2003_-_Gmurman__TV_i_MS

Если F наБJI < F кр- нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если FНаБJI > F кр-нулевую гипотезу отвергают.

Пример 1. По двум не~ависимым выбсркам объемов n1 = 12		и
nz= 15,	извлеченным из нормальных генеральных совокупностей
Х и У,	найдены исправленные выборочные дисперсин s" = 11,41	и

s~=6,52. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Но:D (Х) = D (У) о равенстве генеральных дисперсий при КОНКурИа

рующей	гипотезе	H 1 :D (Х) > D (У).
Реш е н и е.		Найдем отношение большей исправленной дисперсии
к меньшей:
		FнаБJI = 11,41/6,52 = 1,75.
Конкурирующая		гипотеза Имеет			вид D (Х) > D (У),		поэтому КРИТИ­
ческа я область -		правосторонняя .
По	таблнце	приложения		7,	по УРОВIIЮ	значимости		а = 0,05 и
числам	степеней	свободы k1 =		12 -	1 = 11 и	k2 = 15 -	1 =	14 находим
критическую точку рк			(0,05;	11,	14)=2,56.		нулевую ГИПОа
Так	как Fнабл < Ркр-нет			оснований отвергнуть

тезу О равенстве генеральных дисперсий.

В т О рой с л у чай. Нулевая ГИПО1еза Ho:D (X)=D(Y).

Конкурирующая гипотеза Н1: D (Х) =1= D (У).

Вэтом случае строят двустороннюю критическую

область, исходя из требования, чтобы вероятность попа·

I

О

Рис. 24

дания критерия в эту область в предположении спра­ ведливости нулевой гипотезы была равна принятому

уровню значимости а.

Как выбрать границы критической 'области? Оказы­

вается, что наибольшая мощность (вероятность попадания

критерия в ·критическую область при справедливости

конкурирующей rипотезы} достигается тогда, когда вероят­

ность попадания крwreрия в каждый из двух интервалов

критической области равна (1,/2.

Таким образом, если обозначить черег F 1 левую границу

критической области и через Fz-правую, то должны

иметь место соотношения (рис. 24):

Р (Р < F 1) = Щ2, Р (Р > F 2) =а/2.

Мы видим, что достаточно найти критические точки,

чтобы наЙТII саму критическую область: F < Р1, F > F l'

19*

291

292

а также область принятия нулевой гипотезы: F 1 < F < F В'

Как практически отыскать критические точки?

Правую критическую точку F i = F иt> (а/2; k1 • k.) нахо­

дят непосредственно по табщще критических точек рас­

пределения Фишера-Снедекора по уровню значимости а/2

и степеням свободы k 1 и k •.

Однако ле.вых КРИ1'ических точек эта таблица не со­

держит и поэтому найти Р1 непосредственно по таблице

невозможно. Существует способ. позволяющий преодолеть

это затруднение. Однако мы не будем его описывать,

поскольку можно левую критическую точку и не отыски­

вать. Ограничимся изложением того, как обеспечить по­ падание критерия F в двустороннюю критическую область с вероятностью, равной принятому уровню значимости а.

Оказывается, достаточно найти правую критическую

точку Р. при уровне значимости, вдвое меньшем заданного.

Тогда не только вероятность попадания критерия в «пра­

вую часть» критической области (т. е. правее F 2) равна а/2,

но и вероятность попадания iTOro критерия в «левую

часть» крнтической области (т. е. левее	F 1)	также равна
а/2. Так как эти события несовместны,	то	вероятность

попадания рассматриваемого критерия во всюдвусторон­

июю критичеСi'tуЮ область будет равна а/2 +а/2 = а. Таким образом, в случае конкурирующей гипотезы

Н1: D (Х) =#= D (У) достаточно найти критическую точку

F 1= F кр (а./2; k 1 • ki ).

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне зна­

чимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве гене­

ральных дисперсий нормально распределенных совокуп­

ностей при конкурирующей гипотезе H 1 :D (Х) =1= D (У),

надо вычислить отношение большей исправленной дис­

персии к меньшей, т. е. F каБJJ = S~/s~ и по таблице кри­

тических точек распределения Фишера-Снедекора по

уровню значимости а/2 (вдвое меньшем заданного) и чис­

лам степеней				свободы k 1		и k'J. (k1-число степеней свободы
большей дисперсии)					найти		критическую точку F ир (а./2;
k		,	k.).
	1		Если F наБJJ < F ир-нет оснований отвергнуть нулевую
гипотезу. Если FНаБJJ					> F ир-нулевую гипотезу отвергают.
			Пример 2.	По двум	независимым			выборкам, объемы которых
соответственно				равны nl = 10		и nв = 18,		извлеч.енны\{ из нормальных
генеральных совокупностей Х						и	У. найдены исправленные выбороч.­
ные дисперсин				s3c = 1,23	и s~ = 0,41. При уровне значнмости а = О, I

проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при

конкурирующей гипотезе H1:D (Х) ":/= D (У).

