2003_-_Gmurman__TV_i_MS

т. е. выборочная средняя есть средняя взвешенная зна­ чений признака с весами, равными соответствующим ча­

стотам.

3 а м е ч а н и е. Выборочная средняя, найденная по данным одной

выборки, есть, очевидно, определенное число. Если Же извлекать другие выборки того же объема из тсй же генеральнсй совокупности,

то выборочная средняя будет изменяться от выборки к выборке.

Таким сбразом. выборочную среднюю можно рассматривать как слу­ чайиую веJ1ИЧИНУ, а следовательно. можно говорить о распределениях (теоретическом и эмпирическом) выборочной средней и о ЧИСJ10ВЫХ

характеристиках этого распределения (его называют выборочным).

вчастности о математическом ОЖИДаНии и дисперсии выборочного

распредеJlення.

Заметим, что в теоретических рассуждениях выборочные значения Х1, xs , .•• , Хn признака Х. полученные в итоге

независимых наблюдений, также рассматривают как слу­ чайные величины X 1 • Ха' ... , Хn' имеющие то же распре­

деление и, следовательно, те же числовые характеристики.

которые имеют Х.

§ 5. Оценка генеральной средней по выборочной

средней. Устойчивость выборочных средних

Пусть из генеральной совокупности (в резуль-

тате независимых наблюдений над количественным при­

знаком Х) извлечена повторная выборка объема n со

значениями признака X 1 • Ха, ••• , Хn' Не уменьшая общ­

ности рассуждений, будем считать зти значения признака

различными.	Пусть генеральная средняя ХГ неизвестна
и требуется	оценить ее по данным выборки. В каче­

стве оценки генеральной средней принимают выборочную

среднюю

Убедимся, что хв-несмещенная оценка, т. е. покажем.

что математическое ожидание зтой оценки равно Хг• Будем

рассматривать х	в	как случайную величину и X			1	• X	s	'	.•• ,	Х	n
									u
как независимые,		одинаково		распределенные		случаиные
величины X 1 , X s ' ... ,			ХN• Поскольку 3ТИ величины оди­
наково распределены,			то они	имеют одинаковые числовые

характеристики, в частности одинаковое математическое

ожидание, которое обозначим через а. Так как матема­

тическое ожидание среднего арифметического одинаково

распределенных случайных величин равно математичес-

201

кому ожиданию каждой из величин (см. гл. VHI,	§ 9), то
М (ХВ) = м [(Х1 + Ха + ... + Хn)/n] =а	(*)

Приняв во внимание, что каждая из величин ХН XjI' ..•

. .. , ХN имеет то же распределение, что и генеральная совокупность (которую мы также рассматриваем как слу­

чайную величину), заключаем, что и числовые характе-

u

ристики этих величин И генеральнои совокупности оди-

наковы. В частности, математическое ожидание а каждой

из величин равно математическому ожиданию признака Х

генеральной совокупности, т. е.

М (Х)=ХГ =а.

Заменив в формуле (*) математическое ожидание а на Хг,

окончательно получим

м (ХВ) =Хг•

Тем самым доказано, что выборочная средняя есть не­

смещенная оценка генеральной средней.

Легко показать. что выборочная средняя является и

состоятельной оценкой генеральной средней. Действи­ тельно, допуская, что случайные величины Хl' Х2, ••• , ХN

имеют ограниченные дисперсии, мы вправе применить

к этим величинам теорему Чебышева (частный случай),

в силу которой при увеличении n среднее арифметическое

рассматриваемых величин, т. е. Х., стремится по веро­

ятности к математическому ожиданию а каждой из величин, или, что то же, к генеральной средней ХГ (так как

ХГ =а).

Итак, при увеличении объема выборки n выборочная

средняя стремится по вероятности к генеральной средней,

а это и означает, что выборочная средняя есть состоятель­

ная оценка генеральной средней. Из сказанного следует

также. что если по несколькнм выборкам достаточно боль­

шого объема из одной и той же генеральной совокупности

будут найдены выборочные средние, то они будут при­

ближенно равны между собой. В зтом и СОС10ИТ свойство

устойчивости выборочных средних.

Заметим, что если дисперсии двух одинаково распре­

деленных совокупностей равны между собой, то близость

выборочных средних к генеральным не зависит от отно­

шения объем~ выборки к объему генеральной совокуп­

ности. Она зависит от объема выборки: чем объем выборки

202

больше, тем меньше выборочная средняя отличается от

генеральной. Например, если из одной совокупности ото­

бран 1% объектов, а из другой совокупности отобрано

4 % объектов, причем объем первой выборки оказался

большим, чем второй, то первая выборочная средняя бу­

дет меньше отличаться от соответствующей генеральной средней, чем вторая.

