IV. Предельные теоремы теории вероятности

4.1 Последовательности независимых событий

Рассмотрим некоторое вероятностное пространство (Ω, F, P). Будем говорить, что события независимы, если для всех m, , и всех.

Будем говорить, что события образуютпоследовательность независимых событий, если для любых n события независимы.

Если – последовательность независимых событий, то последовательностьгдеили, также является последовательностью независимых событий.

С каждой последовательностью событий можно связать события

и (4.1)

Первое из событий (4.1) означает, что для любого n осуществляется хотя бы одно из событий ,k = n, n + 1,… т.е. событие осуществляется тогда и только тогда, когда происходит бесконечное число из событий.

Второе из событий (4.1) означает, что существует такое число n, что осуществляются все события ,k = n, n + 1,…, т.е. событие происходит тогда и только тогда, когда не происходит лишь конечное число из событий.

Теорема 1 (Бореля–Кантелли). Если – последовательность независимых событий, то:

Доказательство. Первый случай. Из определения верхнего предела последовательности следует соотношение . Тогда согласно свойствам Р3, Р8 вероятностей событий получим соотношения0 при, какостаток сходящегося ряда.

Второй случай. Перейдем к событию Вычислим вероятность

≤

Отсюда 1–→1, при n→ ∞. Далее,, следовательно,→1, при n→ ∞. Так както

В чем смысл доказанной теоремы? Для независимых событий событие может иметь вероятность 0 или 1. В первом случае это означает что с вероятностью 1 происходит лишь конечное число из событий; во втором – с вероятностью 1 происходит бесконечное множество событий из.

Замечание. Первый случай теоремы справедлив для любой последовательности событий.

4.2. ПоследовательносТи независимых величин

Пусть – последовательность независимых сл. величин. Это значит, чтои любых чиселсобытиянезависимы.

Замечание. Следует помнить, что когда мы говорим «пусть  – сл. величина или пусть – последовательность сл. величин», то полагаем, что существует некоторое вероятностное пространство (, F, P), на котором эта сл. величина  или эти сл. величины заданы.

Приведем некоторые признаки независимости сл. величин.

Теорема 2. Для того чтобы сл. величины были независимы,необходимо, чтобы для любых ограниченных борелевских функций

=(4.2)

и достаточно, чтобы равенство (4.2) выполнялось для непрерывных ограниченных функций.

Борелевскими называются функции, измеримые относительно -алгебры борелевских множеств.

Следствие 1. Если – независимые сл. величины и, существуют, то существует и.

Следствие 2. Если – независимые сл. величины ито– не коррелированны.

Следствие 3. Если – независимые сл. величины ито

Результаты следствий нам уже известны, они приведены в соответствующих свойствах математичского ожидания и дисперсии.

4.3. Неравенство чебышева

Теорема 3. Пусть  – с вероятностью 1 неотрицательная сл. величина, имеющая конечное математическое ожидание. Тогда

. (4.3)

Доказательство. Введем в рассмотрение событие . Для него индикаторная функция имеет вид. Согласно свойству М8 математического ожидания. Рассмотрим теперь очевидное неравенстволюбое положительное число. Тогдаилиили.

Доказанное неравенство известно под названием неравенства Чебышева.

Следствие. Для произвольной сл. величины , имеющей дисперсию D,

. (4.4)

Именно это неравенство известно широкому кругу читателей под названием неравенства Чебышева. Оно получается из теоремы 3, если в качестве неотрицательной сл. величины взять

Неравенство эквивалентно неравенству. Поэтому.

Однако неравенство (4.4) может быть доказано и без помощи теоремы 3. Введем в рассмотрение сл. величину ТогдаНоСледовательно,и

Неравенство (4.4) следует применять, когда , иначе оно дает тривиальную оценку.

Пример 1. Пусть сл. величина  имеет плотность распределения . ТогдаM = =0 (интеграл от нечетной функции по симметричному множеству), (интегрировали по частям).

Оценим при = 1, 2, 5, 10. Получим . Прямое вычисление величинпри заданных значениях ε дает выражения,.

Видим, что неравенство Чебышева дает довольно грубые оценки вероятностей. Однако неравенство Чебышева является родоначальником многих других неравенств, широко применяемых в теории вероятностей.