Лекция 4

Основы термодинамики процессов и циклов современных двигателей

5.1. Теплоёмкость

5.2. Энтропия

5.3. Уравнения законов термодинамики

5.4. Термодинамические процессы

5.5. Цикл Карно и базовые циклы ДВС

5.6. Эксергия

5.1. Теплоёмкость

C = dQ/dT,(Дж/К)

c_xm = c/m,(Дж/кгК) – удельная массовая^*

c_xv = c/v,(Дж/м³К) – удельная объёмная^*

c_xµ = c/µ,,(Дж/мольК) – удельная мольная^*

c_v = dq_v/dT – для изохорического процесса,

т.к. dq_v = du = c_v dT

c_p = dq_p/dT - для изобарического процесса,

т.к. dq_p = di= c_pdT

c_p - c_v = R – уравнение Майера

c_p /c_v = k^* – показатель адиабаты(для одно, двух, трёх и более атомных газов соответственно равен 1.67; 1.4 и 1.29)

c_v = R/(k – 1); c_p = kR/(k – 1)

k = 1 + R/ c_v = 1 + 8,314/µc_v

µc_p - µc_v = µR = R_µ = 8,314 Дж/мольК

µ, ρ, µc_p, µc_v, k и т.д., отмеченные * см. в таблицах

5.2.Уравнения законов термодинамики

dq = du + dl; dl = pdv

dq = di – dl¹; dl¹ = vdp

dq = Tds

q = c(T₁ – T₂); Q = m c(T₁ – T₂);

∆u = c_v(T₁ – T₂); U = m c_v(T₁ – T₂);

∆i = c_p(T₁ – T₂); I = m c_p(T₁ – T₂);

5.3.Энтропия

1. На основании уравнения dq = Tds координату ds можно записать как

ds = dq/Т. Для определения типа функции ds (полный или неполный дифференциал) преобразуем уравнение закона сохранения вида dq = du + pdv путём умножения его членов на величину 1/Т.

dq/Т = du/Т + (pdv)/Т = du/Т + (p/Т)dv/ v =

= c_v dT/T + Rdv/v = ds, так как р/Т = R/v

Тип функции ds можно выявить, например, определением условия взаимности в уравнении ds = dq/Т = c_v dT/T + Rdv/v путём сопоставления соответствующих частных производных (¶c_v/¶v)_T/T = (¶R/¶T)_v/v. Так как (¶c_v/¶v)_T = (¶R/¶T)_v = 0, то условие взаимности соблюдается.

Условие взаимности может быть получено и из уравнения dq = di – vdp. Кроме того, в уравнении ds = dq/Т присутствует интегрирующий множитель 1/Т. Следовательно, dq/Т представляет собой полный некоторой функции, и этой функцией может быть только ds = dq/Т, которая названа в термодинамике ЭНТРОПИЕЙ.

Теперь уравнение первого начала термодинамики для равновесных процессов может быть записано как Тds = du + pdv и Тds = di – vdp, где теплота dq определяется непосредственно как произведение термического потенциала – температуры Т на изменение координаты ds, которая сама является функцией состояния, т.е. dq = Тds.

Уравнения для определения энтропии и её изменения

ds = dq/T;

dq = di – vdp = c_pdT – vdp;

dq = du + pdv = c_vdT + pdv;

pv = RT, откуда p/T = R/v; v/T = R/p, тогда

1. ds = dq/T = (c_pdT – vdp)/T = c_pdT/T - Rdp/p

2. ds = dq/T = (c_vdT + pdv)/T = c_vdT/T + Rdv/v

Дифференцируя pv = RT, получаем dv/v + dp/p = dT/T и учитывая, что c_p - c_v = R, получаем

3. ds = c_vdp/p + c_pdv/v.

Интегрируя 1,2,3 получаем:

для s(по неопределённому интегралу):

s = c_p lnT – Rlnp + const

s = c_v lnT + Rlnv + const

s = c_p lnv + c_vlnp + const

для ∆s(по определённому интегралу):

∆s = c_p ln(T₁/T₂) – Rln(p₁/p₂)

∆s = c_v ln(T₁/T₂) + Rln(p₁/p₂)

∆s = c_p ln(v₂/v₁) + c_vln(p₁/p₂)