

sin

2

x cos

2

x

8. Обчислити інтеграл від трансцендентної функції.

1)				dx						.
							2
			1 ex
2)			e2x dx
		1		e	x .
3)				1 ex 2								dx .
						x	4				2
			1 e
				dx
4)								.
				ex			1

5)			e		2x dx					.
		4		ex				1
6)		e		x				e x
					1						2		dx .
								x
7)		e2x 2ex											dx .
				e		2x	1
8)							dx							.
		x				3	ln2
													x

19

9)cosxln x dx .

10)e2x2 ln x dx .

11)			e2x		dx .
	1		e	x

12)ln x2 4 dx .

13)e2x 1 e2x dx .

14)4x 1 4 5x dx .

x

15)e 3x 2 9x dx .

16)ln2 xdxx .

17)x2 2x 3 ln xdx .

			x		e x
18)		e	1					dx .
						2
					cos
							x
19)		1 ln x 1 dx .
			x 1

20)2x 1 dx .

x3

21)x 1 x2 arccosxdx .2 x

9. Обчислити визначені інтеграли.

1.а) 2 dx ;

1 x2

2.а) sin 2xdx ;

0

3.а)	1	1 e x dx ;
	0
			dx
4.а) 4					;
			2
	0 cos		x

б)

б)

б)

б)

	x dx .
9
4	x 1

1 xdx .0 1 x

8	xdx
3		.
	1 x

1 xdx .0 1 x

	dx					xdx
2					5
5.а)			;	б)			.
	4 x	2				1 3x
0					0

20