З а м е Ч а н и е. МЫ предполагали выборку повториой. Одиако

полученные выводы применимы и для бесповторной выборки, если ее

объем значительно меиьше объема генеральной совокупности. Это по­

ложеиие часто нспользуется на практике.

§ 6. Групповая и об~ая средние

Допустим, что все значения количественного при­

знака Х совокупности, безразлично-генеральной или вы­

борочной, разбиты на несколько групп. Рассматривая

каждую группу как самостоятельную совокупность, можно

найти ее среднюю арифметическую.

Групповой средней называют среднее арифметическое

8начений признака, принадлежащих группе.

Теперь целесообразно ввести специальный термин для

средней всей совокупности.

Общей средней х называют среднее арифметическое

значений признака, принадлежащих всей совокупности. Зная групповые средние и объемы групп, можно найти

общую среднюю: общая средняя равна средней арифмети­

ческой груnnовы.х средних, взвешенной по объемам групп.

Опуская доказательство, приведем иллюстрирующий

пример.

Пример. Найти общую среднюю совокупиости, состоящей и.:l \..Ie-

дующих двух групп:

Группа	..... •••				первая		вторая	5
Значение	признака •			• •	1	6	1
Частота	.	• •	• . .	••	10	15	20	30
Объем .	.	• .	• . •	• 10+ 15=25			20+30=50

Реш е н и е. Найдем групповые средние:

Xl = (10· 1+ 15·6)/25 = 4;

х,.= (20·1 + 30·5)/50=3,4.

Найдем общую среднюю по групповым средним:

х= (25.4 + 50.3,4)/(25 + 50) = 3,6.

З а М е ч а н и е. Для упрощения расчета общей средней совокуп­

ности большого об1 ема целесообразно разбить ее на несколько групп,

най гн групповые средиие и по ним общую среднюю.

203

§ 7. Отклонение от общей средней и его свойство

Рассмотрим совокупность, безразлично-гене­ ральную или выборочную, значений количественного при­ знака Х объема n:

значения	признака	X 1	XjI	•••	Xk
частоты	...	n1	n2	•• ,	nk

k

При 9ТОМ ~ n , = n. Далее для удобства записи знак сум-

1= 1

k

МЫ ~ заменен знаком~.

1 = I

Найдем общую среднюю:

Х = (~n,x,)/n,

Отсюда

Заметим, что поскольку х-постоянная величнна, то

~n,X =x~n,=nx,		(**)
Отклонением называют разность Х,-Х		между значе­
нием признака и общей средней.
Теорема. Сумма произведений отклонений на соответ­
ствующие частоты равна нулю:
~n,(x,-x)=O.
Д о к а 3 а те л ь с т в о. Учитывая	(*) и	(-Н), получим
~n, (х,-х) = ~n'Хi-~n'Х =	nх-nх= О.

С л е Д с т в и е. Среднее значение отклонения равно нулю.

Действительно,

(~n, (Х, -Х»/>'; n, = О/n = О.

Пример. Дано распределение количественного "ризнака Х:

х, 1 2 3

1t , 10 4 6

Убедиться, что суммз произведений отклонений из соответствующне

частоты равна нулю.

Реш е и н е. Найдем общую среднюю:

х = (10· 1+ 4·2 +6.3)/20= 1,8.

Найдем сумму произведений отклонеиий на соответствующие

частоты'

~ It; (Х, - Х) = 10 (1-] ,8)+4 (2-1,8)+6 (3-1,8) =8-8=0.

204

§ 8. Генеральная дисперсия

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние зна­ чений количественного признака Х генеральной совокуп­

ности вокруг своего среднего значения. вводят сводную

характеристику - генеральную дисперсию.

Генеральной дисперсией D r называют среднее арифме­

тическое квадратов отклонений значений п~изна~а гене­

ральной совокупности от их среднего значения ХГ'

Если все значения Х1 Х2• •••• XN признака генеральной

совокупности объема N различны. то

D r = (± (Х,-Хг)2)/N.

	1= 1
Если же значения	признака	Х1•	Х2, ••• , Xk имеют
соответственно частоты	N 1 • N".	. ..•	N k • причем N 1 +
+ N a + ... +Nk=N, то

Dr=(± N;(Xi-Хг)2)/N.

е= 1

т. е. генеральная дисперсия есть средняя взвешенная

квадратов отклонений с весами, равными соответствую­

щим частотам.

Пример. Генеральная совокупность задана таблицей распреде­

ления

5 6

10 3

Найти генеральную дисперсию.

