Шпоры тервер

1. Случайные события.

Случайные события -- события, которые при одних и тех же условиях могут произойти,а могут и непроизойти. Испытание – это создание и осуществление этих неопределенных условий. а)Есть и такие события, которые в данных условиях произойти не могут. Их называют невозможными событиями. Если же событие при данных условиях обязательно произойдет, то его называют достоверным.. в)зависимыми или независимыми;(Если появление одного события влечет за собой появление другого, то говорят, что второе событие зависит от первого.)

в) равновероятными или неравновероятными;(Например, в случае бросания игральной кости события выпадения каждой цифры равновероятны)

2.Класс-кое определение вероятности. Св-ва вер-ти.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой

Р (A) = m / n,

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих A; n - число всех возможных элементарных исходов испытания.

С в -в о 1. Вероятность достоверного события равна единице.Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно,Р (A) = m / n = n / n = 1.

С в -в о 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,Р (А) = m / n = 0 / n = 0

.С в -в о 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно, 0 < Р (А) < 1

3. Алгебра событий.

Формулы:

1)А+В=В+А – перестановочный закон сложения.

2) АВ=ВА – перестановочный закон умножения

3)(А+В)+С=А+(В+С) – сочет-й закон

4)(АВ)С+А(ВС) - сочет закон умнож

5)А(В+С)=АВ+АС – распред-й закон

Однако у событий есть свои св-ва отличных от св-в чисел. У событий справедлив еще один закон: в распределительном законе поменяем «+» и «*» местами – получится:

А+ВС=(А+В)(А+С)

Убедиться в верности равенства помогают диаграммы Эйлера-Венна.

а) А(В+С)=АВ+АС

б) А+ВС=(А+В)(А+С)

Св-ва, связан с достов-ми и невозможн событиями

1)А0=0

2)А+0=А

3)АЕ=Е

4)А+Е=Е

С-ва, касаемые противоположных событий.

1)А+ Ă=Е

2)А* Ă=0

Законы де Моргана

1) А+В=АВ

2)АВ=А+В

4. Основные формулы комбинаторики.

Комбинаторика – раздел математики, изуч-ий вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из разных элементов.

- Размещениями из n данных элементов по m элементов (m≤n) назыв-ся комбинация, составленные из данных n элементов по m элементов, отличающиеся либо самими элементами либо порядком элементов.

Для размещения важно в каком порядке состоят элементы, т.е аb и ba разные варианты.

Число различных размещений из n элем. по m определ. По формуле: A^m_n = n (n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1).

- Перестановками из n различных элементов называется размещение из этих n элементов по n

Перестановки – частные случаи размещения при m=n

Т.о. перестановки вычесляются по фор-ле:

Рn= n(n-1)*…*3*2*1=n!

Сочетаниями из n разл-х элементов по m называется комбинация, составленные из этих n элементов по m, отличающиеся хотябы 1м элементом.

С ^m_n = n! / (m! (n - m)!)

5. Сумма событий. Вероятность суммы несовместимых событий.

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответ-ственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Теорема Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

События А и В называются несовместимыми если они не могут наблюдаться в результате 1 испытания, т.е у них нет общих элементарных исходов, т.е АВ=0.

Следствие 1 Р(А+В)=Р(А)+Р(В), если А и В несовместные события. Следует из т-мы и из того, что Р(0)=0 (Теорема:

Вероятность суммы двух несовместных событий АиВ равна сумме верояностей этих событий.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В), А,В – несовместимые.

Следствие1: Данная теорема справедлива для любого конечного числа попарно несовместимых событий.

Р(А+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D), А,B,C,D- несов.

Следствие 2 Сумма вероятностей противоположных событий А и Ă равна 1.)

Следствие 2 Если событие А1, А2,…., Аn попарно несовместны, то Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+..+Р(Аn)

Два события наз-ся несовместными, если появление одного из них исключает появление другово.

6. Условная вероятность. Вероятность произведения зависимых событий.

Два события наз-ся зависимыми если вероятность появления одного из них зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае событие А иB независимые.

Пусть А и B – зависимые события.

Условной вероятностью РА(B) события B наз-ся вероятность события В найденная в предположении, что событие А уже наступило.

Если события А и В независимы то РА(B)=Р(В)

Теорема:

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого в предположении что 1е событие уже наступило.

Р(АВ)=Р(А)* РА(B), А,В – зависимы. (*)

Замечание:

Применив формулу (*) к событию ВА получим:

Р(ВА)=Р(В)*РВ(А) (**)

т.к АВ=ВА, то сравнивая формулы (*) и (**) получаем:

Р(А)* РА(B)= Р(В)*РВ(А)

7. Произведение событий. Вероятность произведения независимых событий.

Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.

Теорема:

Вероятность произведения 2х независимых событий АиВ равна произведению вероятностей этих событий.

Р(АВ)=Р(А)*Р(В), А,В – независ

Замечание: В случае независимых событий это формула распространяется на любое конечное число попарно независимых событий

Р(АВСД)=Р(А)*Р(В)*Р(С)*Р(Д)

8. Теорема сложения вероятностей совместимых событий.

