Задачи для самостоятельного решения

Найти область определения функции .

; ; ; ; ;

; ; ; ; ; .

Задана функция . Найти:

1) ; 2) ; 3) .

Найти ,идля функции.

; ;

; .

Найти ,,для функции:

1) ;

2) ; 3).

Найти ,,,для функции:

1);2).

Занятие 14. Производные сложной и неявно заданной функции Производные сложных функций двух переменных

1⁰. Пусть,,– дифференцируемые функции. Тогда частные производные сложной функциивычисляются так:

(1)

При этом в правые части формул (1) в выражения для z’_{x ,} z’_yследует подставитьx=x(u,v), y=y(u,v). В результате z’_{x ,} z’_y будут зависетьтолько от u и v.

1. Пусть ,,, т.е.

.

Найдем . Для этого сначала найдем следующие шесть частных производных:

Тогда, используя формулу (1) и выражая ичерези, получим:

;

.

2⁰. Пусть,,– дифференцируемые функции. Тогда производная сложной функцииz(u)=z(x(u),y(u))вычисляется по формуле:

(2)

При этом в правую часть формулы (2) в полученные выражения для z’_x,z’_yследует подставить x=x(u), y=y(v). В результатеdz/duбудет зависетьтолько от u .

2. Пусть ,,, т.е.

.

Найдем . Имеем:

,,,.

Используя формулу (2) и выражая ичерези, получим:

3⁰. Пусть,– дифференцируемые функции. Тогда производная сложной функциивычисляется по формуле:

(3)

При этом в правую часть формулы (3) в полученные выражения для z’_x,z’_yследует подставить y=y(x). В результатеz/dxбудет зависетьтолько от x .

3. Пусть ,, т.е..

Найдем . Имеем:

,,.

Используя формулу (3) и выражая через, получим:

.

Замечания.

1) Формула (2) является частным случаем формулы (1).

2) Формула (3) является частным случаем формулы (2).

3) Формула (3) называется формулой полной производной.

4) Производные сложных функций в случаях 1⁰-3⁰могут быть найдены непосредственно, без использования формул (1)-(3). Однако получаемые при этом выражения могут быть слишком громоздки.

Производная неявно заданной функции

Определение. Функция называется неявно заданной, если она задана с помощью уравнения, не разрешенного относительно «».

ТЕОРЕМА.

Пусть функция задана неявно при помощи уравнения. Предположим, что:

1) , т.е.;

2) Существуют и.

Тогда:

.

Замечание.

Рассмотрим функцию двух переменных , заданную неявно уравнением:

.

Тогда при определенных условиях в некоторой точке :

,.

4. Рассмотрим функцию , заданную неявно уравнением:.

Здесь . Найдемв некоторой точке. Вычислим,:

,.

Тогда:

.

5. Рассмотрим функцию , заданную неявно уравнением:.

Здесь . Найдемив некоторой точке. Вычислим,,.

,,.

Поэтому:

,.

Задачи для самостоятельного решения

1. ,,. Найти;

2. ,,. Найти;

3. ,,. Найти;

4. ,. Найти;

5. ,. Найти;

6. ,. Найти;

7. ,,. Найти,;

8. ,,. Найти,;

9. ,,. Найти;

10. ,,. Найти;

11. ,,. Найти;

12. ,. Найти;

13. ,,. Найти,;

14. ,,. Найти,;

15. ,,. Найти,;

16. ,,. Найти,.

В задачах 17) – 22) найти производную неявно заданной функции.

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. .

В задачах 23) – 25) найти ,неявно заданной функции.

23. ;

24. ;

25. .