4.3. Построение и решение оптимизационной задачи принятия решения (Задача о баке)

Пусть требуется выбрать геометрические размеры цилиндрического бака объемом Vиз условияминимального расхода материалана его изготовление.

Для построения математической модели введем в рассмотрение вектор проектных решений Х = (r,h), где 2r,h– диаметр и высота бака (Рис. 4.3).

Если предположить, что бак изготавливается сваркой из трех деталей, то расход материала при произвольном векторе решенийХбудет равен площади поверхности бака:

. (4.5)

Согласно условиям задачи выражение (4.5) является целевой функцией (критерий оптимальности проектных решений).

Условие того, что бак должен иметь объем заданного значения V, представим в виде:

pr²h = V. (4.6)

На компоненты вектора решений Xнеобходимо наложить дополнительные условия:

R > 0,h> 0. (4.7)

Выражения (4.5) – (4.7) описывают нелинейную однокритериальную модель формирования оптимальных решений, приn = 2,m = 1.

Пусть бак должен иметь минимальную трудоемкость его изготовления. Если считать трудоемкости изготовления крышки, дна и боковой стенки достаточно малыми величинами, то затраты времени на изготовление бака будут пропорциональны длине свариваемых швов:

, (4.8)

где с– затраты времени на сварку единицы длины.

Выражения (4.5), (4.8), (4.6), (4.7) описывают двухкритериальную нелинейную модельформирования оптимальных решений.

При построении математической модели в этой задаче принятия решений были использованы известные геометрические закономерности.

Аналитическое решение задачи ПР возможно, если соответствующая математическая модель включает в себя ограничения типа равенств, то есть имеет вид:

Такие задачи решаются обычно классическими методами условной оптимизации, которые предусматривают построение функции Лагранжа вида

(4.9)

где l₁,l₂, … ,l_m– неопределенные множители Лагранжа.

Точки экстремума этой функции определяются из решения системы уравнений вида

(4.10)

Решая эту систему, получим решение вида

(4.11)

Используем этот метод для решения однокритериальной задачи (4.8), (4.6) (без учета (4.5), (4.7)).

Функция Лагранжа имеет вид:

.

Система уравнений (4.17) относительно переменных r,h,l:

Имеем систему алгебраических уравнений, решая которую, получим значения неизвестных r,h(lнаходить необязательно):

;.

Таким образом, оптимальные размеры бака, найденные с помощью аналитического метода условной оптимизации, не зависят от затрат времени сна сварку единицы длины, но зависят от требуемого объема бакаV. Требование (4.8) при этих значенияхrиhвыполняется, то есть трудоемкость будет минимальной.

Недостатками этого метода являются:

1. Не учитываются в явном виде условия неотрицательности (4.7).

2. Система уравнений (4.10) позволяет получить решение в форме (4.11) только для простых функций (4.5), (4.6).

Контрольные вопросы к лекции 11

1. Что включает в себя простейшая схема принятия решений?

2. Что такое цель?

3. Что такое критерий оптимальности?

4. Что такое однокритериальная ЗПР?

5. Что такое многокритериальная ЗПР?

6. Возможно ли получение единственного оптимального решения в многокритериальных задачах?

7. Напишите общий вид математической модели формирования оптимальных решений.

8. Сформулируйте задачу принятия решений.

9. Запишите критерий минимального расхода материала для задачи о баке.

10. Запишите критерий минимальной трудоемкости для задачи о баке.

11. Запишите общий вид функции Лагранжа.

12. Перечислите недостатки аналитического метода условной оптимизации.