4. Уравнение движения манипулятора. Прямая задача динамики

Для реализации заданного движения звена манипулятора, силовой приводсочленения должен развить момент, который вычисляется по следующему выражению:

или в матричном виде

где вектор (размерностью) обобщенных сил, создаваемых силовыми приводами в сочленениях манипулятора.

вектор (размерностью ) присоединенных переменных манипулятора

вектор (размерностью ) обобщенных скоростей

вектор (размерностью ) обобщенных ускорений

симметричная матрица размерностью , элементы которой даются выражением

–вектор (размерностью) кориолисовых и центробежных сил.

вектор (размерностью ) гравитационных сил.

число присоединенных переменных;

матрица инерции j-го звена

|½*(-Jxxj+Jyyj+Jzzj) Jxyj Jxzj mj*xj |

| Jxyj ½*(Jxxj-Jyyj+Jzzj) Jyzj mj*xj |

Jj=| Jxzj Jyzj ½*(Jxxj+Jyyj-Jzzj) mj*xj | (7)

| mj*xj mj*yj mj*zj mj |

Jxxj, Jyyj, Jzzj, Jxyj, Jxzj, Jyzj – компоненты матрицы инерции j j-го звена в системе координат, связанной с этим звеном:

| Jxxj -Jxyj -Jyzj |

j= | -Jxyj Jyyj -Jyzj | (8)

| -Jxzj -Jyzj Jzzj |

j = cj + cj, (9)

где cj – тензор инерции j-го звена в системе координат, связанной со звеном и перенесенной в центр масс звена:

| Jxxсj -Jxyсj -Jyzсj |

сj = | -Jxyсj Jyyсj -Jyzсj | (9)

| -Jxzсj -Jyzсj Jzzсj |

| 2 2 |

| yсj + zcj -xсj*ycj -xcj*zсj |

| 2 2 |

cj = mj * | -xcj*yсj xcj + zcj -yсj*zcj | (10)

| 2 2 |

| -xcj*zсj -ycj*zсj xcj + ycj |

Uikm – величина характеризующая взаимодействие сочленений; определяется следующим образом

| A[0,j-1]*Qj*A[j-1,k-1]*Qk*A[k-1,i], если i k j;

Uikm = { A[0,k-1]*Qk*A[k-1,j-1]*Qj*A[j-1,i], если i j k; (11)

| 0, если i <j или j<k.

Вектор g в выражении 11.6 описывает гравитационное ускорение в базовой системе координат:

g = (gx,gy,gz,0) (12)

j _

rj – радиус-вектор центра масс j-го звена в системе координат j-го звена:

j _ T

rj = (xcj,ycj,zcj,1 ) (13)

Согласно (3.2-26)[1], уравнение движения манипулятора можно представить в виде

где – вектор обобщенных сил, – вектор обобщенных координат манипулятора,вектор обобщенных скоростей,– вектор обобщенных ускорений.

Элементы квадратной симметрической матрицы найдем по формуле (3.2-31)[1]

где матрица , согласно (3.2-11)[1] характеризует изменение положения точки -го звена относительно базовой системы координат, обусловленное изменением координаты;– матрица инерции-го звена.

Вектор кориолисовых и центробежных сил найдем по формулам (3.2-32)-(3.2-33)[1]

Вектор гравитационных сил найдем по формуле (3.2-34)[1]

В которой – координаты центра масс -го звена в-й системе координат.

В среде Matlab составим программу (приложение 1) и вычислим обобщенные силы, возникающие в сочленениях при реализации траектории.

Рисунок 2.Обобщенная сила в 1-м сочленении.

Рисунок 3. Обобщенная сила во 2-м сочленении.

В качестве примера решения прямой задачи динамики зададим свободное движение манипулятора, т.е. в уравнении движения положим вектор , и найдем зависимости обобщенных координат от времени. Для этого опишем уравнение движения в форме Коши, и проведем интегрирование методом Рунге-Кутты.

Ниже приведены результаты решения.