2003_-_Gmurman__TV_i_MS

терия проверки нулевой гипотезы принимают СJIучайную

величину

т = (Х-ао) vn/s.

где S-(исправленное» среднее квадратическое отклоне­ ние. Величина Т имеет распределение Стьюдента с k=n-l степенями свободы.

Критическая область строится в зависимости от вида

конкурирующей гипотезы. Поскольку зто делается так,

как описано выше, ограничимся правилами проверки

нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне зна­ чимости а проверить нулевую гипотезу Но: а = ао о ра­ венстве неизвестной генеральной средней а (нормальной совокупности с неизвестной дисперсией) гипотетическому

значениЮ ао при конкурирующей гипотезе Н1: а "1= ао,

надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

тнабll = (х-ао) Vri /s

ипо :rаблице критических точек распределения Стьюдента,

по заданному уровню значимости а, помещенному в верх­

ней строке таблицы, и числу степеней свободы k = n - 1

найти критическую точку tАВУСТ. кр (а; k).
Если Iтиабlll < tДВУСТ. кр-нет оснований	отвергнуть
нулевую гипотезу.
Если! ТВабll ! > tАИУСТ. ир-нулевую гипотезу отвергают.
Правило 2. При конкурирующей гипотезе	Н1: а > ао

по уровню значимости а, помещенному в нижней строке

таблицы приложения 6, и числу степеней свободы k=n-l

находят	критическую точку			tП1>аВОI:Т. кр (а; k)		правосто­
ронней критической облас~и.
Если	Тиабll < tправост. кр-нет оснований					отвергнуть
нулевую гипотезу.					гипотезе Н1: а < ао•
Правило 3. При конкурирующей
сначала	находят	(вспомогательную»			критическую		точку
tпраиост. I!JI (а; k) и полагают			границу		левосторонней		кри­
тической	области	tJlевоСТ. ир =	-	tправост. ир'
Если	Тнабll > -	tправост. крнет 'оснований				отвергнуть

нулевую гипотезу.

Если Тнаб.1l < -tправост. ир-нулевую гипотезу отвер­

гают.

Пример 3. По	выборке	объема n = 20,	извлеченной из нормаль­
ной генеральной	совокупности, найдены выборочная средняя х = 16
и ~исправленное»	среднее	квадратнческое	отклонение S = 4,5. Тре-

311

буется при уровне зиачимости 0,05 проверить нулевую гнпотезу

Но:а=ао = 15, при конкурирующей гипотезе Н1 :а t= 15.

Реш е н и е. Вычислим наблюдаемое значение критерия;

ТиаБJl =(х-ао) УпIS=(16-15). Jf2O/4,5=O,99.

По условию, конкурирующая Гипотрза имеет вид а i= ао, поэтому

крнтическая область -двусторонняя.

По таблице КРИТtlческих точек распределения Стьюдента, по

уровию значимости а = 0,05, помещенному в верхней строке таблицы,

и по числу	степеией	свободы k = 20-1 = 19 находим критическую
точку 'ДВУСТ.КР (0,05;		19)=2,09.
Так как	I тнаБJlI	< t двуст. кр - нет оснований, чтобы отвергнуть

нулевую гипотезу; выборочная средняя незначимо отличается от ги­

потетической генеральной средней.

§ 14. Связь между двусторонней критической

областью и доверительным интервалом

Легко показать, что, отыскивая двустороннюю

критическую область при уровне значимости а,. тем самым

находят и соответствующий доверительный интервал с

надежностью "1		= l-а..	Например, в § 13, проверяя ну­
Jlевую	гипотезу	Но: а =	ао при	Н1: а =1= ао,	мы	требовали,
чтобы	вероятность попадания			критерия	и =	(х-а) }lГn/a

в двустороннюю критическую область была равна уровню

значимостиа., следовательно, вероятность попадания кри­

терия	в область принятия гипотезы ( - икр,		иКР)	равна
1- а. = "1. Другими словами, с		надежностью	"1	ВЫПОЛ­
няется	неравенство
	- икр < (х-а) Vп/a < иир'
или равносильное неравенство
	о	о
	х-икр уп <а<х+икр уn'

rде Ф (иКР) = "1/2.

МЫ получили доверительный интервал для оценки

математического ожидания а нормального распределения

при известном а с надежностью "1 (см. гл. XVI, § 15).

3 а м е ч а и и е. Хотя	отыскание	двусторонней критической об­
ластн н доверительного	интервала	приводит к одинаковым резуль­

татам, их истолкование различно: двусторонияя крнтнческая область определяет границы (крнтнческие точки), между которыми заключено (l-a)% числа наблюдаемых критериев, иайденных при повторении опытов; доверительный же интервал определяет границы (концы ин­

тервала), между которыми в y=(l-a)% опытов заключено истнн­

ное значенне оценнваемого параметра.

312

§ 15. Определение минимального объема выборки при сравнении выборочной и гипотетической генеральноi средних

На практике часто известна величина (точность)

б > О, которую не должна превышать абсолютная велИ­

чина разности между выборочной и гипотетической гене­

раVIЬНОЙ средними. Например, обычно требуют, чтобы

~ ~

среднии размер изготовляемых деталеи отличался от про-

ектного не более чем на заданное б. Возникает вопрос:

каким должен быть минимальный объем выборки, чтобы

зто требование с вероятностью "1= l-а. (а.-уровень значимости) выполнялось?

Поскольку задача отыскания доверительного интервала

для оценки математического ожидания нормального рас­

пределения при известном (J и задача отыскания двусто­

ронней критической области для проверки ГI!потезы о равенстве математического ожидания (генеральной сред­

ней) гипотетическому значению (см. § 13, п. А) сводятся

одна к другой			(см. § 14), воспользуемся формулой	(см.
гл. XVI, § 15)
где ИКР находят по равенству Ф (ИКР) = "1/2 = (1-а.)/2.
Если	же	(J	неизвестно, а найдена его оценка	s, то
(см. § 13,	п.	Б)

§ 16. Пример на отыскание мощности критерия

Приведем решение примера на нахождение мощ­

ности критерия.

Пример. По выборке ооъt>ма n = 25, извлечениой из иормальной генеральной совокупцости с известцым средним квадратическим от­

клонением 0= 10, иайдеиа выборочцая средняя Х= 18. При уровне

значимости 0,05 требуется:

а) найти критическую область, если проверяется нулевая гипо­

теза Но: а = ао = 20 о равенстве генеральной средней гнпотетическому

значению при конкурирующей гипотезе Н1:а < 20;

б) найти мощность критерия проверки при ао = 16.

Реш е н н е. а) Так как конкурирующая гипотеза имеет вид а < ай, критическая область-левосторонняя.

,Пользуясь правнлом 3 (см. § 13, п. А), найдем критнческую точку:

икр = - J ,65. OIедовательно. левосторонняя критическая область оп-

313

ределяется неравеиством U < -1,65, или подробнее

(х-20) У25/10 < -1,65.

Orcюда х < 16,7.

При этих зиачеииях ..,!3ыборочноЙ средией нулевая гипотеза от-

вергается; в этом смысле х= 16,7 можио paccMaTplIBaTb как крити­ ческое значение выборочной средней.

б) для того чтобы вычислить мощность рассматриваемого кри­

терия, предварительно найдем его зиачение при условии справедли-

вости коикурнрующей гипотезы (Т. е. при ао= 16~, положив х= 16,7:

U =(х- ао) Уп/о=(16,7 -16) У25/IO=О,35.

Orсюда видно, что еслн 'i < 16,7, то U < 0,35. Поскольку при

'i < 16,7 нулевая гипотеза отвергается, то	и при U < 0,35 она также
отвергается (при этом конкурирующая гипотеза		справедлива, так
как'Мы положили ао= 16).
Найдем теперь, пользуясь функцией	Лапласа,	мощность крите­
рия. т. е. вероятность тoro, что нулевая	гипотеза	будет OTBeprHYTa.
если справедлива конкурирующая гипотеза (см. § 7):
р (и < О,35)=Р ( - 00 < и < 0,35)=Р (-00		< U < 0)+

+Р(О < и < О,35)=О,5+Ф (0,35)=0,5+0,1368=0,6368.

Итак, искомая мощность рассматриваемоro критерия прибли­

женио равна 0,64. Если увеличить объем выборки, то мощность

увеличится.

Например, при n=64 мощность равна 0,71. Если увеличить а, 1'0 МОЩНОСТ~ также увеличится. Например, при сх=О,1 мощность

равиа 0,7642.

З а м е ч а н и е. Зная мощность, легко найти вероятность ошибки

второго рода: ~ = 1-0,64. (Разумеется, прн решенин примера можно

было сначала иайти ~, а затем мощность, равную 1- ~.)

