2003_-_Gmurman__TV_i_MS

Если Uнаб.1l >-И"р-нет оснований отвергнуть нуле­

вую гипотезу.

Если U наб.1l < -икр-нулевую гипотезу отвергают.

Пример. Из первой партии изделий извлечеиа выборка объема nl = 1000 изделий, причем ml = 20 изделий оказаJIИСЬ бракованиыми; из второй партии извлечена выборка объема n = 900, причем та = 30

изделий оказались бракованными. При уровне значимости а.=О,О5

проверить нулевую гипотезу

Но: Pl =

Р2 = Р О

равеистве вероятиостей

появления

брака

в

обеих

партиях при

конкурирующей

гипотезе

H t : Р! ':ftР2·

Реш е н и е. По

условию,

конкурирующая

гипотеза

имеет вид

Рl ::j:: Р2,

поэтому

критическая область - двусторонняя.

Найдем

наблюдаемое значение критерия:

и

... ;- т!+ т2

тl/nl- т2

/n2

1 + 1 )

наБJl=

(1 _

т!+

т2) (

У

nl +n2

nl +n2

nl

nв

Подставив данные задачи

и

выполнив

вычисления,

получим

и 11з1\.11 =

-1,81.

Найдем критическую точку:

Ф (икр)= (1 -а.)/2 = (1-0,05)/2=0,475.

По таблице функции Лапласа (см. приложение 2)

находим икр = 1,96.

Так

как I инаБJl I < икр - нет оснований

отвергнуть

нулевую ги­

потезу.

Другими

словамн,

вероятности

получения

брака

в обеих

партиях различаются незначимо.

3 а м е ч а н и е. для увеличения точности расчета вводят так

называемую поправку на непрерывность, а именно вычисляют наблю­

даемое значение критерия по формуле

инаб.1l =	[тl/nl-I/2nl]-[т2/n2+1/2n2]
	... ;- ml + т2		(1 _тl+ т2) (_1+_1) •
	У	nl +n2	nl +n2	nl	n2
В рассмотренном	примере по этой формуле			получим	1. инаб.1ll = 1,96.
посколы<y и икр = 1,96,		необходимо пров€сти дополнительные испыта­

ния, причем целесообразио увеличить объем выборок.

П о я с н е н и е. Случайные величины М1 и М2 рас­

пределены по биномиальному закону; при достаточно

большом объеме выборок их можно считать приближенно

нормальными (практически должно выполняться неравен­

ство npq> 9), следовательно, и			разность	и' =	M1/n1 -
- М2/n2	распределена	приближенно нормально.
Для	нормирования	случайной	величины	и'	надо вы­

честь из нее математическое ожидание М (И') и разделить

результат на среднее квадратическое отклонение (] (и').

Покажем, что М (И') = О. Действительно, М (М1) =

= n1Pl (см. гл. УII, § 5, замечание); при справедливости

21

273()

321

нулевой гипотезы (Рl = Р2 = Р) м (М1) = n1р и аналогично

М (М2) = n2р. Следовательно,

М (И') = М [~] -М [М2] =...!... М (M		1 ) __1М (М		) =
nl	n 2 nl	n2	2

1

= - n n 1

	I		р=О.
	р--n
1	n2	2

Покажем, что среднее квадратичесн:ое отклонение

	о' (И') =		V Р Р-Р) [(I/fll) + (1/n 2 )].
Действительно,			дисперсия			D (M1) =		n1 P1	(1- Рl) (см.
гл. VII 1,	§ 6,	замечание);			при	справедливости				нулевой
гипотезы	(Рl =	Р2 =- р)		D (М1) =		n1р (l-р) и			аналогично
D (М2) =	n2р (l-p). Следовательно,
D (И') = D [М1			-	М21 =-;'D (М			) +~D (М			) =
		nl		n2	nl	1		n2	2
= ~ n	1р (l-р) +~n2P (l-p) =р (l-р) (_1 + _1).
nl			n2						nl	n2
Отсюда среднее квадратическое						отклонение
	о' (И') =		Vр (l-р) [1/n 1 ) +(1/n 2 )].
Итак.	случайная величина U = (и' -М (и'»/О' (и') (см.

формулу (*» нормирована и поэтому М (И) = о и о' (И) = 1.

§ 20. Сравнение нескольких дисперсий

нормальных генеральных совокупностей

по выборкам различного объема.