Реш е н и е. Найдем отношение большей исправленной .дисперсии

к меньшей:

FнаБJJ = 1,23/0,41 = 3.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид D (Х) -F D (У),

поэтому критическая область-двусторонняя.

По таблице, по уровню значимости, вдвое меньшем 1аданного,

Т. е. при а/2 = 0,1/2 = о,05, и числам степеией свободы k1 = 1О -1 = 9, k:a=18-1=17 находим критическую точку Екр (О,05, 9,17)=2,50.

Так как FнаБJJ > F1fi' нулевую гипотезу о равенстве генеральных

)l.исперсиА отвергаем. другими словами, выборочные исправленные

)l.исперсии различаются значимо. Например, если бы рассматриваемые

)l.исперсии характеризовали точность двух методов измерений, то

следует предпочесть тот метод, который имеет меньшую .дисперсию

(0,41).

§ 9. Сравнение исправленной выборочной

дисперсии с гипотетической генеральной

дисперсией нормальной совокупности

Пусть генеральная совокупность распределена

нормально, причем генеральная дисперсия хотя и неиз­

вестна, но имеются основания предполагать, что она равна

гипотетическому (предполагаемому) значению O'~. На прак­

тике O'~ устанавливается на основании предшествую­

щего опыта или теоретически.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка

объема n и по ней найдена исправленная выборочная

дисперсия S2 с k = n -1 степенями свободы. Требуется

u

по исправленнои дисперсии при заданном уровне значи-

мости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том,

что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности

равна гипотетическому значению O'~.

Учитывая, что SII является несмещенной оценкой гене­ ральной дисперсии, нулевую гипотезу можно записать

так:

Но: М (S2) = a~.

Итак, требуется проверить, что математическое ожи­

дание исправленной днсперсии равно гипртетическому значению генеральной дисперсии. другими словами, тре­ буется установить, значимо или незначи.мо различаются

исправленная выборочная и гипотетическая генеральная дисперсии.

На практике рассматриваемая гипотеза проверяеТСЯ1

если нужно проверить точность приборов, инструментов,

293

станков, методов исследования и устойчивость техноло­

гических процессов. Напрнмер, если известна допустимая

характеристнка рассеяния контролируемого размера дета­

лей, изготавливаемых станком-автоматом, равная a~, а

найденная по выборке окажется значимо больше (1~. то

станок требует подналадки.

В качестве крнтерня проверки нулевой гнпотезы прн­

мем случайную велнчину (n-l) 82/a~. Эта велнчина слу­ чайная, потому что в разных опытах 82 прннимает раз­

личные, наперед неизвестные значения. Поскольку можно

доказать, что она имеет распределенне Х2 с k = n -1

степенямн свободы (см.	гл.	XII,	§	13), обозначнм ее
через х2 •
Итак, критернй проверки		нулевой		гипотезы
Х2 =	(n -1) 82/(1~.
Критическая область строится в завнеимости от вида
конкурирующей гнпотезы.
tie рвы й с л у чай.	Нулевая		гнпотеза Но: (12 = O'~.

Конкурнрующая гипотеза H 1 : (12 > a~.

В этом случае строят правостороннюю крнтнческую

область, нсходя нз требования, чтобы вероятность попа­

дання критерия в эту область в предположении справед­

ливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню

значимостн:

р [Х2 > Х:р (а.; k)] = а.

Критическую точку X~p (а; k) находят по таблице кри­

тических точек распределения Х2 (см. приложение 5), и

тогда правосторонняя критическая область определяется

неравенством Х2 > X~P' а область принятия нулевой гипо­

тезынеравенством Х· < Х:р.

