5.4. Термодинамические процессы

5.Термодинамические процессы изменения состояния идеального газа:

1. ИЗОХОРИЧЕСКИЙ

2. ИЗОБАРИЧЕСКИЙ

3. ИЗОТЕРМИЧЕСКИЙ

4. АДИАБАТИЧЕСКИЙ (ИЗОЭНТРОПИЧЕСКИ)

5. ПОЛИТРОПИЧЕСКИЙ

Все указанные процессы рассматриваются как обратимые и исследуются в соответствии с общим методом, включающим определение:

А.Графической зависимости процесса в p-v и T-s – координатах.

Б. Соотношения между основными параметрами состояния рабочего тела(идеального газа) в начале и конце термодинамического процесса.

В. Изменения внутренней энергии: ∆u = u₂ – u₁ = c_vdT = c_v(t₂ – t₁).

Г. Работы при изменении объёма газа: l =pdv

Д. Удельного количества теплоты: q_1-2 = c_xdT = c_x(t₂ – t₁)

Е. Изменения удельной энтальпии: ∆i = i₂ – i₁ = c_pdT = c_p(t₂ – t₁).

Ж. Изменения удельной энтропии: s₂ – s₁ = c_vln(T₂/T₁) + Rln(v₂/v₁);

s₂ – s₁ = c_рln(T₂/T₁) – Rln(p₂/p₁);

Изохорический процесс

T

А. Уравнение процесса: v = const или dv = 0

Б. Соотношение параметров:

Для процесса 1-2 уравнение состояния в точках 1 и 2: p₁v_1,2 = RT_1, p₂v_1,2 = RT_2. Разделив первое уравнение на второе, получим закон Шарля p₁/p₂ = T₁/T_2.

В. Изменение внутренней энергии в соответствии с первым законом:

dq_v = du_v + pdv = du_v = c_vdT, откуда q_v = c_vdT = c_v(T₂ – T₁) = u₂ – u₁

Г. Работа изменения объёма: l_v = 0.

Д. Удельное количество теплоты: u_v = c_vdT = c_v(T₂ – T₁) = u₂ – u_1.

Е. Изменение удельной энтальпии:

Ж. Изменение удельной энтропии:di = dq + vdp = dq = c_pT₂ – T₁)

dq_v = du_v + pdv; dq_v/T = (du_v + pdv)/T = c_vdT/T + pdv/T.

С учётом уравнений состояния: pv = RT и энтропии ds = dq/T получим

ds = c_vdT/T + Rdv/v, откуда после интегрирования получим

∆s = s₂ – s₁ = c_vln(T₂/T₁) + Rln(v₂/v₁) = c_vln(T₂/T₁);

Адиабитический процесс

pv^k = const

dq = du + dl = 0; du = - dl; dl = - du = u₁ – u₂;

1. l_1,2 = c_v(T₂ – T₁)

pv = RT; pdv + vdp = RdT; dT = (pdv + vdp)/R – в уравнение c_vdT + pdv = 0(du + dl = 0), получим

c_v(pdv + vdp)/R + pdv = 0 или (c_v + R) pdv + c_vvdp = 0, где c_v + R = c_p

Тогда c_ppdv + c_vvdp = 0;

kpdv + vdp = 0,

kdv/v + dp/p = o,

где k = c_p/c_v

После интегрирования получим klnv + lnp = const или

2. pv^k = const

Исключив из 2 р = RT/v, получим RTv^k-1 = const или

3. Tv^k-1 = const

Исключив из 2 v = RT/p, получим p(RT/p)^k = const или

4. T/p ^(k-1)/k = const

Из 2, 3, 4 после их преобразований: p₁v₁^k = p₂v₂^k;

T₁v₁^k = T₂v₂^k; T₁/p₁ ^(k-1)/k = T₂/p₂ ^(k-1)/k получаем:

p₁/p₂ = (v₂/v₁)^k-1

T₁/T₂ = (v₂/v₁)^k-1

T₁/T₂ = (p₁/p₂)^(k-1)/k

Для адиабатического процесса после деления уравнения Майера c_p – c_v = R на c_v имеем

c_p /c_v -1 = R/c_v или c_v = R/(k-1).

После деления уравнения Майера c_p – c_v = R на c_p имеем

(1 – 1/k) = R/c_p или c_p = kR/(k-1)

Термодинамические характеристики адиабатного процесса

Теплоёмкость:

с = 0

Удельная работа:

l_1-2 = (p₂v₂ – p₁v₁)/(k-1) = p₂v₂/(k-1)(1 – (p₁/ p₂)^(k-1)/k) =

R(T₂ – T₁)/(k-1)

Теплота:

q = 0

Изменение:

∆u = c_v(T₁ – T₂)

∆i = c_p(T₁ – T₂)

∆s = 0

Политропический процесс

pvⁿ = const

1. dq = cdT = di – vdp = c_pdT – vdp;

2. dq = cdT = du + pdv = c_vdT + pdv;

Преобразовав и разделив 1 на 2, получим (c - c_p)/ (c – c_v) = - (vdp/pdv);

Принимая n = (c - c_p)/(c – c_v), получим n = - (vdp/pdv), откуда npdv = - vdp или n(dv/v) + dp/p = 0,

nlnv + lnp = 0

После интегрирования получаем ln(pvⁿ) = const или

pvⁿ = const.

Из n = (c - c_p)/(c – c_v) получаем n(c – c_v) = c - c_p,

с(n – 1) = c_v(n – (c_p/ c_v)) = c_v(n – k), откуда c = c_v(n – k)/ (n – 1)

Соотношения между параметрами:

p₁/p₂ = (v₂/v₁)ⁿ

T₁/T₂ = (v₂/v₁)ⁿ

T₁/T₂ = (p₁/p₂)^n-1