Критерий Бартлетта

Пусть генеральные совокупности Х1, Х2• ••• , Х,

распределены нормально Из этих совокупностей извле­ чены нез~висимые выборки, вообще говоря, различных

объемов n1 , n2 • • ••• n, (некоторые объемы могут быть

одинаковыми; если все выборки имеют одинаковый объем,

то предпочтительнее пользоваться критерием Кочрена,

который описан в следующем параграфе). По выборкам

найдены исправленные выборочные дисперсии S~. S~, .•• , S~.

Требуется по исправленным выборочным дисперсиям

при заданном уровне значимости а. проверить нулевую

гипотезу, состоящую в том, что генеральные дисперсии

рассматриваемых совокупностей равны между собой:

Но: D (Х1) = D (Хи) = ... = D (Х1)'

322

Другими словами, требуется установить, значимо

или незначимо различаются исправленные выБОРОЧdые

дисперсии.

Рассматриваемую здесь гипотезу о равенстве несколь­ ких дисперсий называют гипотезой об однородности

дисперсий.

Заметим, что числом степеней свободы дисперсии 5t2 на­

зывают число k j =n[-I. т. е. число, на единицу MeHЬ~

шее объема выборки, по которой вычислена дисперсия.

Обозначим через 52 среднюю арифметическую исправ­

ленных дисперсий, взвешенную по числам степеней

свободы:

1

где k= ~ k j •

(= 1

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы

однородности дисперсий примем критерий Бартлетта

случайную величину

05

-

	где	-= ± k[ 19 sr] ,
	v= 2,303 rk 1952
	l	1.1
	С=1 + 3(1~1)	[t+1 -i +].
		1=
	Бартлетт установил, что	случайная величина В при
		v

условии справедливости нулевои гипотезы распределена

приближенно		как '1.:1. с l - 1 степенями свободы, если все
kl	>2. Учитывая, что kj=nj-l,		заключаем, что n/-
-	1 > 2, или	n/ > 3, т. е. объем	каждой из выборок
должен быть		не меньше 4.
	Критическую область строят правостороннюю, исходя
из	требования, чтобы вероятность попадания критерия
в	эту область	в предположении справедливости нулевой

гипотезы была равна принятому уровню значимости:

Р[В >X~p(a; 1-1)]=a.

Критическую точку Х:р (а; 1-1) находят по таблице

приложения 5, по уровню значимости а и числу степеней

21*

323

свободы k = 1- 1, и тогда правосторонняя критическая

область определяется неравенством 8 > X~p, а область принятия гипотезы-неравенством 8 < X~p.

Обозначим значение критерия Бартлетта, вычис-ленное

по данным наблюдений, через 8НаБJl И сформулируем пра­

вило проверки нулевой гипотезы.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне зна­ чимости а проверить нулевую гипотезу об однородности

w	u
дисперсии нормальных	совокупностеи, надо вычислить

наблюдаемое значение крит~рия Бартлетта 8 = V/C и по

таблице критических точек распределения х2 найти кри­

тическую точку X~p (а; [-1).

Если 8На6J1 < X~p-HeT оснований отвергнуть нулевую

гипотезу.

Если 8ИаБJl > х~р-нулевую гипотезу отвергают.

3 а м е ч 8 н И е 1.	Не следует ТОР9ПНТЬСЯ вычислять постояи­
ную С. Сначала надо	найти V и сравнить с Х:р; если окажется, что

V < X~p, то подавно (так как С > 1) в = (V/C) < X~p н, следовательно,

С вычислять не нужно.

	Если же V > X~p,					то надо вычислить С и затем сравнить В с ~p.
3 а м е ч а н и е					2.	Критерий		Бартлетта		весьма чувствителен
к отклонениям распределеиий от нормальиого,										поэтому к			выводам,
получеииым по этому						критерию,		надо	относиться с			осторожностью.
												Таблица 25
1		2		3		4	5		6			7	8
				Число		Дне.
Номер		Объем	степе-
						пер·
вы-		вы-		иеil			kiS~		Igs~	k		19 s~	I/k j
						ени					i
бог	ки	борки		ево-
		nl		боды		52
				k i		i
1		10		9		0,25	2,25		1,3979	6,5811
		\
2		13	1	12		0,40	4,80		1,6021	5,2252\
					I0,36
3		15		14			5,04		1,5563	7,7822
4		16		15		0,46	6,90		1,6628	I 6,9420
}:			k=50/				18,99		I	122'5305

324

Пример. По четырем независимым выборкам, объемы которых

соответственно равиы nl=IO, n 2 =12, n,=15, n4=16, извлечениым

нз иормальных геиеральных совокупиостей, найдены исправленные

выборочные дисперсии, соответственно равные 0,25; 0,40; 0,36; 0,46. При уровне зиачимости 0,05 проверить гипотезу об однородиости

дисперсий (критн ческая область - правосторонняя).