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через Х=аб.п И сформулируем правило про­

верки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне зна­ чимости et проверить нулевую гипотезу Но: (12 = O'~ О ра­

венстве неиз~естной генеральной дисперсии нормальной

совокупности гипотетическому значению при конкурирую­

щей гипотезе Н1:(12 > (1~, надо вычислить наблюдаемое

значение крнтерия Х~аб.п = (n -1) 82/(1~ и по таблице кри­

тических точек распределения Х2 , по заданному уровню

значимости et и числу степеней свободы k = n - l найти

критическую точку X~p (а; k).

294

Если Х:аБJI < X~p-HeT оснований отвергнуть нулевую

гипотезу. Еслн Х:аБJI > X~p- нулевую гипотезу отвергают.

Пример 1. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема n= 13 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия S2 = 14,6. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить

нулевую гипотезу Но: 02 = a~ = 12, приняв в качестве конкурирующей

гипотезы Н1: 02 > 12.

Реш е н и е. Найдем наблюденное значение критерия:

Х~абn =(n-I) S2/a~=«13-1).14,6)/l2= 14,6.

По условию,		конкурирующая гипотеза	имеет вид аЗ > 12, по­
этому критическая область правосторонняя.
По таблнце		приложения 5, по уровню	значимости 0,01 и числу
степеней	свободы k=n-I = 13-1 = 12 находим критическую точку
X~p (0,01;	12) = 26,2.
Так	как Х:аБЛ < Х:р- нет оснований отвергнуть нулевую гипо­

тезу. Другими словами, различие между исправленной дисперсией

(14,6) и гипотетической генеральной дисперсией (12)-незначимое.

В т о рой с л у чай. Нулевая гипотеза Н{):а"=а:.

Конкурирующая гипотеза H 1 :a2 *a~.

В этом случае строят двустороннюю критическую

область, исходя из требования, чтобы вероятность попа­

дания критерия в эту область в предположении справед­ ливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню

значимости а.

Критические точки-левую и правую границы крити­

ческой области -находят, требуя, чтобы вероятность по­

падания критерия в каждой из двух интервалов крити­

ческой области была равна а/2:

р[Х"

р[Х2

<

>

X~eB.KP (а/2; k)] = а/2,

X~paB.Kp (а/2; k)] = а/2.

В таблице критических точек распределеиия х" ука­

заны лишь «правые» критические точки, по,тому возни­

кае1' кажущееся затруднение в отыскании «левой» крити­

ческой точки. Это затруднение легко преодолеть, если
прннять	во внимание, что			события Х2 < X~eB.KP		И Х:' >
> X~eB.Kp	противоположны и, следовательно, сумма их
вероятностей равна			единице:
	р (х2	< X~eB.Kp) + р (х2 > ~eB.Kp) =			1.
Отсюда
Р(х2 > X~eB.KP)= l-Р<х2 < ~eB.Kp)= 1-(a/2).
Мы	видим,	что	леuую	критическую	точку	можно

искать как правую (и значит, ее можно найти по та6-

295

лице), исходя из требования, чтобы вероятность попада­

ния критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна 1-(а/2).

Правило 2. для того чтобы при заданном уровне зна­

чимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве не­

известной генеральной дисперсии (12 нормальной сово­

купности гипотетическому значению O'~ при конкурирую­

щей

гипотезе

Н1: (12 =1= (1~,

надо

вычислить

наблюдаемое

значение

критерия

Х~абл =

(n -1) S2/(1~

и по таблице найти

левую критическую точку

X~p (l-а/2; k) и

правую кри­

тическую точку

X~p (a/2~ k).

Если

X~eB.KP < Х~аБJI < X~paB.KP-

нет

оснований

отверг­

нуть

нулевую

гипотезу.

Если

Х~абn < X~eB.KP или Х~абn > Х~рав.кр-нулевую гипо­

тезу

отвергают.

Пример 2.

Из

нормальной

генеральной

совокупности

извлечена

выборка

объема

n= 13

и по. ией

найдена исправлеиная

выборочиая

дисперсия 52= 10,3. Требуется при

уровне значимости 0,02 проверить

нулевую

гипотезу

Но: 02 = o~ = 12,

приняв в качестве конкурирующей

гипотезы

Н1: 02 :р.

]2.

Реш е н и е.

Найдем наблюдавшееся значение критерия:

Х,2набл=(n-l) S2/а~=«13-1).IО,3)/12= 10,3.

Так

как конкурирующая

гипотеза имеет вид 02:р. 12,

то крити­

ческая область -двусторонняя.

