Vych_mat / Vych_mat / Экз / 27-Билет(1,2)

БИЛЕТ 27

1.Общая характеристика процессов численного решения систем дифференциальных

уравнений, локальная погрешность интегрирования, численная устойчивость процесса интегрирования. Общая формула явных методов.

1). Общая характеристика процессов численного решения систем дифференциальных уравнений, локальная погрешность интегрирования, численная устойчивость процесса интегрирования. Общая формула явных методов.

Процесс решения дифференциального уравнения сводится к нахождению каждого следующего значения путем перехода от одной точки, к следующей. При этом метод решения называется одношаговым, если по значению одной предыдущей точки узнают следующее, и многошаговым – если значение следующей точки узнают с помощью значений нескольких предыдущих точек.

Также, численные методы решения можно разделить на

• Конечно-разностные (обычные, рассматриваемые нами)

• Методы типа Ронге-Кутта

Можно выделить явные и неявные методы решения задачи. Примерами явных методов могут быть явный метод Эйлера, разложение в ряд Тейлора, а примерами неявных методов – метод Ньютона и неявный метод Эйлера.

Необходимо достичь стационарного состояния, когда решение уже не зависит от времени.

Численно устойчивый метод – если при h→∞, численное решение будет стремиться к истинному решению

Разложение в ряд Тейлора

- ряд Фурье

Общая формула явных численных методов решения дифференциальных уравнений

Явный метод Эйлера

Многошаговый метод надо разгонять

Чем больше p, тем больше можно использовать h, однако p больше 5 использовать не выгодно. Это экстраполяционный процесс.

Однако при численных решениях дифференциальных уравнений возникает ряд проблем, так как при переходе от одной точки к другой возникает погрешность, которая выливается в рассмотрение

• Локальной погрешности

• Численной неустойчивости

Таким образом шаг ограничен локальной погрешностью интегрирования

Пусть дано:

Протестируем на этой задаче явный метод Эйлера:

Условие численной устойчивости – главное условие

В среднем потребуется около 10²⁴ шагов, чтобы дойти до конца

Выводы:

1. Явные способы решения можно представить с помощью Метода Эйлера и ряда Тейлора

2. Все численные методы решения систем дифференциальных уравнений определяют решение по шагам, причем явные методы построены по схеме, когда неизвестная величина находится только в одной части уравнения, а неявные – когда неизвестная величина x(t_i) находится и в левой, и в правой частях.

• все неявные методы до 4 порядка устойчивы

• Неявный метод порядка i имеет такую же точность, как явный метод порядка (i+1)

2. Метод Ньютона решения нелинейного алгебраического уравнения и системы уравнений, условия и скорость его сходимости.

Для нелинейных уравнений.

Метод определяется формулой x_n+1=x_n-f(x_n)/f’(x_n), f’(x_n)≠0, n=1,2,…… . Эта формула получается, если в разложении 0=f(x*)= f(x_n)+(x*- x_n) f’(x_n)+1/2(x*- x_n)²f”(ξ) ,

ξ = x_n+0 (x*- x_n), 0≤0≤1 , где x* - точное решение уравнения f(x)=0, отбросить последний член, заменив x* на x_n+1: 0=f(x_n) +f’(x_n)(x_n+1-x_n). Метод Ньютона также называют методом касательных или методом линеаризации . Его геометрическая интерпретация – участок кривой y=f(x) при x принадлежащим [x_n,x_n+1 ], если x_n<x_n+1 (или при x принадлежащим [x_n+1, x_n], если x_n>x_n+1), заменяется отрезком касательной, проведённой через точки x=x_n. Записывая f(x)=0 в виде x=φ(x), видим , что метод Ньютона также можно трактовать как метод простой итерации с правой частью.

φ(x)=x-f(x)/f’(x). Скорость сходимости одна из самых высоких , квадратичная скорость сходимости.

Для систем нелинейных уравнений.

Систему нелинейных уравнений можно кратко записать в векторном виде f(x)=0 или более подробно в координатном виде f_k(x₁,x₂,…,x_n)=0, 1≤k≤n. Такие системы решают практически только итерационными методами. Рассмотрим метод Ньютона. Пусть известно некоторое приближение x^(s) к корню . Как и для одной переменной, запишем исходную систему f(x)=0 в виде f(x^(s) +Δx)=0, где Δx=- x^(s). Разлагая эти уравнения в ряды и ограничиваясь первыми дифференциалами, т.е. линеаризуя функцию , получим

, 1≤k≤n. Это система уравнений, линейных относительно приращений ; все коэффициенты этой системы выражаются через последнее приближение x^(s). Решив эту систему (например методом исключения), найдём новое приближение x^(s+1)= x^(s)+Δx^(s). Как и для одной переменной , метод Ньютона модно формально свести к методу последовательных приближений, положив φ(x)=x-[∂f/∂x]^-1f(x), где [∂f/∂x]^-1 есть матрица, обратная матрице производных. Аналогично производится теоретический анализ условий сходимости. Однако достаточное условие сходимости, записанное в координатной форме , здесь имеет несколько сложный вид, что проверить его выполнимость почти никогда не удаётся. Отметим только очевидный результат: в достаточно малой окрестности корня итерации сходятся, если det [∂f/∂x] ≠ 0, причём сходимость квадратичная. Следовательно, если нулевое приближение выбрано кдачно, то метод Ньютона сходится, причём очень быстро(обычно за 3-5 итераций).