IV. Предельные теоремы теории вероятности

4.1 Последовательности независимых событий

Рассмотрим некоторое вероятностное пространство (Ω, F, P). Будем говорить, что события независимы, если для всех m, , и всех .

Будем говорить, что события образуют последовательность независимых событий, если для любых n события независимы.

Если – последовательность независимых событий, то последовательность где или , также является последовательностью независимых событий.

С каждой последовательностью событий можно связать события

и (4.1)

Первое из событий (4.1) означает, что для любого n осуществляется хотя бы одно из событий , k = n, n+1,… т.е. событие осуществляется тогда и только тогда, когда происходит бесконечное число из событий .

Второе из событий (4.1) означает, что существует такое число n, что осуществляются все события , k = n, n+1,… т.е. событие происходит тогда и только тогда, когда не происходит лишь конечное число из событий .

Теорема 1 (Бореля - Кантелли). Если – последовательность независимых событий, то:

Доказательство. Первый случай. Из определения верхнего предела последовательности следует соотношение . Тогда согласно свойствам Р3, Р8 вероятностей событий получим соотношения 0 при , как остаток сходящегося ряда.

Второй случай. Перейдем к событию Вычислим вероятность ≤

Отсюда 1– →1, при n→ ∞. Далее, , следовательно, →1, при n→ ∞. Так как то

В чем смысл доказанной теоремы? Для независимых событий событие может иметь вероятность 0 или 1. В первом случае это означает что с вероятностью 1 происходит лишь конечное число из событий ; во втором – с вероятностью 1 происходит бесконечное множество событий из .

Замечание. Первый случай теоремы справедлив для любой последовательности событий (необязательно независимых).

4.2. Последовательность независимых величин

Пусть – последовательность независимых сл. величин. Это значит, что и любых чисел события независимы.

Замечание. Следует помнить, что когда мы говорим пусть x – сл. величина или пусть – последовательность сл. величин, то полагаем, что существует некоторое вероятностное пространство (W, F, P), на котором эта сл. величина x или эти сл. величины заданы.

Приведем некоторые признаки независимости сл. величин.

Теорема 2. Для того чтобы сл. величины были независимы необходимо, чтобы для любых ограниченных борелевских функций

= (4.2) и достаточно, чтобы равенство (4.2) выполнялось для непрерывных ограниченных функий.

Борелевскими называются функции, измеримые относительно s– алгебры борелевских множеств.

Следствие 1. Если – независимые сл. величины и , существуют, то существует и .

Следствие 2. Если – независимые сл. величины и , то – не коррелированны.

Следствие 3. Если – независимые сл. величины и то

Результаты следствий нам уже известны, они приведены в соответствующих свойствах математичского ожидания и дисперсии.