4.2.2.2. Определение полной совокупности минимальных отсечных сочетаний событий

Минимальное отсечное сочетание (МОС) - это минимально необходимое и достаточное подмножество базисных событий, одновременное отсутствие которых обеспечивает отсутствие события высшего уровня. Полная совокупность МОС представляет собой все варианты сочетаний базисных событий, одновременное отсутствие которых гарантирует отсутствие события высшего уровня.

Для определения полной совокупности МОС необходимо представить структурную функцию дерева отказов (5) в нормальной конъюнктивной форме. Нормальная конъюнктивная форма записи логической функции - это конъюнкция простых дизъюнкций логических переменных, которые могут входить в каждую дизъюнкцию в прямом или инверсном виде не более одного раза. Для преобразования структурной функции (5) дерева отказов в нормальную конъюнктивную форму следует использовать основные законы алгебры логики и, в частности, следующую теорему:

, (7)

Данная теорема может быть обобщена для нескольких конъюнкций в левой части выражения (7). Для двух конъюнкций эта теорема формулируется так:

. (8)

Используя данную теорему, получаем следующие выражения для структурной функции:

(9)

Из полученного выражения следует, что полная совокупность МОС включает в себя следующие сочетания исходных событий:

AB, CDFIKL, CDGIKL, CEFIKL, CEGIKL.

Используя полную совокупность МОС, построим эквивалентное дерево отказов.

4.3. Количественный анализ дерева отказов

4.3.1. Вероятностный анализ

4.3.1.1. Определение вероятности события высшего уровня

Базовым показателем качества элементов технических систем и систем «человек-машина-среда» является вероятность безотказной работы, которая определяется вероятностью того, что время безотказной работы элемента больше заданного значения времени :

. (10)

Аналогично определяется вероятность безотказной работы системы :

, (11)

где - время безотказной работы системы. Если отказ любого элемента приводит к отказу всей системы, то при условии независимости отказов элементов вероятность безотказной работы системы определяется так:

, (12)

где - вероятности безотказной работы элементов, - число элементов системы.

Другим показателем качества элемента системы является вероятность его отказа, которая определяется как вероятностью того, что время безотказной работы элемента не превышает заданного значения времени :

. (13)

Зависимость вероятности безотказной работы элемента от времени является функцией распределения вероятности случайной величины - времени безотказной работы.

Аналогично определяется вероятность безотказной работы системы, зависимость которой от времени является функцией распределения вероятности случайной величины - времени безотказной работы системы:

. (14)

Отказ и безотказная работа элемента или системы являются противоположными событиями, поэтому вероятности данных событий связаны следующими соотношениями:

, (15)

. (16)

Соотношения (15) и (16) позволяют определить вероятность отказа системы, который происходит при отказе любого элемента системы, с помощью выражения (12):

, (17)

где - вероятности отказов элементов системы.

Если отказ системы происходит только в случае отказа всех ее элементов, то при условии независимости отказов элементов вероятность отказа системы определяется с помощью теоремы умножения вероятностей:

. (18)

Используя выражения (15) и (16), можно получить выражение для вероятности безотказной работы системы при таком же условии для ее отказа:

. (19)

Для определения вероятности события - «Пролив жидкости» будем считать, что вероятности базисных событий во время перекачки жидкости в резервуар не изменяются. Зададимся следующими значениями данных вероятностей:

Далее последовательно определяем вероятности событий четвертого, третьего, второго и первого уровней дерева отказов, учитывая, что при логическом умножении (конъюнкции) независимых событий их вероятности, согласно (18), перемножаются, а при логическом суммировании (дизъюнкции) определяются согласно (17). Выражение (17) при и при запишется так:

, (20)

(21)

Вероятности событий четвертого уровня определяются так:

(22)

Определяем вероятности событий третьего уровня:

(23)

Вероятности событий второго уровня определяются так:

(24)

Определяем вероятности событий первого уровня:

(25)

Определяем вероятность события высшего уровня:

(26)