12. Локальная формула Муавра-Лапласа. Привести пример.

Если в схеме независимых испытаний Бернулли число испытаний n велико, а вероятности успеха и неудачи не малы (например, 0,1<p<0,9), то вероятность P_n(m) появления ровно m успехов в n испытаниях вычисляется по формуле (локальная теорема Муавра-Лапласа):

P_n(m)=где(х)=. Функция(х) – четная и для положительных значений х составлена таблица ее значений.

Пример. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле р=0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз.

13. Интегральная формула Муавра-Лапласа. Привести пример. Если в схеме Бернуллиpсущественно отличается от 0 и 1, аnдостаточно велико, то вероятностьтого, что вnнезависимых испытаниях событие А наступит не менее раз, но менее раз, вычисляется поинтегральной формуле Муавра-Лапласа:

, где – функция Лапласа,, ,причём Ф(-х)=-Ф(х), Ф(х)≈0,5 при х≥5.

Формулы Муавра-Лапласа, как правило, используются, если 0,1<p<0,9, и дают хорошие результаты, если npq велико (>=20).

Пример. Вероятность появления события А в каждом из 600 независимых испытаний равна 0,6. Найдите вероятность того, что событие А в этих испытаниях наступит не менее 330 и не более 375 раз.

14. Случайная величина. Виды случайных величин. Закон распределения (распределение) СВ. Привести примеры. Под случайной величиной (СВ) понимают величину, которая в результате опыта принимает некоторое числовое значение, причём неизвестно заранее, какое именно.

Виды СВ: а) СВ называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно (т.е. если все значения можно пересчитать).

Пример (а): Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости.

б) СВ называется непрерывной, если её функция распределения непрерывна на всей числовой оси. Непрерывная СВ принимает все значения из некоторого интервала или системы интервалов на числовой оси.

Пример (б): Прирост веса домашнего животного за месяц.

Законом распределения СВ называется любое правило, позволяющее определить её функцию распределения. О СВ говорят, что она распределена по данному закону или подчинена этому закону.

15. Дискретная случайная величина. Ряд распределения. Многоугольник распределения. Привести пример. СВ называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно (т.е. если все значения можно пересчитать).

Ряд распределения – это закон распределения, заданный в виде таблицы, в которой перечислены все возможные значения СВ ξ и соответствующие им вероятности.

Многоугольник распределений – это как статистический аналог полигона.

Пример. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000 у.е., 10 выигрышей по 100 у.е. и 100 выигрышей по 1 у.е. при общем числе билетов 10 000. Найти закон распределения случайного выигрыша ξ для владельца одного лотерейного билета.

16. Функция распределения дискретной СВ и её основные свойства. Функцией распределенияслучайной величиныназывается функция,

определяющая вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее.

Свойства функции распределения:

а) функция распределения принимает значения только из отрезка [0,1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1;

б) F(x) – неубывающая функция, т.е. еслиx₂ > x₁, то F(x₂) > F(x₁) ;

в) F(- ∞ ) = 0;F(+ ∞) = 1;

г) вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала (причем), равна;

д) F(x) непрерывна слева, т. е.F(x) =F(x– 0).

17. Математическое ожидание дискретной СВ и его смысл. Основные свойства математического ожидания. Математическим ожиданиемДСВназывается среднее значение данной случайной величины

,

т. е. математическое ожидание – это сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности.

Свойства математического ожидания.

а), где;

б);

в);

г)если случайные величиныинезависимы, то.