БИЛЕТ 27
1.Общая характеристика процессов численного решения систем дифференциальных
уравнений, локальная погрешность интегрирования, численная устойчивость процесса интегрирования. Общая формула явных методов.
2. Метод Ньютона решения нелинейного алгебраического уравнения и системы уравнений, условия и скорость его сходимости.
Для нелинейных уравнений.
Метод определяется формулой xn+1=xn-f(xn)/f’(xn), f’(xn)≠0, n=1,2,…… . Эта формула получается, если в разложении 0=f(x*)= f(xn)+(x*- xn) f’(xn)+1/2(x*- xn)2f”(ξ) ,
ξ = xn+0 (x*- xn), 0≤0≤1 , где x* - точное решение уравнения f(x)=0, отбросить последний член, заменив x* на xn+1: 0=f(xn) +f’(xn)(xn+1-xn). Метод Ньютона также называют методом касательных или методом линеаризации . Его геометрическая интерпретация – участок кривой y=f(x) при x принадлежащим [xn,xn+1 ], если xn<xn+1 (или при x принадлежащим [xn+1, xn], если xn>xn+1), заменяется отрезком касательной, проведённой через точки x=xn. Записывая f(x)=0 в виде x=φ(x), видим , что метод Ньютона также можно трактовать как метод простой итерации с правой частью.
φ(x)=x-f(x)/f’(x). Скорость сходимости одна из самых высоких , квадратичная скорость сходимости.
Для систем нелинейных уравнений.
Систему нелинейных уравнений можно
кратко записать в векторном виде f(x)=0
или более подробно в координатном
виде fk(x1,x2,…,xn)=0,
1≤k≤n. Такие системы решают практически
только итерационными методами. Рассмотрим
метод Ньютона. Пусть известно некоторое
приближение x(s)
к корню
.
Как и для одной переменной, запишем
исходную систему f(x)=0 в
виде f(x(s)
+Δx)=0, где Δx=
-
x(s). Разлагая
эти уравнения в ряды и ограничиваясь
первыми дифференциалами, т.е. линеаризуя
функцию , получим
, 1≤k≤n. Это система
уравнений, линейных относительно
приращений
;
все коэффициенты этой системы
выражаются через последнее приближение
x(s).
Решив эту систему (например методом
исключения), найдём новое приближение
x(s+1)=
x(s)+Δx(s).
Как и для одной переменной , метод Ньютона
модно формально свести к методу
последовательных приближений, положив
φ(x)=x-[∂f/∂x]-1f(x),
где [∂f/∂x]-1
есть матрица, обратная матрице
производных. Аналогично производится
теоретический анализ условий сходимости.
Однако достаточное условие сходимости,
записанное в координатной форме , здесь
имеет несколько сложный вид, что проверить
его выполнимость почти никогда не
удаётся. Отметим только очевидный
результат: в достаточно малой окрестности
корня итерации сходятся, если det
[∂f/∂x] ≠ 0,
причём сходимость квадратичная.
Следовательно, если нулевое приближение
выбрано кдачно, то метод Ньютона сходится,
причём очень быстро(обычно за 3-5 итераций).