Элементы теории поля

Определения.

1. Скалярное поле в некоторой областипространства (плоскости) – это функция, определенная в этой области.

2. Градиентом скалярного поля в точкеназывается вектор

.

3. Пусть в пространстве задано скалярное поле и вектор.

Производной скалярного поля по направлению векторав точке называется число

,

где ,,– направляющие косинусы вектора, т.е.,,.

Замечания.

1. Величина характеризует скорость изменения поля в точкев направлении. Она равна скалярному произведению векторови– орта вектора.

2. Вектор указывает направление максимального возрастания поляв точке. Величинаравна скорости возрастанияв точке.

3. Определения идля поля , заданного на плоскости, аналогичны приведенным выше определениям 1) и 2).

5. Найти и , если

, ,.

Имеем:

;

;

.

Поэтому

.

Найдем орт вектора:

.

Найдем как скалярное произведение векторови:

.

Задачи для самостоятельного решения

Найти экстремумы функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. .

При каких функция

10. 

имеет максимум (минимум)?

Найти наибольшее и наименьшее значение функции . в заданной области:

11. ;– треугольник, ограниченный прямыми,,.

12. ;– прямоугольник с вершинами,,,.

13. ;– круг с центром в точкерадиуса.

Найти и для заданного поля, точкии вектора:

14. ,,.

15. ,,,.

16. ,,.

Занятие 16. Контрольная работа №3 по теме «Дифференциальное исчисление функций двух переменных». Вариант-образец.

1. Найти для функции.

Решение.

Найдем и:

;

.

Поэтому

2. Найти для функции, заданной неявно уравнением.

Решение.

Имеем: .

Найдем и:

;

.

Поэтому:

.

3. , а. Найтии, используя формулу для производной сложной функции.

Решение.

Имеем:

,,.

Так как

,

то:

4. Пусть ,,. Найти,, используя формулы для частных производных сложной функции:

Решение.

Найдем 6 частных производных:

Используем формулы:

Получаем:

5. Исследовать на экстремум функцию

.

Решение.

1. Найдем все частные производные функции до второго порядка включительно:

,,,,.

2. Найдем стационарные точки :



 – стационарная точка

3. Составим :

.

Следовательно, в точке есть экстремум.

4. Определим знак :.

Следовательно, – точка минимума, и

.

Ответ: – точка минимума,.

Занятие 17. Метод наименьших квадратов для обработки результатов эксперимента

В естествознании, технике и экономике часто приходится иметь дело с эмпирическими формулами, т.е. формулами, составленными на основе обработки статистических данных или результатов опытов. Одним из широко распространенных приемов построения таких формул являетсяметод наименьших квадратов. Изложим кратко идею этого метода.

Пусть требуется установить зависимость между двумя величинами и, например, между стоимостью потребляемого сырья и стоимостью выпущенной продукции.

Произведем обследование видов продукции и представим результаты исследования в виде таблицы:

Изобразим на координатной плоскости точкис координатами. Предположим, что эти точки располагаются на плоскости около некоторой прямой линии (см. рис.5). Это означает, что между переменными величинамиисуществует приближенная линейная зависимость вида

при некоторых и.

Для нахождения ,применяютметод наименьших квадратов, позволяющий получить оптимальную (в некотором смысле) прямую.

Обозначим y_i*=ax_i+b (i=1,…,n)– значения переменной, получаемые при помощи уравнения. Обозначим

.

Величина показывает отклонение расчетного значения переменной(т.е.) от экспериментального (т.е. от).

Метод наименьших квадратов подбораизаключается в том, что эти параметры выбираются из условия: сумма – минимальна.

Запишем выражение для , учитывая формулы для:

Выберем значения итак, чтобы функция двух переменныхu=имела бы в соответствующей точке минимум. Напомним необходимое условие экстремума:

,.

Имеем:

Получаем систему уравнений:



Решив эту систему уравнений, находим и, и затем подставляем их в эмпирическую формулу.

Предположим теперь, что точки на плоскости располагаются вблизи некоторой параболы, т. е. приближенно зависит отследующим образом:

Тогда:

,,,

Здесь – функция трех переменных,,.

Необходимые условия экстремума

,,

в этом случае принимают следующий вид:

Решая полученную систему уравнений относительно ,, , затем построим и само уравнение.

Пример 1. Темпы роста производительности труда по годамв промышленности республики приведены в таблице, данной ниже. Предполагая, что, найтии.

	1	2	3	4	5	6	7	8
	100	156	170	184	194	205	220	229

Составим систему уравнений для определения aи b. Для этого сначала найдем следующие величины:

,,,.

Таким образом, имеем следующую систему уравнений относительно aиb:

,

решая которую, получим:

;.

Итак, уравнение искомой прямой:

.