Теорема:

Вероятность суммы 2х совместных событий А иВ равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) А,В – совмес

Замечание:

В случае несовместных событий, т.е когда появление одного исключает появление другого, произведение АВ=0, т.к при этом появлении и А и В невозможно. Тогда формула приобретает вид:

Р(А+В)=Р(А)=Р(В) А,В – несовмес

9. Формула полной вероятности.

ФПВ яв-ся следствием совместного применения теорем сложения и умножения вероятности. При этом предполагается, что учавствующие в задаче события А1, А2,…,Аn образует полную группу, т.е описывают абсолютно все варианты событий, к-е могут произойти в данном испытании. Например испытание бросание играл. кубика. Событие – выпадение 1,2,3,4,5,6 образует полную группу.

Вероятность события А, к-е может наступить, лишь при условии появления одного из n-попарно несовмест событий В1,В2,В3..Вn образующие полную группу, равна сумме произведения вероятностей каждого из этих событий на соответствующицю условию события А.

Р(А) = Р(В1)*РВ1(А)+Р(В2)*РВ2(А)+…+Р(Вn)*РВn(А)

10.Формула Байеса.

Следствием формулы полной вероятности яв-ся формулы Бейсана или теорема гипотез. Она позволяет переоценить Р событий: В1,В2,В3,….Вn, принятых до испытания и называемых априорными, по результатам уже проведенного испытания, т е найти условную вероятность, где РА(Вi),где i=1,n, которое называют апостериорными.

Теорема: Пусть события В1,В2,В3,..Вn образуют полную группу событий. Тогда условная вероятность события Вi, i=1,n, при условии, это событие А уже произошло, задается формулой:

P_A(B_i)= P(Bi)* P_Bi(A)/ P(B1)*P_B1(A)+…..+P(Bn)*P_Bn(A)

В зависимости формулы Байса стоит формула полной вероятности. Формула Байеса выводится из формулы произведения 2х событий Вi и А:

P(Bi*A)=P(A*Bi)=P(A)*P_A(Bi)->

P_A(Bi)= P(Bi*A)/P(A)=P(Bi)*P_Bi(A)/P(A),

Если теперь Р(А) представить как формула полной вероятности, то получим формулу Байеса.

11. Независимые испытания. Формула Бернулли.

Несколько испытаний называются независимыми, если их исход представляются собой независимые события. Т.е. если проводится несколько испытаний, последовательность испытаний, причем вероятность наступления некоторого события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания наз-ся независимыми.

Последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых может произойти некоторое событие А ( называют успехом) с вероятностью Р (А)=р или противоположное ему событие а( называется неудача) с вероятностью Р(а)= q=1-p, называется схемой Бернулли.

Теорема:

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления событий А равна р, а вероятность его не появление равна q событие a=1-p, то вероятность того, что событие А произойдет m раз, определится по формуле:

P_n(m)=C^m_n * p^m*q^n-m m=1,2,….n

12. Случайные величины. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

Случайной величиной наз=ся переменная величина, которая зависит от исхода испытаний случайно принимает одно значение из множества возможных.

Случайная величина, которая принимает значение, которое можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности наз-ся дискретной.

Случайная величина принимающая значение из некоторого числового промежутка наз-ся непрерывной.

Пусть дана случ величина Х. Она жет принимать значения х1,х2,х3,х4….хn с вероятностью р1,р2,р3, …рn. Перечень всех возможных значений случайной величины и их вероятностей наз-ся Законом распределения случайной величины. Обычно задается с помощью таблица.

Пусть случайная велична Х задана законом распределения

х	Х1	Х2	Х3	Хn
р	Р1	Р2	Р3	Pn

Мат ожиданием дискретной случайной величины х наз-ся сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятность .

М(х)=х1*р1+х2*р2+….+хn*pn

Мат ожидания это числовая характеристика случайной величины обозначающее ее среднее значение.

13. Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.

1.Мо постоянной случайной величины равно самой этой величине М(С)=С с-const. Постоянную величину С можно рассматривать как дискретную случайную величину принимающую только одно значение С с вероятностью равной 1, тогда М(С)=С*1=С

2.Постоянный множитель можно выносить за знаком мат ожидания М(С*Х)=С*М(Х), с-const

3.МО суммы случайных величин равно сумме их мат ожидания М(Х+У)=М(Х)+М(У)

Определение: Случайные величины Х и У наз-ся независимыми, если закон распределения каждый из них не зависят от того какое возможное значение приняла другая величина.

4.МО произведения независимых случайных величин равно произведению их мат ожиданию. М(Х*У)= М(Х)*М(У) Х,У- независимы

5.МО разности равно разности МО М(Х-У)=М(Х)-М(У)

14. Отклонение случайной величины

МО случайных величины не дает полной характеристики распределения случайной величины.

