Семенов. Планирование эксперимента1

20

Введем 100 в поле «Число случайных чисел», т.е. по-

следовательность будет занимать 100 строк. Введем

1 и 100 в поля «Между», «и» - интервал распределе-

ния случайных чисел. В поле «Выходной интервал»

введем ссылку на первую ячейку диапазона, который

должен быть заполнен последовательностью, напри-

мер, А1. Нажмем кнопку «OK». В результате получа-

ем в столбце последовательность случайных чисел,

которые можно использовать для проведения рандо-

мизации.

2. Экспериментально-статистические модели

2.1. Математическое описание

Под математическим описанием процесса понима-

ется система уравнений, связывающих функции от-

клика с влияющими факторами. В простейшем случае это может быть одно уравнение. Часто математиче-

ское описание называют математической моделью.

С помощью математических методов оптимально

21

го планирования эксперимента можно получить ма-

тематическую модель процесса даже при отсутствии

сведений о его механизме. Это в ряде случаев быва-

ет очень полезно.

Ценность математического описания заключается

втом, что оно:

-дает информацию о влиянии факторов;

-позволяет количественно определить значения функций отклика при заданном режиме ведения про-

цесса; - может служить основой для оптимизации.

Математические модели, получаемые с помощью

методов планирования эксперимента, принято назы-

вать экспериментально-статистическими.

2.2. Полный факторный эксперимент

Метод полного факторного эксперимента дает

возможность получить математическое описание ис-

следуемого процесса в некоторой

www.mitht.ru/e-library

22

локальной области факторно-

го пространства, лежащей в

окрестности выбранной точки

с координатами (x01, x02, ..., x0n).

Перенесем начало коорди-

нат факторного пространства

Рис. 3. Введение кодирован- в эту точку (рис.3). С этой це-

ных переменных.

лью введем новые перемен-

ные

Xi=(xi-x0i)/ xi

(i=1,2,...,n)

(2.1)

где xi - масштаб по оси Xi.

Значения x0i и xi можно вычислить по следующим

формулам:

x0i		xmax xmin			;
			i	i
				2
xi			xmax xmin			;
			i	i
				2

Значения ximax и ximin представляют собой границы исследуемой области по данному технологическому

23

параметру.

Иногда величину Xi называют кодированной пере-

менной.

Функцию отклика в окрестности нового начала ко-

ординат разложим в ряд Тейлора

y= 0+ 1X1+ 2X2+…+ nXn+ 12X1X2+…+

+ (n-1)nXn-1Xn+ 11X21+ 22X22+…+ nnX2n+…

(2.2)

где 0=y(0, ..., 0) - значение функции отклика в

начале координат.

Метод полного факторного эксперимента служит для получения математического описания процесса в виде отрезка ряда Тейлора. При этом обычно ограни-

чиваются линейной частью разложения и членами,

содержащими произведения факторов в первой сте-

пени. Таким образом, удается находить уравнение

локального участка поверхности отклика, если его кривизна не слишком велика.

Коэффициенты искомого уравнения определяются

www.mitht.ru/e-library

24

на основе экспериментальных данных и, следова-

тельно, несут на себе отпечаток погрешностей экспе-

римента. Чтобы подчеркнуть это, в уравнении вместо символов , обозначающих

истинные значения коэффициентов, пишут b.

Итак, с помощью полного факторного эксперимен-

та ищут математическое описание процесса в виде уравнения:

y=b0+b1X1+b2X2+...+bnXn+ +b12X1X2+...+

+b(n-1)nXn-1Xn (2.3)

Это уравнение называют уравнением регрессии, а

входящие в него коэффициенты - коэффициентами регрессии.

Для удобства вычислений коэффициентов регрес-

сии все факторы в ходе полного факторного экспери-

мента варьируют на двух уровнях, соответствующих значениям кодированных переменных +1 и -1.

Полным факторным экспериментом называется

система опытов, содержащая все возможные непо-

вторяющиеся комбинации уровней варьирования факторов.

