Лабораторная работа № 1. Модульная единица № 1.2 Определение плотности тела правильной формы. Теоретическая часть:

Плотностью тела называется масса, заключенная в единице объема, поэтому определение плотности ρ сводится к определению массы тела m и его объема. Объем тела V правильной геометрической формы, в данном случае цилиндра, сводится к измерению его диаметра D и высоты Н:

V = πD²H/4; ρ = m/V = 4m/πD²H.

Единица измерения плотности тела в системе СИ – кг/м³.

Знание плотности вещества необходимо для практических целей специалистам самых различных отраслей производства. Из области сельскохозяйственной практики можно привести ряд примеров, из которых видно, что решение различных специальных проблем прямо или косвенно связано с понятием плотности.

Например, птицеводы используют плотность яичной скорлупы в качестве показателя ее прочности, зависящей от процентного содержания кальция. В земледелии по плотности оценивают влажность сена, зерна, семян. Плотность картофеля является показателем содержания крахмала в клубне. Жирность молока, сахаристость соков фруктов и ягод, содержание NaCl в рассолах могут быть определены по измерению плотности.

Древесина, как известно, состоит из клетчатки и воды. Высушенная древесина сохраняется более длительный срок, но степень высушенности должна быть различна в зависимости от целей использования (например, для изготовления мебели, музыкальных инструментов, облицовки, лыжного производства и т.д.). Например, плотность древесины свежесрубленного граба в среднем 988 кг/м³, а в воздушно-сухом состоянии колеблется в пределах 620 – 820 кг/м³. Исследуя древесину одной и той же породы, но различной плотности можно определить влажность. При наличии нескольких образцов разных древесных пород, по значению плотности с использованием справочных данных можно определить породу дерева. Для такого сравнения образцы должны быть предварительно подготовлены, т.е. достаточное время выдержаны при определенной температуре и влажности. Необходимо отметить, что и в этом случае плотность древесины даже в пределах одного дерева будет меняться от центра к наружной стороне и, тем более, она будет различаться у деревьев, выросших на разных почвах и в разных климатических зонах. Так что определение плотности по приведенной в конце работы таблице может носить только ориентировочный характер.

Общая постановка задачи:

В настоящей работе по измеренным линейным размерам и массе деревянного цилиндра определяется его плотность. Приведенные в работе табличные данные позволяют ориентировочно найти древесную породу, из которой изготовлен цилиндр.

Список индивидуальных данных:

1. Деревянный цилиндр неизвестной древесной породы.

2. Штангенциркуль.

3. Микромер.

Пример выполнения работы:

Измерение диаметра и высоты цилиндра.

Так как мы имеем тело правильной геометрической формы (цилиндр), то объем тела может быть определен путем измерения его линейных размеров микромером и штангенциркулем. Следует пять раз измерить высоту цилиндра Н, всякий раз поворачивая тело примерно на 60º, располагая стебли микромера по высоте. Для измерения диаметра D цилиндра удобнее использовать штангенциркуль и также, изменяя положение на 60º, произвести пять измерений. Результаты измерений диаметра и высоты в метрах записывают в таблицу 1.

Таблица 1.

Порядковый номер измерения.	1	2	3	4	5
Измеренная величина.
H (м)
D (м)
	mизм =

Описание штангенциркуля и микрометра.

Штангенциркуль представляет собой линейку с двумя шкалами: основной (неподвижной) шкалой (1) с ценой деления 1 мм и подвижной шкалой (нониусом) (2) с ценой деления 0,1 мм или 0,05 мм. Линейка снабжена двумя ножками, одна из которых подвижная, другая – нет. Измеряемое тело зажимают между ножками штангенциркуля (5) и производят отсчет. На основной шкале левее нуля нониуса отсчитывают целое число миллиметров, а по нониусу подсчитывают десятые и сотые доли миллиметров (с точностью до 0,1 мм или 0,05 мм). Делается это так: определяют между какими делениями основной шкалы расположено нулевое деление шкалы нониуса и находят первое деление нониуса, совпадающее с любым делением основной шкалы.

Например, нуль нониуса расположен между 10 и 11 делениями основной шкалы, а совпадает с делениями основной шкалы третье деление шкалы нониуса, следовательно, размер тела X = 10 мм + 3 × 0,05 мм = 10,15 мм ( при цене деления нониуса 0,05).

Микромер представляет собою прибор для измерения линейных размеров тел с точностью до 0,01 мм. Он имеет вид тисков, в которых измеряемое тело зажимается с помощью винта. Ход винта равен 0,5 мм. На стержне винта укреплены 2 барабана – неподвижный (на нем нанесена основная шкала), а другой – подвижный. На основной шкале деления нанесены в два ряда (верхний и нижний) со сдвигом друг относительно друга на 0,5 мм, поэтому цена деления неподвижной шкалы равна 0,5 мм. При одном полном обороте подвижного барабаны, на шкале которого 50 делений, происходит его перемещение вдоль оси неподвижной шкалы на 0,5 мм, следовательно, цена деления равна 0,01 мм. Если край подвижного барабана расположен в первой половине любого миллиметра основной шкалы, то количество десятых и сотых долей миллиметра берутся непосредственно по барабану, если же во второй – то к показаниям барабана прибавляют 0,5 мм. Неподвижная шкала заканчивается скобой, по концам которой расположены тщательно отшлифованные стебли: подвижный и неподвижный, соединенный с микрометрическим винтом. При измерении какой-либо детали ее помещают между стеблями и вращают трещотку до тех пор, пока стебли станут касаться детали. Момент нажатия фиксируется слабым треском, после таких 3 – 5 щелчков вращение трещотки бесполезно, а подвижного барабана НЕДОПУСТИМО.