§ 17. Сравнение двух средних нормальных

генеральных совокупностей с неизвестными Аисперсиями (зависимые выборки)

В предыдущих параграфах выборки предпола­ гались независимыми. Здесь рассматриваются выборки

одинакового объема, варианты которых попарно зави­

симы. Например, если Xi (1 = 1, 2, ••. , n)- результаты

измерений деталей первым прибором, а у,- результаты измерений этих· же деталей, произведенные в том же по­

рядке	вторым прибором. то Х/ И У/ попарно зависимы и
в этом	смысле сами выборки зависимые. Поскольку, как:

правило, Х/ =PYi' то возникает необходимость установить,

значимо или незначимо различаются пары этих чисел.

Аналогичная задача ставится при сравнении Д в у х мето­

дов исследования, осуществленных о Д н ой лаборатори-

314

ей, или если исследование произведено о Д н и м и тем же

методом Д в у м я различными лабораториями.

Итак, пусть генеральные совокупности Х и У рас­

пределены нормально, причем их дисперсии неизвестны.

Требуется при уровне значимости tX проверить нулевую

гипщезу Но: М (Х) = М (У) о равенстве генеральных сред­

них нормальных совокупностей с нензвестными диспер-

сиями при конкурир-ующей гипотезе Н1: М (Х) =1= М (У) по

двум зависимым выборкам одинакового объема.

Сведем	эту задачу сравнения		Д в у х средних к задаче
сравнения	о Д н о й выборочной средней с гипотетическим
значением	генеральной	средней,	решенной в § 13, п. Б.
С этой целью введем в		рассмотренные случайные вели­
чины-разности D/=X/-Y, и			их среднюю

D =~Dl= ~(X'-Yi) = ~Xi_ ~Yi =х-У.

ппп n

Если нулевая гипотеза справедлива, т. е. М (Х) =М (У).

то М (Х)-М (У)=О и, следовательно,

М (D) =М (Х-У)=М (Х)-М (У)=О.

Таким образом, нулевую гипотезу Но: М (Х) """ м (у)

можно записать так:

Но:М (D)=O.

Тогда конкурирующая гипотеза примет вPlД

Н1:М (D) =1= О.

Э а м е ч а н и е 1. Далее	набmoдаемьre неслучайиые	разиости
X/-Yi будем обозначать через	d/ в отличие от случайных	разиостей

D/=Xj-Yl' Аиалогичио выборочиую среднюю этих разиостей ~dllll

обозначим через d в отличие от случайной величииы D.

Итак, задача сравнеиия двух	средних х и ii сведена к задаче
сравнеиия одиой выборочной средней iГ с гипотетическим			значение..
геиеральиой средней М (D) = ао = О.	Эта	задача решеиа ранее в § 13,
п. Б. поэтому приведем лишь правило проверки иулевой			гипотезы и
иллюстрирующий пример.
3 а м е ч а н и е 2. Как следует	из	изложенного выше, • фор­
муле (см. § 13, п. Б)

315

надо положить

x=d, ао=О, S=Sd= -V~dI2:~dI12In.

Тогда Тнабл=dУn/Sd'

Правило. Для того чтобы при заданном уровне зна~

чимости tX проверить нулевую гнпотезу Но:М (Х) =

=М (У) о равенстве двух средних нормальных совокуп­ ностей с неизвестнымн дисперсиями (В случае зависимых

выборок одинакового объема) при конкурирующей гипо­

тезе' М (Х) =;l= м (У), надо вычислить наблюдаемое зна­

чение критерия:

ТНабl1. = dVn/sd

Ипо таблице критических точек распределения Стьюдента,

по заданному уровню значимости а, помещенному в верх­

ней строке таблицы, и по числу степеней свободы k = n - l

найти критическую точку tдвуст. ир (tX; k).
Если	Iтнабл I < tCJ.ИУСТ. ир-	нет основаинй	отвергнуть
нулевую	гипотезу.
Если IтнаБJlI > tABYCT. ир-нулевую гипотезу отвергают.
Пример. Двумя приборами в оД'юм и том же порядке измерены
5 деталей	и получены следующие	результаты (В сотых	долях мил­

лиметра):

Хl=6, Х2=7, хз=8, х.=5, х6 =7; Yl=7, У2=6, уз=8, ус=7, У6=8.

При уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо раз­

личаются результаты измерений.

Реш е н и е. Вычитая из чисел первой строки числа второй,

получим: d1 =- I . d 2 =1, dЗ=О. d.=-2, d6 = - I .

Найдем выборочную среднюю:

d=.~di/n=(-l + 1 +0-2+-1)/5=-0,6.