Отклонением случайных величин Х от её МО называется величина Х- М(Х). При построении закона распределения отклонение случайной величины вероятности каждого значения отклонения остаются теми же. Т о закон распределения отклонения:

х Х1-М(Х) Х2-М(Х) Х3-М(Х) Хn-М(Х)

р Р1 Р2 Р3 Pn

при этом МО отклонения: М(Х-М(Х))= М(Х)-М/М(Х)= М(Х)-М(Х)=0

Теорема: МО отклонение равно 0

М(Х-М(Х))=0 из теоремы следует, что с помощью отклонения невозможно определить степень разброса возможны от её мат ожидания т.е. степень рассеяния. Отсюда возникает необходимость введения числовой характеристики обозначающие такую степень рассеяние.

15. Дисперсия дискретной случайной величины.

Дисперсией Д(х) дискретной случайной величины Х наз-ся мат ожидания квадрата отклонения случайной величины от её МО: Д(Х)= М[(Х-М(Х))²]

16. Свойства дисперсии дискретной случайной величины. Среднее квадратическое отклонение.

1.Дисперсия постоянной сβ равно 0: D(C)= 0

2.Другая формула для вычисления дисперсии:

Д(С)=М(х)²-М²(Х)

Из этого свойства доказательство свойства 1.

Д(С)=М(С²)-М²(С)=С²-М(С)*М(С)=С²-С*С=0

3.Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии в квадрате Д(С*Х)=С²*Д(Х) можно Д(С*Х)= М((СХ)²) - М²(С*Х)= М(СХ-СХ)-М(СХ)*М(СХ)=С*С*М(Х²)-С²М(Х)*М(Х)=С²(М(Х²))-М²(Х))=С²*Д(Х)

4.Дисперсия суммы равна сумме дисперсии Д(Х+У)=Д(Х)+Д(У)

5.Дисперсия разности равна суммой дисперсии Д(Х-У)=Д(Х)+Д(У)

Среднее квадратичное отклонение

СКО дискретной сβ называется корень квадрата из её дисперсии.

Ведение СКО объясняется тем, то дисперсия измеряется в квадрати-х единицах отношению размеренности самой сβизмеряется в метрах, то дисперсия в мерах квадратных. В тех случаях, когда нужно определить степень рассеяния сβ в той же размерности, что и сама величина, используют СКО.

17. Непрерывные случайные величины. Функция распределения случайной величины, ее свойства (свойства 1-3).

Для непрерывной случайной величины в отличии дискретной нельзя построить таблицу распределения. Пусть Х непрерывная случайная величина с возможными значениям из некоторого интервала, х-некоторо действительное число.

Под выражением Х<х понимается событие вероятность этого события Р(Х<х) есть некоторая функция от переменной х: F(x)=F(X < x)

Интегральной функцией распределение непрерывной случайной величины Х наз-ся функцией F(x) равная вероятность того, что х приняло значение <x

F(x)=F(X < x)

Аналогичным образом определяется функция распределения и для дискретной случайной величины.

Свойство функции распределения

1.0<=F(x)<=1 из того что F(x) – это вероятность

2.F(x) – не убывающая функция, т.е. если х1<х2, то F(x1)<F(x2)

3.Вероятность попадания случайной величины Х в полуинтрвале [a,b) равна разности между значениями функции распределения в т a и в.

18. Функция распределения случайной величины, ее свойства (свойства 4-6).

4.Р(а<=x<=b)= F(a)-F(b)

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет какое-либо заданное значение равно 0 Р(Х=Х1)=0

5.Вероятность попадания непрерывности случайной величины в интервале, полуинтервале, сегменте с одними и теме же концами одинаковы Р(а<=x<=b)=Р(а<x<=b)=Р(а<=x<b)=Р(а<x<b)

6.Если возможные значения непрерывной случайной величины Х принадлежит (а,в) то F(x)=0 при х<=a

F(x)=1 при х>=и

Следствие если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей числовой основе, то справедливы следующие соотношения

(Формула)

19. Непрерывные случайные величины. Дифференциальная функция распределения (плотность вероятности).

Диф фун-ция распределения непрерывной случайной величины Х или её вероятности наз-ся функции f(x) равная производной интегральной функции распределения f(x)= F’(x)

Теорема. Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в интеграле [a,b] равна определ. Интегралу от дифф. Функции распределения величины Х взятому от а до и b.

P(a<=x<=b) =

Т.о. геометрические вероятности P(a<=x<=b) представляет собой площадью криволененой трапеци ограниченной графиком плотности вероятности f(x) и отрезками прямых y=0, x=a, x=b.

Елси f(x) – четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат то

По основ. Формуле для нахождения диф функции распределения и

заменяя на

связь между интервалами функциями распределения F(x) и плотностью вероятности f(x). Это формула позволяет F(x) по заданной плотности вер-ти f(x). Из этой формулы и того же следствия следует.

20. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины.

МО М(Х) непрерывной сβ х с плотностью вероятности f(x ) наз-ся величина несобственного интеграла ( если он сходится)

Дисперсия Д(х) непрерывной сβ х Мо которого М(х)=а, а плотностью вероятности f(x) наз-ся величина несобственного интеграла.

МО и дисперсия непрерывной случайной величины имеет те же свойства, что и МО и дисперсия дискретной сβ.

Среднее квадратичное отклонение непрерывной сβ δ(x) опеределяется аналогично как и для дискретной сβ: