- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 1
- •2. Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных рядов.
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 2
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 2
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 3
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
- •1. Понятие степенного ряда.
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 4
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 5
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 5
- •2. Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье.
- •5. Замкнутые и полные ортонормированные системы.
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 6
- •Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 6
5. Замкнутые и полные ортонормированные системы.
Определение 7. Ортонормированная система {n} в бесконечномерном евклидовом пространстве называется замкнутой, если любой элемент этого пространства можно приблизить с произвольной точностью по норме данного пространства с помощью конечной линейной комбинации элементов k.
Иными словами, если .
Теорема 6. Необходимое и достаточное условие замкнутости ортонормированной системы. Для того чтобы ортонормированная система {n} была замкнута, необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента
f выполнялось равенство
.
1. Необходимость.
Воспользуемся тождеством Бесселя.
Если система {n} − замкнутая, то > 0 N такое, что левая часть тождества будет меньше чем при n ≥ N, поэтому
.
2. Достаточность.
Если , то > 0 n такое, что правая часть тождества будет меньше, чем ,
следовательно, и левая часть тождества будет меньше чем . Это означает, что система n будет замкнутой.
Глава XIX. Функциональные последовательности и ряды. § 6
Ряды Фурье
Примеры решения задач
1.Запишите ряд Фурье по основной тригонометрической системе функций для функции
.
Решение. Коэффициенты Фурье равны
поэтому многочлены Фурье имеет вид
,
Ряд Фурье
,
сходится равномерно на любом промежутке x [1; 2− 2], 0 < 1 < 2− 2 < 2, в чем легко убедиться с помощью признака Абеля-Дирихле, поэтому его сумма на указанном множестве равна f(x).
На любом промежутке x (; + 3), 3 > 0, равномерная сходимость отсутствует. В этом легко убедиться с помощью критерия Коши. Отсутствие равномерной сходимости на промежутке вида x (; + 3) вытекает также из теоремы о непрерывности равномерного предела ряда непрерывных функций.
Сумма ряда в точках разрыва f(x) равна , в чем легко убедится
а) подстановкой этого значения переменной,
б) с помощью теоремы о сумме ряда Фурье в точке разрыва кусочно–гладкой функции.
2.Запишите ряд Фурье по основной тригонометрической системе функций для функции f(x) = x, x (−; ), f(x + 2) = f(x), f (+ 2n) = 0.
Решение. Коэффициенты Фурье равны
поэтому ряд Фурье имеет вид
.
Ряд сходится равномерно на любом промежутке x [−+ 1; − 2], в чем легко убедиться с помощью признака Абеля-Дирихле, поэтому его сумма на указанном множестве равна f(x).
На любом промежутке x (− 3; + 3), 3 > 0, равномерная сходимость отсутствует. В этом легко убедиться с помощью критерия Коши. Отсутствие равномерной сходимости на промежутке вида x (− 3; + 3) вытекает также из теоремы о непрерывности равномерного предела ряда непрерывных функций.
Сумма ряда в точках разрыва f(x) равна 0, в чем легко убедится а) подстановкой этого значения переменной, б) с помощью теоремы о сумме ряда Фурье в точке разрыва кусочно–гладкой функции.