Лабораторная работа № 3. Модульная единица № 2.7 Определение коэффициента вязкости жидкости методом падающего шарика Теоретическая часть

Вязкость – это свойство, благодаря которому выравниваются скорости движения различных слоев жидкости (или газа). Это происходит потому, что из слоя жидкости с большей скоростью движения переносится импульс к слою движущемуся с меньшей скоростью.

Известно, что при течении жидкости вдоль трубы скорости разных слоев распределены примерно так, как показано на рисунке 1, где стрелками обозначены векторы скорости движения жидкости.

рис.1

Наибольшая скорость наблюдается в середине сечения трубы; по мере приближения к стенкам скорость уменьшается, а слой, непосредственно прилегающей к стенкам трубы, покоится. При таком течении происходит перенос импульса от центрального слоя, где скорость наибольшая, к слоям, движущимся с меньшей скоростью.

Пусть изменение скорости движения жидкости происходит в направлении оси Х, которая в данном случае перпендикулярна к направлению самой скорости ее движения (рис.2).

рис.2

В направлении, перпендикулярном к оси Х, скорость движения во всех точках одинакова. Это значит, что скорость v является функцией только х. Тогда импульс L, переносимый за 1 с через 1 единицу площади сечения, перпендикулярного к оси Х, определится уравнением

L=-µ dv/dx, (1)

где dv/dx – градиент скорости вдоль оси Х, характеризующий быстроту изменения скорости вдоль этой оси. Знак минус означает, что импульс переносится в направлении уменьшения скорости. Коэффициент µ называется коэффициентом вязкости или коэффициентом внутреннего трения жидкости и зависит от свойств жидкости. Иногда коэффициент трения µ, определенный уравнением (1), называют коэффициентом динамической вязкости, в отличие от коэффициента кинематической вязкости, равного отношению µ/ρ, где ρ – плотность жидкости. Физический смысл коэффициента вязкости, заключается в том, что это импульс который переносится в единицу времени через площадку 1 м² при градиенте скорости, равном 1 м/с на единицу длины 1 м.

За единицу вязкости в системе СИ принимается коэффициент вязкости такого вещества, в котором при градиенте скорости, равном 1с^-1, через площадку 1 м² переносится импульс 1кг×м/с за 1 с. Значит, коэффициент вязкости измеряется в единицах [кг/м × с], [Па × с]. Коэффициент кинематической вязкости измеряется соответственно этому в [м²/с]. При переносе импульса от слоя к слою происходит изменение импульса этих слоев. Это значит, что на каждый из слоев действует сила, равная изменению импульса в единицу времени (второй закон Ньютона). Эта сила есть не что иное, как сила трения между слоями жидкости, движущимися с различными скоростями. Отсюда и название внутреннее трение. Уравнение (1) поэтому можно переписать в виде:

F = -µ dv/dx S. (2)

Коэффициент вязкости численно равен силе, действующей на площадь 1м² при градиенте скорости, равном 1 с^-1.

Зависимость между объемом q протекающей в единицу времени через сечение трубы жидкости и требуемой для этого разностью давлений Δр устанавливается для ламинарного течения по трубам известной формулой Пуазейля:

q = πr⁴/8µ × Δр/l (3)

где l – длина трубы, а r – ее радиус.

Ламинарным называется такое течение жидкости, при котором слои жидкости текут хотя и с разными скоростями, но параллельно друг другу (рис.3).

рис.3

При определенном значении скорости течения, зависящем от свойств жидкости и от радиуса трубы, в жидкости начинают появляться вихри. Для этого вихревого, или турбулентного, течения формула Пуазейля не справедлива (рис.4).

рис.4

Экспериментально установлен критерий различия характера течения – число Рейнольдса

Re = ρvr/µ. (4)

Критическое значение этого числа порядка 1000. При значениях числа Re меньше критического – движение ламинарное, если превышает – турбулентное.

Вязкость проявляется также в том, что при движении твёрдого тела в жидкости последнее испытывает сопротивление со стороны этой жидкости.

В общем случае величина силы сопротивления зависит от многих факторов: от формы движущегося тела, скорости его движения, характера обтекания тела жидкостью, вязкости жидкости и т.д. Однако эта зависимость существенно упрощается в случае движения в жидкости тела правильной формы (например, шарика) со сравнительно малой скоростью в сосуде, размеры которого много больше диаметра падающего шарика, в условиях ламинарности.

Эта зависимость выражается формулой Стокса:

(5)

где μ – коэффициент внутреннего трения жидкости, его динамическая вязкость; D - диаметр шарика, v – скорость его движения.

Метод определения коэффициента трения жидкости, основанный на использовании соотношения (1), называется методом Стокса. Определение вязкости жидкости этим методом по существу сводится к измерению скорости падения маленького шарика в исследуемой жидкости. Падение шарика в вязкой жидкости происходит таким образом, что какова бы ни была начальная скорость падения, через некоторое время скорость шарика приобретает постоянное, вполне определённое значение. Измерив это установившееся значение скорости и зная радиус шарика, его плотность и плотность жидкости, можно, как показано ниже, найти вязкость жидкости.

Для получения расчётной формулы, определяющей в нашей работе коэффициент вязкости жидкости методом падающего шарика (методом Стокса), рассмотрим свободное падение шарика в этой жидкости (в каком-нибудь масле).

Как видно из рисунка, на небольшой шарик, падающий вертикально вниз в сосуде с жидкостью, когда диаметр сосуда значительно больше диаметра шарика (D), будут действовать три силы (рис.5), модули которых запишем в следующем виде:

1. сила тяжести, направленная вертикально вниз

,

где m_ш – масса шарика, а ρ_ш – его плотность;

2. выталкивающая сила Архимеда, направленная вертикально вверх:

,

рис.5

где, mж – масса жидкости в объёме тела, ρж – её плотность; сила сопротивления, оказываемая жидкостью движению шарика, направленная вертикально вверх: F3 = 3πµDv. Первые две силы по величине постоянны, третья – пропорциональна скорости движения шарика. Падение шарика в вязкой среде происходит

так, что какова бы ни была его начальная скорость, спустя некоторое время выталкивающая сила и сила сопротивления уравновешивают силу тяжести, и шарик начинает двигаться равномерно, т.е. без ускорения.

В общем виде уравнение движения шарика в жидкости в соответствии со вторым законом Ньютона можно записать так:

.

Однако, в силу сказанного выше, ускорение dv/dt = 0 . Поэтому

F₁ – F₂ – F₃ = 0,

или

4/3π(D/2)³ρ_шg – 4/3π(D/2)³ρ_жg - 3πµDv = 0.

Откуда

µ= (ρ_ш – ρ_ж)gD²/18v.

Но так как v = l/t

А в опыте ρ_ш · ρ_ж · l – остаются неизменными, а используемые шарики могут отличаться диаметрами, то обозначив

K = g(ρ_ш – ρ_ж) /18l

можно окончательно представить расчётную формулу определения коэффициента динамической вязкости в виде:

.