Реш е н и е. Найдем генеральную среднюю (см. § 3):

-	8·2+9·4+ 10·5+3·6	120
Хг =	8+9+10+3	= 30 =4.
Найдем генеральную дисперсию;
8.(2-4)2 +9. (4- 4)" + 10· (5-4)2 +3· (6- 4)'			1,8.
Dr =	30	=54/30 =

~pOMe дисперсии для характеристики рассеяния зна­ чений признака генеральной совокупности вокруг своего

среднего значения пользуются сводной характеристикой­

средним квадратическим отКлонением.

Генеральным средним квадратическим отклонением

(стандартом) называют квадратный корень из генераль­ ной дисперсии:

205

§ 9. Выборочная дисперсия

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние

наблюдаемых значений количественного признака выборки

вокруг своего среднего значения ХВ• вводят сводную характе­

ристику - выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией D B называют среднее арифме­ тическое квадратов отклонения наблюдаемых значений

признака от их среднего значения Хв.

Если все значения Х1• Х2• "',ХN признака выборки

объема n различны, то

D B= (± (Xj - Хв)2)/n.

	t ... l
Если же значения	признака X 1 •	Х2• • •• ,	X/r имеют со­
ответственно частоты	nн n.. • •.• nk. причем n1 + n. + ...
•.• +n/r=n. то	(~ n; (Xi - Х	}2)/n.
D =
B	в
	1= 1
т. е. выборочная дисперсия есть		средняя	взвешенная

квадратов отклонений с весами, равными соответствую­

щим частотам.

Пример. Выборочная совокупность задана таблицей распре­

деления

Х;	1	2	3	4
n,	20	15	10	5

Найти выборочную дисперсню.

Реш е н и е. Найдем выборочиую среднюю (см. § 4):

- _20.1 + 15.2+		10.3+5.4	100_2
ХВ -	20+ 15+	10+5	50 - .
Найдем выборочную дисперсию:
20 (1-2)1+ 15.(2-2)11+ 10.(3-2)"+5.(4-2)2				=
D B =		50

=50/50= 1.

l(poMe дисперсии для характеристики рассеяния зна­ чений признака выборочной совокупности вокруг своего

среднего значения пользуются сводной	характеристи­
кой - средним квадратическим отклонением.
Выборочны"м средни"м квадратическuм	отклонение"м

(стандартом) называют квадратный корень из выбороч­

ной дисперсии:

206

§ 10. Форму.118 для вычисления дисперсии

Вычисление дисперсии, безразлично-выборочной

или генеральной, можно упростить, используя следую­

щую теорему.

Теорема. дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат общей средней:

				D= х2 _[Х]II.
Д О К а 3 а т е л ь с т в о.					Справедливость				теоремы выте­
кает из	преобразований:
	D=~ni(Хi-Х)1I =				~nl(хf-2Хiх+[ХJ2}_
			n				n
~nixl		-	~'ЧХI		-	~nl	-	-	-	-
:%	n 1	-2х	n	+ [Х]2		n =	х'- 2х.х+ [Х]2 =-

=Х2_[Х]2.

Итак,

D=xS-[х]s.

где x~(~n,xNn, x2=(~n/~)/n,

Пример. Найти дисперсию по данному распределе~иIO

Xj

nj

1 2 3 4

20 15 10 5

Реш е н и е. Найдем общую среднюю:

-	20·1+15.2+10.3+5.4 100
Х=	20+ 15+ 10+5	= 50 =2.

Найдем среднюю квадратов значений признак.!!

-	= 20.11+ 15.22+ 10.32+5.42 =5	•
Х2	50

Искомая дисперсня

§11. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая

иобщая дисперсии

Допустим, что все значения количественного

признака Х совокупности, безразлично-генеральной или

выборочной, разбиты на k групп. Рассматривая каждую

группу как самостоятельную совокупность, можно найти

групповую среднюю (см. § 6) и дисперсию значений при-

207

u

зн ака, принадлежащих группе, относительно групповои

средней.

Групповой дисперсией называют дисперсию значений

признака, принадлежащих группе, относительно группо­

вой средней

Djrp = (~n; (Xj-Xj)2)/Nj ,

где nj-частота значения Xj; j-номер группы; Xj-rpyn-

повая средняя группы j; Nj = ~ni-объем группы j.

Пример 1. Найти групповые дисперсни совокупности, состоящей

ИЗ CJJедующих двух групп:
Первая	группа	Вторая	группа
Xj	nj	Х;	nj
2	1	3	2
4	7	8	3
5	2

Nl=~nj=lO N9=~nj=5

Ре m е н и е. Найдем групповые средние:

Хl= (~njXj)/~ni= (1.2+ 7 .4+2.5)/10= 4;

Х2 = (2.3+3 .8)/5=6.