Реш е н и е. Составим расчетную табл. 25 (столбец 8 пока запол­

нять	ие будем, поскольку еще неизвестно, понадобится ли вычис­
лять	С).

Пользуясь расчетной таблиuей, найдем:

$"2 = (~kiS~)/k= 18,99/50=0,3798;								Ig 0,3798= r.5795;
v =2,303 [k Ig S2_~ kj Ig sn						= 2,303 [50.1,5795-22,5305] = 1,02.
По таблице		приложения 5,				по уровию		значимости 0,05		и числу
степеней	свободы		1-1 = 4-1 =3				находим		критическую	точку
X~P (0,05;	3) = 7,8.
Так	как V < Х:р, то				подавно (поскольку С> 1) Виа6.. =(V/С) <
< Х:Р и,	следовательно,				отвергнуть		иулевую гипотезу об однородно­
сти дисперсий		нет	оснований. Другими словами, исправленные вы­
борочные дисперсии различаются иезначимо.
3 а м е ч а и и е 3.				Если требуется оценить					генеральиую диспер­
сию, то при условии				ОДНОРОДНо~~и дисперсий целесообразио						прииять

в качестве ее оценки среднюю арифметическую исправлеиных диспер­

сий, взвешениую по числам степеией свободы, т. е.

:;2 = (~kjs~)/k.

Например, в рассмотреиной задаче в качестве оцеики генеральной

дисперсии uелесообразно принять 0,3798.

§ 21. Сравнение нескольких дисперсий нормальных

генеральных совокупностей по выборкам одинаковоrо объема. Критерий Кочрена

Пусть генеральные совокупности Хl' Х2• ••• ,

Х1 распределены нормально. Из этих СОВОКУПНОС1ей из­

влечено	1 независимых			выборок о д и н а к о в о г о о б ъ е­
м а n и	по	ним найдены исправленные выборочные дис-
лерсии	2	2	2	u
	Sl' 52' •.•• ,		51.	все с одинаковым числом степенеи
свободы k =		n-l.

Требуется по исправленным дисперсиям при заданном

уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, со­

стоящую в том, что генеральные дисперсии рассматрива­

емых совокупностей равны между собой:

Но: D (X~) = D (Х2) ==" ••• = D (Х,).

Другими словами, требуется проверить, значимо или незначимо различаются исправленные выборочные дис­

персии.

325

нятия нулевой гипотезы-неравенством

В рассматриваемом случае выборок одинакового объ­

ема можно по критерию Фишера-Снедекора (см. § 8).

сравнить наибольшую и наименьшую дисперсии; если

окажется, что различие между ними незначимо, то по­

давно незначимо и различие между остальными диспер­

сиями. Недостаток этого метода состоит в том, что ин­

формация, которую содержат остальные дисперсии, кроме

наименьшей и наибольшей, не учитывается.

Можно также применить критернй Бартлетта. Однако,

как указано в § 20, известно лишь при б л и ж е н н о е

распределение этого критерия, поэтому предпочтительнее

использовать криrерий Кочрена, распределение которого

u

наидено т о ч н о.

Итак, в качестве критерия проверки нулевой гипо­

тезы примем критерий Кочрена -отношение максималь­

ной исправлеННQЙ дисперсии к сумме всех исправленных

дисперсий:

а = S~ax/($: +S~+ ... +S1).

Распределение этой случайной величины зависит только

от числа степеней свободы k = n -1 и количества выбо­

рок [.

Критическую область строят правостороннюю, исходя

из требования, чтобы вероятность попадания критерия

в эту область в предположении справедливости нулевой

гипотезы была равна принятому уровню значимости:

р га> акр (а; k, 1)] = а.

Критическую точку акр (а; k, 1) находят по таблице

приложения 8, и тогда правосторонняя Крlfтическая об­ ласть определяется неравенством а > акр, а область при­

0< GKp •

Обозначим значение критерия, вычисленное по дан­

ным наблюдений, через GН.аБJl и сформулируем правило

проверки нулевой гипотезы.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне зна­

чимости а проверить гипотезу об однородности диспер­

сий нормально распределенных совокупностей, надо вы­ числить наблюдаемое значение критерия и по таблице

u

наити критическую точку.