25

3	x2	4

x1

0

1			2

Рис. 4. Опыты полного двухфактор-

ного эксперимента.

В табл.3 приведены условия опытов полного двух-

факторного эксперимента.

Часть таблицы, обведенная пунктиром, называется

матрицей планирования.

Опыты, приведенные в табл.3, соответствуют на

факторной плоскости вершинам квадрата с центром в начале координат (рис.4).

www.mitht.ru/e-library

26

Таблица 3

Полный двухфакторный эксперимент

Номер		Факторы				Функция
опыта						отклика
	X1		X2
1		-1	-1			y1
2		+1	-1			y2
3		-1	+1			y3
4		+1	+1			y4

В табл. 4 приведены условия опытов полного трех-

факторного эксперимента. Эти опыты соответствуют

вфакторном пространстве вершинам куба с центром

вначале координат. В табл.5 приведены условия опытов полного четырехфакторного эксперимента.

Из табл. 3,4 и 5 видны основные принципы по-

строения матриц планирования полного факторного эксперимента:

уровни варьирования первого фактора чередуются от опыта к опыту;

частота смены уровней варьирования каждого по-

следующего фактора вдвое меньше, чем у предыду

27

щего.

Матрица планирования полного факторного экспери-

мента обладает следующими свойствами:

N
Xji	0	(2.4)
j 1
N
X2ji	N	(2.5)
j 1
N
XjlXjm 0	(где l m).	(2.6)
j 1

Здесь N - число опытов полного факторного экспери-

мента;

j - номер опыта;

i,l,m - номера факторов.

Свойство, выраженное уравнением (2.6), называется

ортогональностью. Поэтому говорят, что матрица полного факторного эксперимента ортогональна.

Это свойство позволяет вычислять коэффициенты регрессии по простым формулам независимо друг от

друга (см. ниже, уравнения 2.8-2.10).

Общее количество опытов в матрице планирования

N=2n, (2.7)

www.mitht.ru/e-library

28

Таблица 4

Полный трехфакторный эксперимент

Номер		Факторы			Функция
опыта					Отклика
	X1	X2		X3
1	-1	-1		-1	y1
2	+1	-1		-1	y2
3	-1	+1		-1	y3
4	+1	+1		-1	y4
5	-1	-1		+1	y5
6	+1	-1		+1	y6
7	-1	+1		+1	y7
8	+1	+1		+1	y8

где n – число факторов.

На основании полного факторного эксперимента вы-

числяют коэффициенты регрессии, пользуясь сле-

дующими формулами:

		1	N
b0			yj	(2.8)
		N j 1

29

Таблица 5

Полный четырехфакторный эксперимент

Номер		Факторы			Функция
опыта					отклика
	X1	X2	X3	X4
1	-1	-1	-1	-1	y1
2	+1	-1	-1	-1	y2
3	-1	+1	-1	-1	y3
4	+1	+1	-1	-1	y4
5	-1	-1	+1	-1	y5
6	+1	-1	+1	-1	y6
7	-1	+1	+1	-1	y7
8	+1	+1	+1	-1	y8
9	-1	-1	-1	+1	y9
10	+1	-1	-1	+1	y10
11	-1	+1	-1	+1	y11
12	+1	+1	-1	+1	y12
13	-1	-1	+1	+1	y13
14	+1	-1	+1	+1	y14
15	-1	+1	+1	+1	y15
16	+1	+1	+1	+1	y16

www.mitht.ru/e-library

30

					1	N
			bi			Xjiyj		(2.9)
		1			N j 1
			N
blm			XjlXjmyj				(где l m)	(2.10)
		N j 1

Некоторые из коэффициентов регрессии могут ока-

заться незначимыми. Чтобы установить, значим ко-

эффициент или нет, необходимо пре-жде всего, вы-

числить оценку дисперсии, с которой он определяет-

ся:

s2

s2 y (2.11)

b N

C помощью полного факторного эксперимента все ко-

эффициенты определяются с одинаковой погрешно-

стью.

