- •2. Частные произв. И диф. Ф-ии 2-ух перем.
- •12. Интегралы с переменным верхним пределом.
- •33. Двойной интеграл. Основные понятия и определения.
- •34. Двойной интеграл и его геометрический и физический смыслы.
- •35. Основные свойства двойного интеграла.
- •45.Приложение кри-1 рода
- •46.Условия независимости кри-2 от пути интегрирования. Потенциал
- •47. Приложения кри II рода
- •48. Основные понятия теории поля. Потенциальные векторные поля. Циркуляция
- •49. Ротор и дивергенция векторного поля, их физ.Смысл и вычисление.
- •54. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Признаки сравнения.
- •59. Функциональные ряды. Основные понятия
- •60. Теорема Абеля
- •61. Свойства степенных рядов
- •62. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.
- •63) Разложение некоторых элементарных ф-ций в ряде Маклорена
- •64) Применение рядов к приближенным вычислениям значений ф-ции, определённых интегралов
- •65) Приближенное решение ду
- •66) Дискретное вероятностное пространство
- •67) Классическое вероятностное пространство
- •68) Теоремы сложения, умножения вероятностей. Несовместные, независимые события
- •69) Формулы полной вероятности и Байеса. Примеры
- •70)Аксиоматическое построение теории вероятностей. Следствия из аксиом
- •Теорема Пуассона
- •Теоремы Муавра-Лапласа
- •84. Ковариация X* и h* называется коэффициентом корреляции случайных величин X и h (обозначается rxh).
33. Двойной интеграл. Основные понятия и определения.
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ — обобщение ОИ на случай ф-ций 2-х переменных.
Пусть в замкнутой области D пл-ти Oxy задана непрер. z = f(x;y). Разобьем D на n частей Di, обозначим их площади через ∆Si, а диаметры — через di. В каждой Di выберем произв. т. Mi(xi;yi) и умножим значение f(xi;yi) в этой т. на ∆Si. Составим f(x1;y1)∆Si + f(x2;y2)∆Si + … + f(xn;yn)∆Sn = ∑ f(xi;yi)∆Si — интегральную сумму f(x;y). Рассм. lim, когда n → ∞, что maxdi → 0. Если этот lim Ǝ и не завис. от сп. разбиения D на части, ни от выбора точек в них, то он наз. ДВОЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ и опред. равенством:
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ Ф-ЦИИ: если ф-ция z = f(x;y) непрер. в D, она интегрируема в этой области.
34. Двойной интеграл и его геометрический и физический смыслы.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл: двойной интеграл от неотрицательной функции равен объему цилиндрического тела.
Сверху тело ограничено поверхностью z = f(x;y), снизу — замкнутой областью D пл-ти Оxy, с боков — цилиндрической пов-тью, ǁ Oz, направляющая — граница области D.
Найдем V: разобьем D на n областей Di, площади кот. = ∆Si. Рассм. столбики с основаниями Di, ограниченные сверху кусками поверхности z = f(x;y), обозначим их через ∆Vi. Получим V = ∑∆Vi. В каждой Di возьмем Mi(xi;yi) и заменим столбики прямыми цилиндрами, ∆Vi ≈ f(xi;yi)∆Si.
ФИЗИЧЕСКИЙ: масса плоской пластинки
35. Основные свойства двойного интеграла.
1.
2.
3.
4. Если f(x;y)≥0, . Еслиf(x;y)≥ φ(x;y),
5. т. к.
6. Если f(x;y) непрерывна в замкнутой D, площадь кот. S, то , гдеm и M — соотв. наиб. и наим. значения подынтегральной ф-ции в D.
7. Если f(x;y) непрерывна в замкнутой D, площадь кот. S, то в этой обл-ти Ǝ такая т. (x0;y0), что . Величинаf(x0;y0) = … — среднее значение ф-ции f(x;y) в обл-ти D.
36. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.
Пусть требуется вычислить , гдеf(x;y)≥0, непрер. в D. Двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху z = f(x;y). Т. к. ,S(x) — площадь сечения пл-тью, ﬩оси Ox, a и b — ур-я пл-тей, огранич. данное тело. D — криволинейная трапеция, правильная относит. Oy, . Согласно методу параллельных сечений. Также объем цил. тела — двойной интеграл отf(x;y)≥0.
37. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.
x = rcosφ, y = rsinφ, dxdy = rdrdφ.
Внутренний интеграл берется при постоянном φ.
38. Приложения двойного интеграла (объем тела, площадь плоской фигуры, масса плоской пластинки, статистические моменты, моменты инерции)
ОБЪЕМ ТЕЛА:
ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ:
МАССА ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ: .γ = γ(x;y) — плотность
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ: и
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПЛ. ФИГУРЫ: и
МАССА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНКИ: γ = γ(x;y) — поверхностная плотность — непрер. ф-ция координат т. (x;y). Разобьем пластинку D на n Di, обозначим их площади через ∆Si, возьмем Mi(xi;yi) и найдем плотность в ней. Плотность в каждой т. Di const, найдем mi ≈ γ(x;y)∆Si. Т. к. m = ∑mi, m ≈ ∑γ(x;y)∆Si. n→∞ и maxdi→0.
39-40.
х,y,z-const.Отметим,что поскольку разбивать рассм-ую обл.интег.можно произв.образом,то разбивая ее коорд.пов-ми в декарт.сист.коорд.
Тр.интег.f(x,y,z)dxdydz
DcR
D простая в пространстве будем считать простой в направлении z,если она:
1)проец.на пл-ть Оxy
2)ограничена сверху z=z2 (x,y),снизу z=z1(x,y),(x,y)€D
По аналогии с предыд.пол-ем случай правильной обл.D(и по x,y,z прав),получим сведение к 1-му из 6 интег.
тр.интег.f(x,y,z)dxdydz=
41.Замена переменных в тройном интеграле
Пусть совершена подстановка x= ,y= ,z= . Если эти ф-ции имеют в некоторой областиV* пространства Ouvw непрерывные частные производные и отличный от 0 определитель
,
То справедлива формула:Здесь — определитель Якоби, или якобиан преобразования.
42. Приложения тройного интеграла (объем, масса тела, статические моменты, моменты инерции тела).
1. Объем тела
—в декартовых координатах
2. Масса тела
, при заданной плотности
3.Статические моменты (относительно координатных плоскостей)
4. Моменты инерции тела
43.кри 1-го рода,их выч-е и св-ва(неориентированная)
В нек.окр.дуги L задано нек.скаляр.поле u=u(M)(1)
u=(M)-лин.пл-ть (поле масс)
Задача о массе материал.дуги Lю
Для реш.ввод.скаляр.эл-т дуги.
dS=(2)
d=
dm=(M)dS(3)
интегрируем mL=(4)
Вычисление:Пусть кри L зад-ся парам-ки:
L:,t€[t0,t1],где ф.x(t),y(t),z(t) предполаг-ся непрерывно диф-ми и в нуль не обращаются
Учитывая,что dS скаляр-й эл-т дуги,в этом случае,==dt,t0‹t
Сведение кри1 к опред.интег.
, t0‹t1
св-ва:во многом аналог.св-вам опред.интег.В частности имеется св-во лин-ти,аддетивности.
После рассматривания этих св-в возник.вопр.,какой из кри более близкий родственник к опред.интег.
Замеч.:если криволин.интег.расс-ся по замкнутой дуге,то
44. В пл-ти задана кривая АВ и функция Р(х,у). Если существует конечный предел интегральной суммы , гдепроекция дуги на ось Ох, не зависящий от вида разбиения и выбора точек, то его называюткриволинейным интегралом второго рода от ф-и Р(х,у) по кривой АВ. По х, по у. Общий вид КРИ-2.Т-ма существования: если кривая АВ гладкая и ф-и Р(х,у) и Q(х,у) непрерывные на АВ, то КРИ-2 существует. Свойства: 1) при измен.пути интегрир.КРИ меняет знак 2)если кривая разбита точкой на 2 части, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям3)если кривая АВ лежит в пл-ти, перпендикулярной оси Ох, то(все), аналогично дляy 4) КРИ от замкнутой кривой не зависит от от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой). Вычисление:
.
Связь КРИ-1 и КРИ-2: связаны соотношением , где альфа и бета – углы, образованные касательной к кривой АВ в точке М(х,у) с осями Ох и Оу соответственно.