Учитывая, что ~d~=I+I+4+1=7 и ~di=-3, найдем

«исправленное» среднее квадратическое отклонеиие:

Sd= .. /~dr-(~diРln =		... /7- 9/5= У'Т,3;
V	n-l	r 5-1

Вычислим наблюдаемое значение критерия:

Тнабл=d Yn/sd=-0,6 У5/ vт,з=-I,18.

ПО таблице критических точек распределеиия стьюдента, по уровню

8иачимости! 0,05, помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы k=5-1 =4 находим критичеСj(УЮ точку

'АВУСТ. кр (O,05i 4) ,"",2,78.

8]6

Так как IТнабll I < tдвуст.кр-нет основаиий отвергнуть нулевую

ГНПQтезу. Другими словами, результаты измерений различаются

незначимо.

§ 18. Сравненне наблюдаемой относите.льной

частоты с гипотетической вероятностью появления события

Пусть по достаточно большому числу n незави­

симых испытаний; в каждом из которых вероятность р

появления события постоянна, но неизвестна, найдена

относительная частота т/n. Пусть имеются основания

предполагать, что неизвестная вероятность равна гипоте­

тическому значению Ро' Требуется при заданном уровне

значимости а. проверить нулевую гипотезу, состоящую

втом, что неизвестная вероятность р равна гипотетиче­

ской вероятности Ро'

Поскольку вероятность оценивается по относительной

частоте, рассматриваемую задачу можно сформулировать

и так; требуется установить, значимо или незначимо раз­

личаются наблюдаемая относительная частота и гипоте-

•

тическая вероятность.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы при-

u

мем случаиную величину

U = (М/n-ро) V n/V Poqo'

где qo = l-ро·

Величина U при справедливости нулевой гипотезы

распределена приближенно		нормально с параметрами
М (И) = О, (J (U) =	1.
П о я с н е н и е.	Доказано	(теорема Лапласа), что при

достаточно больших значениях n относительная частота

имеет приближенно нормальное распределение с матема­

тическим ожиданием р и средним квадратическим откло-

нением V pq/n. Нормируя относительную частоту (вычи­

тая математическое ожидание и деля на среднее квад­

ратическое отклонение), получим

U = М/n-р = (М/n-р) уп t

У pq/n ypq

причем М (U) = О, (J (U) = 1.

317

При справедливости нулевой гипотезы, т. е. при р = Ро'

U = (М/n- Ро) Уn .

уPoqo

Эа м е ч а н и е 1. Далее наблюдаемая частота о(')означается через тJn в отличие от случайной веЛИЧИНbI М/n.

Поскольку здесь критическая область строится так же,

как и в § 10. приведем лишь правила проверки нулевой

u

гипотезы и иллюстрирующии пример.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне зна­ чимости проверить нулевую гипотезу Но: Р = ро О равен-

Q V

стве неизвестнои вероятности гипотетическои вероятности

при конкурирующей гипотезе Н1: р =1= Ро. надо вычислить

наблюдаемое значение критерия:

U набл = (mjn-po) V n/У PoQo

и по таблице функции Лапласа найти критическую точку

икр по равенству Ф (икр) = (1-a)/2.

Если Iuнаблl < иК1I-HeT оснований отвергнуть нуле­

вую гипотезу.

Еслн IUН'Iблl > икр-нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н1: р > Ро

иаходят критическую точку правосторонней критической
области по равенству Ф (иКР) = (1-2a)j2.
Если	Uнабл	< икр-нет оснований отвергнуть нулевую
гипотезу.	U набл	> uкр-нулевую гипотезу отвергают.
Если
Правило 3.		При конкурирующей гипотезе Н1: р < ро

находят критическую точку иКР по правилу 2, а затем

полагают границу левосторонней критической области

,

иКР = - и!1!'

Если Uиабл>-uкр-нет оснований отвергнуть нуле­

вую гипотезу.

Если UВабll <-uкр-нулевую гипотезу отвергают.

3 а м е ч а и и е 2. УДОВJlетtЮрите,nьные результаты о('\еспечивает выполнение иеравенства npoqo > 9.

Прнмер.	По 100 неsависимым испытаниям найдена отиосите.IJьная
"астота 0,08.	При уровне	зиачнмости 0,65 проверить	нулевую гипо­
тезу H o:p=Po=O,12 при коикурирующей гипотезе			Н1:р =1= 0,12.
Реш е н и е. Найдем наблюдаемое значение критерия;
UиаБJl	(m/n-ро)! Уn _ (0,08-0,12) VТOO =_ J,23.
	УPo!Qo	У 0,12.0,88
По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид Р =1= Ро, ПОЭТОМУ
критическая	область двусторонняя.