Определение плотности, абсолютной и относительной погрешности:

При выполнении эксперимента были проведены измерения массы, диаметра и высоты. Измерение массы проводилось один раз, поэтому абсолютная погрешность измерения в основном определяется приборной (инструментальной) погрешностью аналитических весов Δm = ± 2 × 10^-3 г. Истинное значение массы можно записать в виде m = m_изм ± Δm, относительная погрешность измерений δ_m = Δm / m_изм.

Измерения диаметра и высоты проводилось много раз и, как видно, в результатах наблюдается некоторый случайный разброс.

Напомним, что в случае многократных измерений физической величины наилучшей оценкой истинного значения х является среднее арифметическое найденных значений х_i:

<х> =(x₁ + x₂ + …+ x_n) /n = ∑x_i/n

где n – число измерений.

Для нахождения случайной погрешности измерений следует определить стандартный доверительный интервал S_x:

S_x = ± √ [(x₁ –<x>)² + (x₂ –<x>)²+…+ (x_n –<x>)²/ n(n – 1)]; (n=5)

Существует специальная таблица коэффициентов Стьюдента t, по которым можно определить во сколько раз нужно увеличить стандартный интервал ± S_х, что бы при определенном числе измерений n получить заданную надежность(доверительную вероятность). Результат записывают в виде :

x =<x> ± Δx_сл = x ± tS_x.

Будем считать, что надежность наших измерений должна быть 95%, в этом случае для n = 3, t_S = 4,3; а для n = 5, t_S = 2,8.

Для оценки полной погрешности Δх необходимо знать как случайную погрешность Δх_сл, так и приборную Δх_п:

Δx = √[Δx²_сл + Δx²_п].

Но если Δх_сл >> Δх_п, то полная погрешность измерений будет характеризоваться оценкой случайной погрешности(Δх ≈ Δх_сл) и, наоборот, если Δх_п >> Δх_сл, то случайной составляющей можно пренебречь и Δх ≈ Δх_п.

Относительная погрешность измерений δ = Δх / х.

Порядок обработки результатов следующий:

1. Оценить и записать в таблицу 2 абсолютную и относительную погрешность измерения массы Δm_пр и δ_m.

2. Найти и записать в таблицу 2 средние значения <D> и <Н>.

3. Вычислить стандартные доверительные интервалы

S_D = ± √[(D₁ – <D>)² + (D₂ – <D>)² + …+ (D₅ – <D>)²/ 4×5]

S_H = ± √[(H₁ – <H>)² + (H₂ – <H>)² + …+ (H₅ – <H>)²/ 4×5]

4. Вычислить и записать в таблицу 2 ΔD_сл и ΔН_сл.

5. Сравнить полученные значения случайной погрешности с приборной и оценить относительную погрешность измерения (занести в таблицу 2), записать окончательный результат абсолютной погрешности ΔН, ΔD, Δm.

6. Найдем среднее значение плотности <ρ> = 4m_изм / π<D>2<H> (результат занести в таблицу 2). Затем вспомним, что измерение плотности является косвенным измерением и погрешность такого измерения складывается из погрешностей прямых измерений массы, диаметра и высоты:

δ_ρ ≈ δ_m + 2δ_D + δ_H,

более точная формула:

Δρ/<ρ> = √[(Δm/m)² + (2ΔD/<D>)² + (ΔH/<H>)²].

Подставляя из таблицы 2 найденные значения этих слагаемых, определяем Δρ/<ρ> = δ_ρ, находим абсолютную погрешность Δρ = <ρ> × δ_ρ (оценку абсолютной погрешности округлить до первой значащей цифры) и записываем таблицу 2.

7. Окончательные результаты измерений следует записать в системе СИ и оформить в виде:

ρ = (<ρ> + Δρ)кг/м³

δ_ρ = …%, Р = 95%.

Таблица 2.

Измеряемая величина	Среднее значение	Абсолютная случайная погрешность	Абсолютная приборная погрешность	Относительная погрешность измерения
Н (см)	<Н> =	ΔНсл =	ΔНпр =	δН =
D (см)	<D> =	ΔDсл =	ΔDпр =	δD =
m (г)			Δmпр =	δm =
ρ (г/см^3)	<ρ> =			δρ =

Абсолютную погрешность измерения плотности можно определить также следующем образом.

Плотность цилиндрического тела, как известно, находится по формуле:

ρ = 4m / πD²H,

причем непосредственно определяется три раза диаметр цилиндра D_i и его высота Н_i (i = 1, 2, 3). Тогда можно подсчитать

ρ_i = 4m / πD²_iH_i.

для каждого из трех измерений.

Среднее значение плотности можно найти, как обычно, по формуле:

<ρ> =∑ρ_i /5,

а абсолютная погрешность определяется как

Δρ = 2,8√[∑(<ρ> – ρ_i) /20].

где 2,8 – коэффициент Стьюдента для n = 5 измерений с доверительной вероятностью Р = 0,95.Найти так же относительную погрешность плотности по формуле Δρ/<ρ> = δ_ρ.По таблице ориентировочно определить древесную породу.

Таблица3.

Древесная порода	Плотность, кг/м^3
Береза обыкновенная	680
Бук	680
Дуб	760
Ель	470
Липа	530
Лиственница	700
Осина	530
Пихта европейская	470
Сосна обыкновенная	540