Коэффициент регрессии значим, если выполнено условие

b sbt (2.12)

где t - значение критерия Стьюдента (см. Приложение

3). Число степеней свободы, связанное с значением t

такое же, как и число степеней свободы для s2y .

31

В противном случае коэффициент регрессии не-

значим, и соответствующий член можно исключить из

уравнения.

Получив уравнение регрессии, следует проверить

его адекватность, т.е. способность достаточно хоро-

шо описывать поверхность отклика. Эту проверку осуществляют с помощью критерия Фишера, который представляет собой следующее отношение:

max(sад2 ,s2y )
Fp min(sад2 ,s2y )	(2.13)

где sад2 - оценка дисперсии адекватности.

В числителе дроби (2.13) находится большая, а в

знаменателе - меньшая из указанных оценок диспер-

сий.

Оценку дисперсии адекватности вычисляют по формуле

		1	N
	sад2		(yэj ypj )2	(2.14)
		N B j 1

где В - число коэффициентов регрессии искомого

уравнения, включая и свободный член;

www.mitht.ru/e-library

32

yэj, ypj - экспериментальное и расчетное зна-чение

функции отклика в j-м опыте;

N - число опытов полного факторного эксперимен-

та.

С оценкой дисперсии адекватности связано число

степеней свободы

fад=N-B (2.15)

Уравнение регрессии считается адекватным, если

выполняется условие

Fp F, (2.16)

где F - значение критерия Фишера (из Приложения 4).

Для пользования Приложением 4 необходимо знать

число степеней свободы, связанных с числителем и знаменателем выражения (2.13).

Рассчитать коэффициенты регрессии, проверить их на значимость и проверить адекватность уравне-

ния регрессии можно при помощи ППП

«STATGRAPHICS Plus» [3]. Для этого, открыв файл

«StatFolio» и записав в него значения факторов и функции отклика, необходимо щелкнуть по кнопке па-

нели инструментов «Multiple regression». При этом мы

попадаем в диалоговое окно. Поочередно при помо

33

щи левой клавиши мыши выделяем колонки и по-

средством клавиши «Dependent Variable» вводим на-

звание колонки, содержащей значения функции от-

клика, а посредством клавиши «Independent

Variables» вводим названия колонок, содержащих

значения факторов. Нажимаем кнопку «OK». При этом на экране появляются результаты анализа мно-

жественной регрессии в виде таблицы, а ниже - ком-

ментарии к этому анализу.

Пример 2.1. Рассмотрим химический процесс, в

котором выход продукта реакции y (%) зависит от температуры реакционной смеси x1 ( C) и концентра-

ции реагента x2 (%). Требуется с помощью полного факторного эксперимента найти математическое опи-

сание этого процесса в окрестности точки факторного

пространства с координатами x01=50 C и x02=25 %.

Решение. Математическое описание рассматри-

ваемого процесса будем искать в виде уравнения регрессии

y=b0+b1X1+b2X2

где кодированные переменные связаны с температу-

рой и концентрацией следующими соотношениями:

www.mitht.ru/e-library

34

X1		x1 x01	,	X2		x2 x02
						x2
		x1

При проведении полного факторного эксперимента

зададимся условиями, приведенными в табл.6.

		Таблица 6
Основные характеристики плана
экспериментов
Характеристика	x1, C	x2, %
Основной уровень	50	25
Интервал варьирования	5	1
Верхний уровень	55	26
Нижний уровень	45	24

Матрица планирования и результаты полного фак-

торного эксперимента представлены в табл. 7.

