14. Линейная зависимость (независимость) системы векторов

Определение: Система (1) называется линейно зависимой, если существуют числаk₁, k₂, …..k_n,из которых хотя бы одно отлично от нуля, но при этом выполняется следующее равенство:

k₁*₁ + k₂* ₂ +……. + k_n*_n = 0

Определение:Система векторов (1) называется линейно независимой, если последнее равенство выполняется только тогда, когда все числа равны нулю:

k₁ = k₂ = …. = k_n = 0

Теорема (критерий линейной зависимости векторов) : Если ранг матрицы, составленной из координат векторов системы равен числу векторов, то данная система линейно независима.

Если ранг матрицы, составленной из координат векторов системы меньше числа векторов, то система векторов линейно зависима.

Пример:  ( 3, 0, 2, 4) b = 2 *  b - 2 *  = 0

b ( 6, 0, 4, 8) откуда:  и b линейно зависимы.

 ( 4, 1) 4 1 4 1

b ( 5, 6) 5 6 0 19

r(A)=2 – числу векторов – вывод – векторы линейно независимы, т.е.

k₁* + k₂* b = 0 , если k₁ = k₂ = 0

15. Разложение вектора по некоторому базису

Определение: Базисом системы векторов (1) называют такую ее подсистему, векторы которой линейно независимы, а любой вектор системы является их линейной комбинацией.

Для трехмерного пространства i (1,0,0)

R³ базисом будут: j (0,1,0)

k (0,0,1) .

Тогда любой вектор  (_x, _y, _z) может быть представлен:

 = _x* i + _y* j + _z* k

Теорема: Если векторы ₁, ₂, ….., _n принадлежат n-мерному векторному пространству, образуют базис, а вектор b - это произвольный вектор данного пространства, тогда вектор b может быть разложен по векторам базиса и, при этом, единственным образом.

b = ₁* ₁ + ₂* ₂ +….. + _n*_n .

4. Элементы аналитическОй геометриИ

   1. Прямая линия на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости

Пусть на плоскости нам дана некоторая прямая.

Определение: Угол между данной прямой и положительным направлением оси ОХ называется углом наклона данной прямой ().

Определение: Тангенс угла наклона прямой называется угловым коэффициентом данной прямой ( k = tg ).

Уравнение прямой мы получим, если известны:

- ее угловой коэффициент и

- величина отрезка, который прямая отсекает от оси OY

M(x,y)



O C

b

B N

B =  из треугольника находим: tg  = MN/BN = k

Рассмотрим отрезки MN и BN: MN=MC+CN MN=y-b BN=x

(y-b)/x=k откуда

y=k*x+b - уравнение прямой с угловым коэффициентом.

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку,с данным угловым коэффициентом

Дано: y=k*x+b - уравнение прямой. M(x₁,y₁) – точка на данной прямой.

Поскольку x₁,y₁ – координаты точки на прямой - y₁ = k * x₁ + b :

b = y₁ - k * x₁ .

Подставив данное соотношение в уравнение прямой получим:

y = k*x + y₁ - k * x₁ или y - y₁= k*(x - x₁) - уравнение прямой,

проходящей через данную точку и имеющей

угловой коэффициент “k”.

2. Уравнение прямой, проходящей черездве данныеточки

M₁(x₁,y₁) M₂(x₂,y₂) – две точки, через которые проходит заданная прямая y=k*x+b.

y₁ = k * x₁ + b y = k*x + y₁ - k * x₁

y₂ = k * x₂ + b y = k*x + y₂ - k * x₂

k*x + y₁ - k * x₁ = k*x + y₂ - k * x₂ y₁ - k * x₁ = y₂ - k * x₂

y₂ - y₁ = k * ( x₂ - x₁ ) откуда:

Угловой коэффициент равен k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)

При условии, что y₂  y₁ и x₂  x₁ данное уравнение можно записать в следующем виде:

(y – y₁)/(y₂ – y₁) = (x – x₁)/(x₂ – x₁)

3. Уравнение прямой, проходящей черездве данныеточки, если y₁=y₂

y = y₁

4. Уравнение прямой, проходящей черездве данныеточки, если x₁=x₂

x = x₁