- •2. Частные произв. И диф. Ф-ии 2-ух перем.
- •12. Интегралы с переменным верхним пределом.
- •33. Двойной интеграл. Основные понятия и определения.
- •34. Двойной интеграл и его геометрический и физический смыслы.
- •35. Основные свойства двойного интеграла.
- •45.Приложение кри-1 рода
- •46.Условия независимости кри-2 от пути интегрирования. Потенциал
- •47. Приложения кри II рода
- •48. Основные понятия теории поля. Потенциальные векторные поля. Циркуляция
- •49. Ротор и дивергенция векторного поля, их физ.Смысл и вычисление.
- •54. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Признаки сравнения.
- •59. Функциональные ряды. Основные понятия
- •60. Теорема Абеля
- •61. Свойства степенных рядов
- •62. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.
- •63) Разложение некоторых элементарных ф-ций в ряде Маклорена
- •64) Применение рядов к приближенным вычислениям значений ф-ции, определённых интегралов
- •65) Приближенное решение ду
- •66) Дискретное вероятностное пространство
- •67) Классическое вероятностное пространство
- •68) Теоремы сложения, умножения вероятностей. Несовместные, независимые события
- •69) Формулы полной вероятности и Байеса. Примеры
- •70)Аксиоматическое построение теории вероятностей. Следствия из аксиом
- •Теорема Пуассона
- •Теоремы Муавра-Лапласа
- •84. Ковариация X* и h* называется коэффициентом корреляции случайных величин X и h (обозначается rxh).
60. Теорема Абеля
Теорема. Если степенной ряд сходится приx = x1 , то он сходится и притом абсолютно для всех .
61. Свойства степенных рядов
1. Сумма S(x) степенного ряда
Является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R;R)
2. Степенные ряды,имеющие радиусы сходимости соотв-о, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядом не меньше чем меньшее из чисел
3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда (пиши вместо скобки простоx)
При -Rвыполняется равенство
4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда
(пиши вместо скобки просто x) при -R
62. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.
Ряд Тейлора:
Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:
1), где f(x) - функция, имеющая при х=а производные всех порядков. Rn - остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением
2)
k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой
Теорема Маклорена (ряд Маклорена (=Макларена)) имеет вид:
1) , где f(x) - функция, имеющая при а=0 производные всех порядков. Rn - остаточный член в ряде Маклорена (Тейлора при а=0)определяется выражением
2)
k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой
63) Разложение некоторых элементарных ф-ций в ряде Маклорена
Разложение функции f(x)=ex в ряд Маклорена:
f(x)=f′(x)=f″(x)=…=f(n)(x)=…=ex.
f(0)=f′(0)=f″(0)=…=f(n)(0)=…=1.
Составим для функции f(x)=ex формально ряд Маклорена:
1+.
Найдём области сходимости этого ряда.
при любых x, следовательно, областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞). Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то при любыхх и тем более при любыхх. Так как f(n+1)(x)=ex и f(n+1)(с)=eс, то =ec=0. Таким образом, имеет место разложение при x(-∞;+∞)
ex=1+
64) Применение рядов к приближенным вычислениям значений ф-ции, определённых интегралов
Eсли подинтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.
Вычислить интеграл с точностью до 0,001. Решение.Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.. Следовательно,.
65) Приближенное решение ду
Пусть необходимо найти решение у(х) задачи Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка:Ищем у(х) в виде ряда Тейлора:
(1)
Значенияизвестны, поэтому определяется
сразуДля нахождения следующих коэффициентов ряда (1) необходимо брать последовательно производные оти подставлять в них известные уже значения предыдущих производных.
Пример: Найти первые три члена разложения в с.р. решения задачи Коши
у(х) ищем в видеИмеем:
Таким образом,Изложенный метод применим для приближенного решения уравнений любого порядка
66) Дискретное вероятностное пространство
Если множество элементарных исходов конечно или счетно:, то соответствующее вероятностное пространство называетсядискретным. В случае дискретных вероятностных пространств событиями обычно считают все возможные подмножества . В этом случае для задания вероятности необходимо и достаточно приписать каждому элементарному исходучислотак, чтобы их сумма была равна 1. Тогда вероятность любого событиязадается следующим образом: