- •Основные математические понятия и обозначения
- •Множества чисел и их обозначения
- •Основные операции над множествами
- •Логические символы
- •Специальные математические символы
- •Линейная алгебра
- •Определители и их свойства
- •Свойства определителей
- •Матрицы и их свойства
- •Операции над матрицами
- •Экономическая интерпретация действий над матрицами
- •Системы линейных уравнений
- •Решение систем линейных уравнений при помощи формул Крамера
- •Решение систем линейных уравнений матричным способом
- •Линейные системы общего вида
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •Экономическая интерпретация систем линейных уравнений
- •Элементы векторной алгебры
- •Основные понятия
- •Действия над векторами
- •Свойства действий над векторами
- •Проекция вектора на ось
- •Координаты точки на числовой оси, на плоскости и в пространстве
- •Теоремы о проекции вектора на ось
- •Длина вектора. Направляющие косинусы вектора
- •Понятие базиса. Разложение вектора по базису
- •Скалярное произведение векторов
- •Смешанное произведение векторов
- •Свойства смешанного произведения
- •Геометрический смысл смешанного произведения векторов
- •Линейная зависимость (независимость) системы векторов
- •Разложение вектора по некоторому базису
- •Элементы аналитическОй геометриИ
- •Прямая линия на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку,с данным угловым коэффициентом
- •Уравнение прямой, проходящей черездве данныеточки
- •Угол между двумя прямыми
- •Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Общее уравнение прямой
- •Частные случаи общего уравнения прямой
- •Уравнение прямой на плоскости в отрезках
- •Расстояние от точки до прямой
- •Уравнение плоскости в пространстве
- •Угол между плоскостями
- •Условия параллельности и перпендикулярности 2-х плоскостей
- •Расстояние от плоскости до точки
- •Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.
- •Прямая линия в пространстве
- •Параметрическое уравнение прямой в пространстве и каноническое уравнение прямой в пространстве
- •Уравнение прямой в пространстве, проходящей через 2 заданные точки
- •Прямая, как линия пересечения двух плоскостей
- •Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Угол между двумя прямыми
- •Угол между прямой и плоскостью.Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
- •Кривые второго порядка на плоскости
Основные математические понятия и обозначения
Одним из основных математических понятий является понятие множества.
Определение: Множеством называют совокупность каких-то объектов, объединенных по некоторому правилу или признаку.
Примерымножеств: - натуральные числа, целые числа, действительные числа.
Определение: Объекты, которые входят в состав множества, называют элементами данного множества.
Обычно множества обозначаются большими латинскими буквами (A, B, C), а их элементы – малыми (a, b, c).
Определение: Множество, которое имеет конечное число элементов – именуется конечным множеством; бесконечное - бесконечным.
Обычно любое множество задается некоторым свойством, т.е. таким свойством, которым обладают только элементы данного множества, например: M=a,b,c,d- некоторое множество.
Множество натуральных четных чисел: N2={2*n, где nN}
Определение:Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается 0
Множества чисел и их обозначения
N - множество натуральных чисел- {1,2,3,…, n,….}
Z - множество целых чисел {…-3,-2,-1,0,1,2,……….}
Q - множество рациональных чисел – это те числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m -принадлежит множеству целых чисел, а n - множеству натуральных чисел
Q={m/n, mZ, nN}
Иррациональные числа: J={ 2, 3, , e, …..}
Множество действительных чисел: R=Q U J
Множество комплексных чисел:
C={a+i*b; i=-1, a, bR}
Любое множество графически можно изобразить в виде круга (диаграммы Эйлера-Венна):
А
Определение: Множество В называется подмножеством множества А , (В А), если любой элемент множества В, является элементом множества А.
A
B В А
Основные операции над множествами
1. Сумма (Объединение) двух множеств А и В называется такое множество, которое состоит только из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.
В виде характеристического свойства - А U В={x, xA или xB}
Если изображают
ввиде круговA B А U В
Пример:
А={1,2,3} B={2,4,5} А U В={1,2,3,4,5}
2. Произведение (Пересечение) двух множеств А и В состоит из тех элементов, которые одновременно принадлежат и множеству А и множеству В: А В={x, xA и xB}
для рассмотренного
выше примера:A B А В
А В={2}
3. Разность двух множеств А и В (обозначается А\В) – называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В
А\В={x, xA и x B} A B А\В
Для рассмотренного выше
примера:
А\В={1,3}
Логические символы
Для краткости записи, вместо слов: существует, найдется, будет использован символ ,
вместо слов любой, каждый, всякий .
Примеры: x, x+1N ; xX,X:2
Специальные математические символы
Для краткости записи произведения первых n-натуральных чисел вводят:
1*2*3*4*……..* n = n! , n –факториал.
1!=1 , 2!=1*2=2 , 5!=1*2*3*4*5=120,
0!=1 0-факториал.
Для краткости записи суммы и произведения будем использовать символы:
n
сумма ai = a1+a2+a3+….+an ; ai = a1+a2+…+an +...;
i=1 i=1
n
Произведение ai = a1*a2*a3*….*an
i=1