Если GНаБJl < акр-нет оснований отвергнуть нулевую

гипотезу.

Если G наБJl >- Gир-нулевую гипотезу отвергают.

326

3 а м е ч а н и е. Если требуется оценить генеральную дисперсию,

то при условии однородности дисперснй целесообразно принять в ка­

честве ее оценки среднюю арифметическую исправленных выбороч­ ных дисперсий.

Пример. По четырем независимым выборкам одинакового объема n = 17, извлеченным нз нормальных генеральных совокупностей, иай­

дены исправленные дисперсии: 0,26; 0,36; 0,40; 0,42. Требуется: а) при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об одно­

родности генеральных дисперсий (критическая областьправосторон­ няя); б) оценить генеральную дисперсию.

Реш е н и е. а) Найдем наблюдаемое значение критерия Кочре­

на - отношение максимальной нсправленной дисперсни к сумме всех дисперсий:

GнаБJl =0,42/(0,26+0.,36 +0,40 +0,42) = 0,2917.

Найдем	по таблице приложения 8,	по уровню значимости 0,05,			числу
степеней	свободы k = 17 - ] = 16 и	числу	выборок l =	4 критическую
точку акр (0,05; 16; 4) =0,4366.
Так	как GнаБJl < акр- нет оснований		отвергнуть	нулевую	гипо­

тезу об однородиости дисперсий. другими словами, исправленные

выборочные дисперсии различаются незначимо.

б) Поскольку иулевая гипотеза справедлива, в качестве оцеикн

генеральной дисперсии примем среднюю арифметическую исправлен­

ных дисперсий:

02 = (0,26 + 0,36 +0,40 +0,42)/4 = 0,36.

§ 22. Проверка гипотезы о значимости

выборочного ко~ициента корреляции

Пусть двумерная генеральная совокупность (Х, У) распределена нормально. Из этой совокупности из­

влечена выборка объема n и по ней найден выборочный коэффициент корреляцин гВ' который оказался отлнчным

от нуля. Так как выборка отобрана случайно, то еще

нельзя заключить, что коэффициент корреляции генераль­

ной совокупности гг также отличен от нуля. В конечном счете нас интересует именно .этот коэффициент, поэтому

возникает необходимость при заданном уровне значи­

мости а. проверить нулевую гипотезу Но: гг = О о равен­

стве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Н1 :Гг =О.

Если нулевая гипотеза отвергается, то это означает,

что выборочный ко~ициент корреляции значимо отли­

чается от нуля (кратко говоря, значим), а х и У корре­ лированы, т. е. связаны линейной зависимостью.

Если нулевая гипотеза будет принята, то выбо­

рочный коэффициент корреляции незначим, а Х и У не­ коррелированы, т. е. не связаны линейной зависимостью.

327

В качестве критерия проверки иулевой гипотезы при-

ь

мем случаиную величину

Т=ГоVn-2/Vl-Г:.

Величина Т при справедливости нулевой гипотезы имеет распредеJIение Стьюдента с k = n-2 степенями свободы.

Поскольку конкурирующая гипотеза имеет вид r г:;06: О.

критическая область-двусторонняя; она строится так же. как в § 12 (первый случай).

Обозначим значение критерия. вычисленное по дан­

ным наблюдений, через ТНабll И сформулируем правило

проверки нулевой гипотезы.

Правило. Для того чтобы при заданном уровне зна­

чимости а проверить нулевую гипотезу Но: r г = О о ра­

венстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной'*' величины при конку­

рирующей гипотезе Н1: r г О, надо вычислить наблюда­

емое значение критерия:

тнабll= roVn-2/V1= г:

ипо таблице критических точек распределения Стьюдеита.

по заданному уровню значимости н числу степеней сво­

боды k = n-2 найти критическую точку tll.P (а.; k) для

двусторонней критической области.

<tll.p-нет оснований отвергнуть нуле­НаБJl

вую гипотезу.

Если! ТнаБJlI > tир-нулевую гипотезу отвергают.

Пример. По выборке объема n = 122, извлеченной нз нормальной

дпумерной совокупностн, иайден выборочный коэффициент корреля­

ции	'о = 0,4. При	уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипо­
тезу	о равенстве	нулю геиерального коэффициента корреляции при

конкурирующей гипотезе Н1: гг :1= О.