316

Найдем критическую точку икр по равенству

Ф (икр) - (1- (1.)/2 = (1 - 0,05){2 = 0,475.

По таблнце Функции Лапласа (см. пр иложение 2) находим "кр "'" 1,96.

Так как I инабll I < икр - нет основаннй отвергиуть иулевую ги­ потезу_ Другими словами, наблюдаемая относительная частота не­

значимо отличается от гилотетlfческой вероятности.

§ t 9. Сравнение двух вероятностей биномиальных

распределений

Пусть в двух генеральных совокупностях про­

изводятся незавнсимые испытания; в результате каждого

испытания событие А может появиться либо не появиться.

Обозначим неизвестную вероятность появления собы­

тия А в первой совокупности через Рl' а во второй­

через Р2' Допустим, что В первой совокупности произ­

ведено n1 испытаний (извлечена выборка объема n1 ), п-ричем

событие А наблюдалось т1 раз. Следовательно, относи­

тельная частота появления события в первой совокупности

w1 (А) =m1/n 1 ,

Допустим, что во второй совокупности произведено n. испытаний (извлечена выборка объема n.), причем собы­ тие А наблюдалось та раз, Следовательно, относительная частота появления события во второй совокупности

wa (А) = m,Jn ••

Примем наблюдавшиеся относительные частоты в ка­ честве оценок неизвестных вероятностей появления собы­

тия А: Рl ~ w1 ' Ра ~ W.' Требуется при заданном уровне

значимости tX проверить нулевую гипотезу, состоящую

в том, что вероятности Рl и Р2 равны между собой:

H O :Pl=P2=P·

Заметим, что, поскольку вероятности оцениваются по

относительным частотам, рассматриваемую задачу можно

сформулировать и так: требуется установить, значимо или

незначимо различаются относительные частоты W1 и W ••

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы при­

мем случайную величину

и= M 1 /nl-M 2 /n 2

ур (l-p) (ljnl + l/n\!) •

319

Величина и при справедливости нулевой гипотезы

распределена приближенно нормально опараметрами

М (И) z::::: О и (J (И) = 1 (см. далее пояснение). В формуле (*) вероятность Р неизвестна, поэтому заменим ее оценкой наибольшего правдоподобия (см. гл. XVI, § 21, пример 2):

р. = (m1 + m.)/(n1 + n.);

кроме того, sаменим случайные величины М1 и М2 их

возможными значениями m1 и m 2 • полученными в ИСПЫ4

таииях. В итоге получим	рабочую формулу для вычис­
ления наблюдаемого значения критерия:
U -	m1/nl- m2/na	(...!.+_I_) .
ВаБJJ- ,/ mt+ ти	(1- mt+m.)
У nl +n.	nl +n2	nl n2

Критическая область строится в зависимости от вида

конкурирующей гипотезы так же, как в § 10, поэтому

ограничимся формулировкой правил проверки нулевой

гипотезы.

Правило t. Для того чтобы при заданном уровне зна­ чимости сх проверить нулевую гипотезу Но: Pl = Р2 = Р

О равенстве вероятностей появления события в двух

генеральных совокупностях (имеющих биномиальные рас­

пределения) при конкурирующей гипотезе Н1: Pl =1= Р2' надо

вычислить наблюдаемое значение критерия:

U -		ml/nl-m2/na	(_1 +.1-)
иаБJl- , /	тl +m. (1- тl+ т2)
У	nl +n2	nl +Па	nl n2

И по таблице функцин Лапласа найти критическую точку

иир по равенству Ф (иир) = (1-cx)/2.

Если I UиаБJlI < икр-нет оснований отвергнуть нуле­

вую гипотезу.

Если IUиаб.. 1> икр-нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. :При конкурирующей гипотезе Н1: Pl > Р2

находят критнческую точку правосторонней критической

области по равенству Ф(икр) = (1-2cx)/2.

Если Uваб.. < "кр-нет оснований отвергнуть нулевую

гипотезу.

Если U"аб.. > uкр-нулевую гипотезу отвергают. Правило 34 При конкурирующей гипотезе Н1: Рl < Р2

находят критическую точку иир по правилу 2, а затем

полагают, границу левосторонней критической области

"ир :::z - икр.

820