6. Интегрирование тригонометрических функций.

Интегралы вида , где- рациональная функция. Интегралы указанного вида приводят к интегралам от рациональных функций с помощью, так называемой универсальной тригонометрической подстановки . В результате этой подстановки имеем:

, , ,.

Пример 1.18. Вычислить .

Решение. Подынтегральная функция является рациональной относительно и. Воспользуемся подстановкой, тогда, , , откуда

Замечание 1.3. Универсальная подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям.

В некоторых частных случаях нахождение интегралов вида можно упростить.

1. Если -нечетная относительно , то есть, если, то интеграл рационализируется подстановкой.

2. Если -нечетная относительно , то есть, если, то интеграл рационализируется подстановкой.

3. Если -четная относительно и, то есть, то интеграл рационализируется подстановкой(или ).

Пример 1.19. Вычислить .

Решение. Подынтегральная функция четна относительно синуса и косинуса. Полагаем , тогда ,,,. Отсюда получаем

.

Далее имеем

.

Заметим, что нахождение интеграла можно упростить, если в исходном интеграле разделить числитель и знаменатель на :

.

Интегралы вида . Выделим здесь два случая.

Случай 1. По крайней мере один из показателей или- нечетное положительное число.

Если - нечетное положительное число, то применяют подстановку; если же- нечетное положительное число, то применяют подстановку.

Пример 1.20. Вычислить .

Решение. Полагая ,, получим

.

Случай 2. Оба показателя или- четные положительные числа. Здесь следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью формул

,	(1.4)
,	(1.5)

Пример 1.21. Вычислить .

Решение. Из формулы (1.4) следует, что

.

Применив теперь формулу (1.5), получим

.

Итак,

.

7. Интегрирование иррациональных функций.

Интегралы вида , где- рациональная функция;- целые числа.С помощью подстановки , где- наименьшее общее кратное чисел, заданный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции.

Пример 1.22. Вычислить .

Решение. Здесь поэтому. Воспользуемся подстановкой, тогда,и, следовательно,

.

Интегралы вида , ,приводят к интегралам от ,функции с помощью соответствующей замены: для первого интеграла(или), для второго(или) и для третьего(или).

Пример 1.23. Вычислить .

Решение. Положим ,,. Подставляя в исходный интеграл, получим

.

Выразим , если,

.

Окончательно получаем

.

1.2. Определенный интеграл Основные свойства определенного интеграла

1. .

2. .

3. .

4. .

5. , где- постоянная.

Правила вычисления определенных интегралов

1. Формула Ньютона-Лейбница:

,

где непрерывна на отрезке,- первообразная для.

2. Интегрирование по частям:

,

где ,- непрерывно дифференцируемые функции на отрезке.

3. Замена переменной:

,

где - непрерывная вместе со своей производнойна отрезке,,,- функция, непрерывная на.

3. Если - нечетная функция, то есть, то

.

4. Если - четная функция, то есть, то

.

Пример 1.24. Вычислить .

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница имеем

.

Пример 1.25. Вычислить .

Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим ,, откуда,. Тогда получим

.

Пример 1.26. Вычислить .

Решение. Положим , тогда; если, то; если, тогда. Следовательно,

.