2.3. Исследование простейшей математической модели работы газотурбинного двигателя

Газотурбинный двигатель (ГТД) является основной силовой установкой современных самолетов.

Схема ГТД имеет вид, показанный на рис. 2.5.

Здесь 1– входной диффузор;2– компрессор;3– камера сгорания;4– турбина;5– выходное сопло.

Цикл работы ГТД включает следующие этапы:

1. Набегающий со скоростью Vпоток воздуха через диффузор поступает в компрессор.

2. Компрессор, вращаясь на одном валу с турбиной, сжимает воздух, который поступает в камеру сгорания.

3. В камеру сгорания постоянно впрыскивается топливо (керосин), которое смешивается со сжатым воздухом.

4. Газ, образующийся от сгорания, поступает на турбину, которая разгоняет его до скорости W.

5. С этой скоростью газ через сопло выбрасывается в атмосферу.

За счет того, что W>V, образуется сила тягиР, которая позволяет самолету осуществлять полет в атмосфере.

Изменение силы тяги осуществляется путем изменения скорости впрыска топлива в камеру сгорания с помощью перемещения ручки управления двигателем (РУД). Перемещение РУД на определенный угол _РУДосуществляется либо вручную летчиком, либо с помощью исполнительного устройства по сигналам от САУ полетом. Увеличение значения_РУДвызывает возрастание силыР, а уменьшение – убывание этой силы.

ГТД является сложной технической системой, в которой протекает значительное число физических и химических процессов. Двигатель оснащен всевозможными устройствами автоматики, системами поворота и охлаждения турбинных лопаток и т.д. Естественно, математическое описание функционирования ГТД также будет достаточно громоздким, включающим в себя системы дифференциальных уравнений в частных производных, обыкновенных дифференциальных уравнений, трансцендентных функций, алгоритмы цифровой системы управления двигателем. Такие модели используются в процессе проектирования ГТД.

Для решения задач управления полетом используется более простая модель ГТД, представляющая собой зависимость силы тяги Рот угла_РУДотклонения РУД. Процесс изменения силы тяги описывается обыкновенным дифференциальным уравнением вида:

, (2.11)

где > 0 – постоянная времени двигателя, зависящая кроме конструктивных характеристик также от температуры окружающего воздуха, его влажности и других внешних факторов;k[кг/град] – коэффициент пропорциональности.

Начальное условие для уравнения (2.11) записывается как

Р(0) =Р₀. (2.12)

Таким образом, уравнение (2.11) совместно с начальным условием (2.12) представляет собойпростейшую математическую модель работы ГТД, записанную в виде обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка.

Для определения коэффициента пропорциональности kиспользуются градуировочные графики зависимости тяги от угла поворота РУД, построенные на основе экспериментальных данных. Тангенс угла наклона графика равен искомому коэффициенту.

Интегрирование уравнения (2.11) с начальным условием (2.12) позволяет выяснить, как изменяется сила тяги во времени (рис. 2.6).

При отклонении РУД тяга Рнарастает и затем стабилизируется на определенном предельном значении, т.е. ГТД является инерционным объектом.

Предельное значение силы тяги получаем из (2.11), когда скорость ее изменения равна нулю:

. (2.13)

Длительность нарастаниязависит от значения постоянной времени двигателя. Процесс считается установившимся приt = t_уст , когда тяга входит в так называемый пятипроцентный коридор от предельного значения силы тяги (рис. 2.6). Чем больше, тем инерционнее двигатель и, следовательно, большеt_уст.

На рис. 2.7 показано поведение силы тяги в зависимости от угла отклонения РУД при= 0,5.

Сила тяги при взлете, когда РУД отклонена на 10°, выходит на установившийся режим на третьей секунде и достигает величины 3390 кг. Через десять секунд после взлета, когда РУД отклонена на 20°, сила тяги устанавливается на величине 6780 кг, и еще через десять секунд, когда РУД отклонена на 30°, сила тяги устанавливается на величине 10170 кг. Предельное значение силы тяги равно 14270 кг.