Реш е и и е. Найдем иаблюдаемое значение критерия:

Тиа6J1=ГВVn-2/VI_г:=О,4VI22-2/VI-О,42=4,78.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид гг :1= О, поэтому

критическая область - двусторонняя.
По уровню		значимости 0,05	и	числу степеней	CBO~ДЫ k =
= 122-2 =	120 находим по таблице		приложеии!, 6 для двусторонией
критической	области критическую 1'ОЧКУ tир (0,05; 120) =				1,98.
Поскольку		ТнаБJJ > 'ир-нулевую		гипотезу отвергаем. другими

словами, выборочный КОэффициеит корреляции значимо отличается от нуля, т. е. Х и У коррелированы.

328

§ 23. Проверка гипотезы о нормальном

распределении генеральной совокупности.

Критерий согласия Пиреона

В предыдущих параграфах закон распределения

генеральной совокупности предполагается известным.

Если закон расп ределения неизвестен, но есть осно­

вания предположить, что он имеет определенный вид

(назовем его А), то проверяют нулевую гипотезу: гене­

ральная совокупность распределена по закону А.

Проверка гипотезы о предполагаемом законе неизве­

стного распределения производится так же, как и про­

верка гипотезы о параметрах распределения, т. е. при

помощи специально подобранной случайной величины­

критерия согласия.

Критерие'м согласия называют критерий проверки ги­

потезы о предполагаемом законе неизвестного распреде­

ления.

Имеется несколько критериев согласия: х2 (<<хи квад­

рат:.) К. Пиреона, Колмогорова, Смирнова и др. Огра­ ничимся описанием применения критерия Пиреона к про­

верке гипотезы о нормальном распределении генеральной

совокупности (критерий аналогично применяется и для других распределений, в этом состоит его )!остоинство).

С этой целью будем сравнивать эмпирические (наблюда­ емые) и теоретические (вычисленные в предположении

нормального распределения) частоты.

Обычно эмпирические и теоретические частоты раз­

личаются. Например (см. гл. XVH, § 7):

эмп. частоты ..... 6 13 38 74 106 85 30 10 4 теорет. частоты... 3 14 42 82 99 76 37 11 2

Случайно ли расхождение частот? Возможно, что рас­

хождение случайно (незначимо) и объясняется либо ма­ лым числом наблюдений, либо способом их группировки,

либо другими причинами. Возможно, что расхождение

частот неслучайно (значимо) и объясняется тем, что тео­

ретические частоты вычислены исходя из неверной гипо­

тезы о нормальном распределении генеральной совокуп­

ности.

Критерий Пиреона отвечает на поставленный выше

вопрос. Правда, как и любой критерий, он не доказы­

вает сп раведливость гипотезы, а лишь устанавливает на

329

принятом уровне значимости ее согласие или несогласие

с данными наблюдений.

Итак, пусть по выборке объема n получено эмпири­

ческое распределение:

варианты ...... Xj

эмп. частоты ... n i n 1 n2 ... ns

Допустим, что в преДПQложении нормального распре­ деления генеральной совокупности вычислены теорети­

ческие частоты nс (например, так, как в следующем па­ раграфе). При уровне значимости а. требуется проверить

нулевую гипотезу: генеральная совокупность распреде­

лена нормально.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы при­ мем случайную величину

х2 = ~ (nj-ni)2/n'.	(*)
Эта величина случайная, так как в	различных опытах

она принимает различные, заранее не известные значе­

ния. Ясно, что чем меньше различаются эмпирические

и теоретические частоты, тем меньше величина критерия (*),

u

и, следовательно, он в известнои степени характеризует

близость эмпирического и теоретического распределений.

Заметим, что возведением в квадрат разностей частот

устраняют возможность взаимного погашения положи­

тельных и отрицательных разностей. Делением на n~ до­

стигают уменьшения каждого из слагаемых; в против­

ном случае сумма была бы настолько велика, что при­

водила бы к отклонению нулевой гипотезы даже и тогда,

когда она справедлива. Разумеется, приведенные сооб­

ражения не являются обоснованием выбранного крите­

рия, а лишь пояснением.

Доказано, что при n ~ 00 закон распределения слу­

чайной величины (*) независимо от того, какому закону

распределения подчинена генеральная совокупность, стре­

мится к закону распределения х..2 с k степенями свободы.

Поэтому случайная величина (*) обозначена через х2 , а

сам критерий называют критерием согласия «хи квадрат».

Число степеней свободы находят по равенству k =

= 5-1-г, где s-число групп (частичных интервалов)

выборки; г-число параметров предполагаемого распре­ деления, которые оценены по данным выборки.

В частности, если предполагаемое распределение-нор­

мальное, то оценивают два параметра (математическое

330