По таблице приложения 5 находим

критические

точкн: левую­

Х~р(I-а./2; k)=X~ (1-0,02/2;

]2)=X~p(o,99; 12)=3,57иправую­

Х:р(а.!2;

k) = X~p

(0,01;

(2) = 26,2.

Так

как

наблюдавшееся значение

критерия

прннадлежит

области

принятия

гипотезы

(3,57 < 10,3 <

< 26,2) -

нет оснований

ее отвергнуть. Другими словами, исправлен­

ная выборочная дисперсИЯ (10,3)

незначимо отличается от гяпотети­

ческой генеральной дисперсии (12).

т р е т и й

с л у чай,

Конкурирующая

гипотеза

Нi : (12 <

(1~.

Н1:(12 < (1~

Правило 3. При конкурирующей гипотезе

находят

критическую точку

Х:р (l-а; k).

Если

Х~абл

> X~p (l-а; k)-нет оснований

отвергнуть

нулевую

гипотезу.

.

Если

Х~абn < X~p (l-а; k)-нулевую . гипотезу

отвер­

гают.

3 а м е ч а н н е 1.

В случае,

если

найдена выборочная

диспер­

сия

D B ,

в

качестце

крнтерия

приннмают

случайную

величину

Х2' =

nDB/O~'

которая

имеет

распределение

х2 с k =

n -

1

степенями

свободы,

либо переходят к S2= [n/(n-I)] D B •

k > 30,

3 а м е ч а н и е

2.

Если

ЧИСло степеней

свободы

то .кри­

тическую точку

можно

найти

приближенно по равенс"Рву Уилсона-

296

Гилферти

x~p (ct; k) = k [ 1 - (2j9k) +го; у(2j9k) )3,

где го; определяют, используя~Функцию Лапласа (см. приложение 2), по равенству Ф (го;) = (1- 2ct)/2.

§ 10. СраJlнение двух средних нормальны~

генеральных совокупностей,

дисперсии которых известны (независимые

выборки)

Пусть генеральные совокупности Х и У распре­

делены нормально, причем их дисперсии известны (на­

·пример, из предшествующего опыта или найдены теоре­

тически). По независимым выборкам, объемы которых

соответственно равны n и т, извлеченным из этих сово-

купностей, nайдены выборочные средиие х- и у-.

Требуется по выборочным средним при заданном

уровне значимости а проверить нулевую гипотезу. со­

стоящую в том, что генеральные средние (математические

ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между

собой, т. е.

Учитывая, что выборочные средние являются несме­

щенными оценками генеральных средних (см. гл. ХУ, § 5),

т. е. М (Х) = м (Х) и М (У) = м (У), нулевую гипотезу

можно записать так:

Таким образом, требуется проверить, что математиче­

ские ожидания выборочных средних равны между собой.

Такая задача ставится потому, что, как правило, выбо­ рочные средние оказываются различными. Возникает вопрос: значимо или незначимо различаются выборочные средние?

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива, т. е. генеральные средние одинаковы, то различие выбо­ рочных средних незначимо и объясняется случайными причинами и, в частности, случайным отбором объектов выборки.

Например, если физические величины А и В имеют

одинаковые истинные размеры, а средние арифметиче-

297

ские х и у результатов измерений этих величин раз·

личны, то это различие незначимое.

Если нулевая гипотеза отвергнута, т. е. ген~ральные

средние неодинаковы, то различие выборочиых средних значимО и не может быть объяснено случайными прнчи·

нами, а объясняется тем, что сами генеральные средние

(математические ожидания) различны. Например, если

среднее арифметическое х результатов измереllИЙ физиче­

ской величины А значимо отличается от среднего ари~

метического у результатов измерений физической вели­

чины В, то это означает, что истюtные размеры (матема­

тические ожидания) этих величин различны.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы при­

мем случайную величину

z= !-Р	Х-У
CJ (Х-У) УО (Х)/n +о (У)/m •

Эга величина случайная, потому что в различных опы­

тах х и у принимают различные, наперед неизвестные

значения.

n о я с н е н и е. По определению среднего квадратиче-

ского отклонения, (J (Х-У) = V D (Х-У).