Найдем искомые групповые дисперсии:

D 1rp = (~nj(Xj -Xl)2)1N1 =

= (1. (2- 4)2 + 7. (4- 4)9 +2. (5- 4)2)/10= 0,6;

D2rp = (2. (3-6)2 +3. (8-6)2)/5= 6.

Зная дисперсию каждой группы, можно наитиu их

среднюю арифметическую.

Внутригрупповой дисперсией называют среднюю ариф­

метическую дисперсий, взвешенную по объемам групп:

	D BHfP =	(~NjDjrp)/n,
		.	k
где Nj-объем группы		j; n =	~ Nj-объем	всей сово-
			i=1
купности.
Пример 2.	Найти внутригрупповую дисперсию по даиным при­
мера 1.
Реш е н и е.	Искомая внутригрупповая дисперсия			равна

D BHrp = (N1D 1rp + N 9D9rp)/n = (10.0,6+ 5.6)/15= 12/5.

Зная групповые средние и общую среднюю, можно найти дисперсию групповых средних относительно общей

средней.

208

МежгРУnnО80Й дисперсией называют дисперсию груп­

повых средних относите.I1ЬНО общей средней:

Dмежгр = (~Nj (Xj - х}2}/n,

где хj-групповая средняя группы j; Nj-объем группы j;

k

х-общая средняя; n = ~ Nj-объем всей совокупности.

i=1

Прнмер 3. Найти межгруппсвую дисперсию по данным при­

мера 1.

Реш е н и е. Найдем Общую среднюю:

_	~ njxj 1.2+7.4+2.5+2.3+3.8		14
Х= ,_		15	=3'
	~n;
Используя	вычислеиные выше величины Xl =		4, XjI = 6, найдем

искомую межгрупповую дисперсию:

10.(4-14/3)2+5.(6-14/3)2	8
15	11'

Теперь целесообразно ввести специальный термин для

u

дисперсии всеи совокупности.

Общей дисперсией называют дисперсию значений при­ знака всей совокупности относительно общей средней:

Dобщ= (~n; (Xj-x)2)/n,

где nj-частота значения Xj; х-общая средняя; n-ооъем

всей совокупности.

Прнмер 4. Найти сбщую дисперсию по данным примера 1.

Реш е н и е. Найдем искомую общую дисперсию, учитывая, что

общая средняя равиа 14/3:

Dобщ=	1·	(2- 14/3)2 + 7· (4- 14/3)2 -1- 2· (5- 14/3)2		+
		15
+		2.(3-14/3)2+3.(8-14/3)11	148
		15	45 .

3 а м е ч а н и е. Найденная общая дисперсия равна сумме внутри­

групповой и межгрупповой дисперсий:

Dобщ = 148/45;

Dвнгр+Dмежгр= 12/5+8/9= 148/45.

В следующем параграфе будет доказано, что такая закономерность

справедлива для любой совокупности.

14 - 2730

209

§ 12. Co/Iожение дисперсий

Теорема. Если совокуnн.ость состоит из несколь­

IШХ групп, то общая дисперсия равна сумме внутригруп­

повой и межгруnnовой дисперсий:

Dобщ = D OHrP + Dмежгр'

Д О К а з а т е л ь с т в о. Для упрощения доказательства предположим, что ВСЯ совокупность значений количест­ венного признака Х разбита на две следующие группы:

Группа ........	первая			вторая
Значение признака·	X 1		Х2	Х1	ХII
Частота ...... • .	m1		тll	n1	nll
Объем группы ..... N 1 =~l+т,.				N. n1 +n2
Групповая средняя . .	Х1			ХII
Групповая дисперсия ..	D	lrP		D llrp
Объем своей совокупности n =	N 1 + N 11
					2

далее для удобства запнси вместо знака суммы ~

1= 1

2

пишется знак~. Например, ~ml= ~mi=ml+ml =N1.

{= 1

Следует также иметь в виду, что если под знаком

суммы стоит постоянная величина, то ее целесообразно

выносить З8 знак суммы. Например, ~т; (X1 -X)2 =

= (x1 - х)2 ~ т{ = (х1-х)2 N l'

Найдем общую дисперсию:
Dо6щ= (~т; (х{-Х)2 + ~ n; (x;-х)lI)jn.	(*)

Преобразуем первое слагаемое числителя, вычтя и при­ бавив Х1:

~mi (Xi- X)2 = ~mi [(Xt-Xl)+ (х1-х)]2 =

= ~m; (Xj- х1)1I +2 (х1- Х) ~mi (Xj-x1)+ ~mi{xl- Х)2.

Так как

~mj (Х;- х1)1I = N lDпр

(равенство следует из соотношения D1rp=(»пi'(Хj-х1)2)/N1)

и в силу § 7

210