На основании результатов полного факторного

эксперимента рассчитаем коэффициенты регрессии,

пользуясь формулами (2.8) и (2.9):

35

b0 1(35.5 38.7 32.6 36.2) 35.6 4

1

b ( 35.5 38.7 32.6 36.2) 1.95

1 4

Таблица 7

Полный двухфакторный эксперимент

Номер	X1	X2	x1, C	x2, %	y, %
опыта
1	-1	-1	45	24	35.5
2	+1	-1	55	24	38.7
3	-1	+1	45	26	32.6
4	+1	+1	55	26	36.2

1

b ( 35.3 38.7 32.6 36.2) 1.35

2 4

Можно считать, что оценка дисперсии среднего зна-

чения s2y определена по методике, изложенной в

пункте 1.3 и равна 0.42. Примем также, что с этой

величиной связаны 3 степени свободы.

www.mitht.ru/e-library

36

Ошибку в определении коэффициентов регрессии

вычислим по формуле

sb	s	2y				0.42		0.32
	N					4

Пользуясь Приложением 3, находим, что для до-

верительной вероятности Р=0.95 и 3 степеней свобо-

ды значение критерия Стьюдента t=3.18.

Тогда

Sbt=0.32 3.18=1.03

Для оценки значимости коэффициентов регрессии

рассмотрим следующие соотношения:

b0 35.6 sbt

b1 1.95 sbt

b2 1.35 sbt

Отсюда видно, что все коэффициенты регрессии значимы. Следовательно, искомое уравнение имеет вид:

y=35.6+1.95X1-1.35X2

Для проверки адекватности уравнения регрессии

37

найдем расчетные значения функции отклика:

y1p 35.6 1.95( 1) 1.35( 1) 35.0

yp2 35.6 1.95( 1) 1.35( 1) 38.9

y3p 35.6 1.95( 1) 1.35( 1) 32.3

yp4 35.6 1.95( 1) 1.35( 1) 36.2

По формуле (2.14) вычислим оценку дисперсии адек-

ватности:

	2		1	N	э	p		2		1			2
s	ад			(yj		yj	)					[(35.5 35.0)
										4 3
			N B j 1

(38.7 38.9)2 (32.6 32.3)2 (36.2 36.2)2]

0.38

Сней связано число степеней свободы

f=N-B=4-3=1.

Расчетное значение критерия Фишера находим по

формуле:

F		max(s	ад2 ;s		2y		)		0.42	1.11
p		min(sад2 ;s		2y		)			0.38

www.mitht.ru/e-library

38

Оно не превосходит значения, приведенного в

Приложении 4. Следовательно, уравнение регрессии

адекватно.

2.3.Метод дробных реплик

Сувеличением количества факторов резко воз-

растает количество опытов полного факторного экс-

перимента. Это видно из уравнения (2.7). Объем экспериментальных работ можно уменьшить, вос-

пользовавшись методом дробных реплик.

Рассматриваемый метод заключается в том, что для нахождения математического описания процесса

используется определенная часть полного факторно-

го эксперимента: 1/2, 1/4 и т.д. Эти системы опытов называются дробными репликами (см. табл.8).

Расчет коэффициентов регрессии, проверка зна-

чимости коэффициентов и адекватности математиче-

ского описания в данном случае производятся так же,

как и при полном факторном эксперименте.

Пусть, например, требуется найти коэффициенты уравнения регрессии

39

Таблица 8

Полный трехфакторный эксперимент и его

дробные реплики

Номер		Факторы				Функция			Дробные
опыта						отклика			реплики
	X1		X2		X3
1	-1		-1		-1	y1		1/4
2	+1		-1		-1	y2				1/2
3	-1		+1		-1	y3		1/4
4	+1		+1		-1	y4
5	-1		-1		+1	y5			1/4
6	+1		-1		+1	y6				1/2
7	-1		+1		+1	y7			1/4
8	+1		+1		+1	y8

Если для этой цели воспользоваться полным трех-

факторным экспериментом, то необходимо провести

8 опытов. Однако эту задачу можно решить и c помо-

щью меньшего количества опытов.

y=b0+b1X1+b2X2+b3X3

www.mitht.ru/e-library