На основании	свойства 4	(см.	гл. VIII, § 5),
D (Х-У) = D (Х) + D (У).
По формуле (*) (см. гл. VIII,		§ 9),	D(X)=D(X)jn,
D (У) = D (У)/т.
Следовательно,
(J (Х-	У) = V D (Х)/n -f D (У)/т.
Критерий Z -	нормированная	нормальная случайная

величина. Действительно, величина Z распределена нор­ мально, так как является линейной ~ОМбинацией нор­

мально распределенных величин Х и У; сами эти вели­ чины распределены нормально как выборочные средние,

найденные по выборкам, извлеченным И3 нормальных

генеральных совокупностей; Z-нормированная величииа

потому. что М (z) =0; при справедливости нулевой гипо­

тезы (J (Z) = 1, поскольку выборки независимы.

Критическая область строится в зависнмости от вида

конкурирующей гипотезы.

298

Пе рвы й с л у чай. Нулевая гипотеза нп: М (Х) =

=м (У). Конкурирующая гипотеза Н1: М (Х) *М (У).

Вэтом случае строят двустороннюю критическую

область, исходя из требования, чтобы вероятность попа­

дания критерия в эту область в предположении справед­

ливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню

значимости а ..

Наибольшая мощность критерия (вероятность попа­ дания критерия в критическую облас1'Ь при справедли­ вости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда

,

о

Рис. 25

«леВая» и «правая» критические точки выбраны так, что

вероятность попадания критерия в каждый из двух ин­ тервалов критической области равна а;2:

р (Z < гаев. кр) = а,/2. Р (Z > znpaB. КР) = а;2.

Поскольку Z-нормированная нормальная величина.

араспределение такой величины симметрично относи­

тельно нуля. критические точки симметричны относи­

тельно нуля.

Таким образом. если обозначить правую граниuу дву­ сторонней критической области через гкр, то левая гра­ ница равна-гкр (рис. 25).

Итак, достаточно найти правую границу, чтобы найти
саму	двустороннюю критическую область	Z < -гк •
Z > гКР И область принятия нулевой гипотезы		(- гкр, гКР).
Покажем, как найти zкр-правую границу двусторон­
ней	критической области, пользуясь функцией Лапласа

Ф (г). Известно, что функция }Iапласа определяет вероят-

u u, .. u

ность попадания нормированнои нормальнои случаинои

величины, например Z, в интервал (О, г):

Р (О < z < г) = Ф (г).

Так как распределение Z симметрично относительно

нуля, то вероятность попадания Z в интервал (О, (0)

равна 1/2. Следовательно, если разбить этот интервал

точкой гКР на интервалы (О, гКР) и (гкр, (0). то, по теореме

299

сложения,

р(О < Z < lKP) + Р (Z > lKp) := 1/2,

Всилу (*) и (**) получим

ф (ZKP) +а/2 = 1/2.

Следовательно.

ф (Zxp) = (1-а)/2.

Отсюда заключаем: для того чтобы найти правую гра­

ницу двусторонней критической области (ZKP)' достаточно

найти значение аргумента функции Лапласа, которому

соответствует значение функции, равное (l-а)/2. Тогда двусторонняя критическая область определяется нера­

венствами

Z < -ZKP' Z > Zкp,

или равносильным неравенством IZ I > ZKP' 8 область при­

нятия нулевой гипотезы-неравенством-zкр < Z < ZKP'

или равносильным неравенством IZ I< ZKP'

.Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через ZнаБJJ И сформулируем правило про-

u

верки нулевои гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне зна­

чимости а проверить нулевую гипотезу но: М (Х) = м (У)

о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями

при конкурирующей гипотезе H 1 : М (X)=t=M (У), надо вычислит.? .наблюденное значение критерия Zнабл =

=х-у И по таблице функции Лапласа найти

уD (X)/n+D (У)/т

критическую точку по равенству Фz = (l-а)/2.

кр

Если IZиз6JJI < ZKP- нет оснований отвергнуть нуле­

вую гипотезу.

Если IZнаБJI 1> zкр-нулевую гипотезу отвергают.

Пример 1. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны n=60 н т=50, нзвлеченнЫМ нз нормальных

генеральных сово!{упностеА, найдены выборочные средние х = 1250

и и=1275. Генеральные дисперсии Jlзвt>стны: D(X)=120, D(Y)=IOO.

При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу но: М (Х) =

=М (У), при конкурирующей гипотезе H 1: М (Х) =1= М (У).

Реш е н и е. Найдем наблюдаемое значение критерия:

- -

	х-у	1250-1275	=-125.
	Zиаба= 7yr D?':=(xr.;)::C:;n:;;::+~D;:::(::;:;Y;:;=)J=т
		У 120/60+ 100/50	'

300