- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 1
- •2. Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных рядов.
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 2
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 2
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
- •1. Понятие степенного ряда.
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 5
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 5
- •2. Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье.
- •5. Замкнутые и полные ортонормированные системы.
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 6
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 6
Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 2
Признаки равномерной сходимости
Задачи и упражнения для самостоятельной работы
3.Исследуйте ряды на равномерную сходимость.
3.1. .
3.2. .
3.3. .
3.4. .
4.Исследуйте сходимость интеграла:
4.1. .
4.2. .
4.3. .
4.4. .
4.5. .
4.6. .
4.7. .
Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов
Основные понятия
Равномерно сходящиеся ряды обладают рядом свойств, которые и делают такие ряды очень важными для приложений. Дело в том, что при определенных условиях функциональные ряды можно дифференцировать почленно, интегрировать, менять местами знаки предела и суммы и т.п. Это дает возможность успешно использовать разложение в ряд функций при решении алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений.
Теорема 1. Пусть функциональная последовательность {fn(x)} равномерно сходится к f(x) на промежутке X и при каждом n существует конечный предел .
Тогда последовательность {An} сходится и
Теорема 2. Если функциональный ряд сходится равномерно на промежутке X и
существуют конечные пределы , где a X, то ряд сходится, и
верно равенство
.
Теорема 3. Пусть функциональная последовательность {fn(x)} непрерывна на промежутке X и равномерно сходится к f(x) на этом промежутке. Тогда f(x) непрерывна на промежутке X.
Теорема 4. Если все функции uk(x) непрерывны на промежутке X и ряд сходится на этом промежутке, то сумма ряда S(x) является непрерывной
функцией на промежутке X.
Теорема 5. Если последовательность непрерывных функций fn(x) сходится
равномерно на сегменте [a, b] к функции f(x), то последовательность сходится
равномерно на сегменте [a, b] к интегралу .
Теорема 6. Если все функции uk(x) непрерывны на сегменте [a, b] и , то x, x0 [a, b]
,
то есть при указанных условиях функциональный ряд можно интегрировать почленно.
Теорема 7. Пусть функции fn(x) имеют непрерывные производные на сегменте [a, b]. Пусть {fn(x)} → fn(x) хотя бы в одной точке сегмента [a, b], а последовательность производных сходится равномерно на [a, b]. Тогда последовательность fn(x) сходится равномерно на сегменте к функции f(x), дифференцируемой на сегменте [a, b] и предельная функция f(x) имеет производную . Другими словами,
последовательность можно дифференцировать почленно.
Теорема 8. Если все функции uk(x) имеют производную на сегменте [a, b] и если ряд
из производных сходится равномерно на сегменте к функции F(x), а сам ряд
сходится хотя бы в одной точке сегмента, то ряд сходится равномерно
на [a, b] к функции S(x), S'(x) = F(x). То есть ряд при этих условиях можно дифференцировать почленно.